Juegos de Lógica

1. Enigmas y cuadros de doble entrada

Empezaremos enunciando un enigma que resolveremos de varias formas:

"Hoy gran etapa: Concarneau-Chateaulin, en la costa Ménez-Kerveyen, tenemos seis hombres a la cabeza. Son¼"

Nuestro cronista se confunde y mezcla corredores, números, marcas y nacionalidades. ¿Quieren ayudarlo a terminar esta nota? Sabemos que:

• Este grupo comprende seis hombres, todos de nacionalidades diferentes: alemán, inglés, belga, español, italiano y francés.
• Tres marcas patrocinan a los corredores, cada una de ellas a dos: Clas, Banesto y Festina.

Se tiene la siguiente información:

1. El número 1 y el alemán son dos corredores que llevan los colores de la marca Clas.
2. El número 5 y el belga llevan los dos los de la marca Banesto.
3. El español y el número 3 llevan los dos los de la marca Festina.
4. Los corredores números 2 y 6 sacaron ventaja a la entrada del circuito de l’Aulne, mientra que el español se quedó.
5. El italiano y el francés se adelantaron 30 segundos al número 3 en la tercera vuelta de este circuito.
6. El número 2 y el alemán debieron abandonar, ambos, después de una caída.
7. Finalmente, el número 1 ganó el sprint final frente al italiano.

Para resolver el enigma, en primer lugar, abordaremos la forma más "directa" o de "sentido común" que no conlleva formalizaciones ni el uso de estructuras determinadas; es decir, se trata de utilizar los datos como aparecen e ir haciendo sobre ellos las deducciones. Evidentemente, como cada persona tiene mecanismos de pensamiento distintos será difícil que todos coincidamos en el orden de los distintos pasos de las deducciones; una forma sería tratar la información en el cronológico que aparece.

Método 1: Deducción cronológica-"directa"

La información a), b) y c) se puede resumir:

• Clas: corredores número 1 y alemán.
• Banesto: corredores número 5 y belga.
• Festina: corredores número 3 y español.

Y una deducción clara es que tanto el alemán como el belga como el español han de tener números pares, además como consecuencia de esto los números impares corresponden a italiano, inglés y francés. La información (d) nos dice que, al entrar en el circuito de l’Aulne, los números 2 y 6 aventajaron al español, podemos deducir entonces que el español ha de tener necesariamente el número 4, puesto que debía de tener un número par. También se deduce que los números 2 y 6 han de distribuirse entre alemán y belga.
La información de e) nos dice que el italiano y el francés adelantan al número 3 en la tercera vuelta, luego como ambos, italiano y francés, son números impares, el número 3 corresponde al otro corredor de número impar que es el inglés. También se deduce, por tanto, que los números 1 y 5 han de distribuirse entre italiano y francés.
La información f) dice que el alemán y el número 2 sufren una caída, luego, como sabemos que el alemán sólo puede ser el 2 ó 6, necesariamente se tiene que el alemán es el número 6 y entonces el belga será el numero 2.
La información g) dice que el sprint final lo disputan el número 1 y el italiano, así como éste sólo puede ser el 1 ó el 5, necesariamente será el 5, y por tanto el número 1 será el francés, con lo que queda resuelto el enigma.
Un esquema del procedimiento que acabamos de realizar es el siguiente:

Figura 1.1

Método 2: Empezamos a organizar los datos

Primera fase: organización de los datos

Como el objetivo del enigma es hacer corresponder cada número del uno al seis con una nacionalidad, desglosamos solamente estos datos olvidándonos del resto de la información no relevante: podemos tomar las nacionalidades (o también los números) una por una y según la información desde a) hasta g) ver qué números pueden corresponderle y cuáles no. Así tendríamos:

Figura 1.2

Segunda fase: deducciones

Analizando la última columna de la tabla anterior, se tiene que el español será el número 4 pues es lo único que puede ser, además como ya ningún otro puede ser el 4, se eliminan el resto de cuatros que aparecen en dicha columna. Con esta operación nos queda en la primera fila de esta tercera columna el número 6 solamente, esto es, el alemán es el número 6. Eliminamos el resto de seises de la columna, resultando así que el belga es el número 2. De nuevo, eliminamos los doses, obteniéndose que el italiano es el 5. Eliminando los demás cincos concluimos que el francés es el número 1 y, por tanto, el inglés el 3. Observemos que esta última deducción sobre el inglés se podía haber hecho ya desde el principio, ya que ninguno de los otros puede ser el número 3, según muestra la tercera columna. ð

Antes de exponer otras formas de resolver este enigma, analicemos las dos dadas. En el primer método, prácticamente no hay ninguna representación (modelización) de los datos, las deducciones se hacen sobre la misma información que nos dan. El segundo método ya lleva una primera fase de organización de los datos, y así, en la segunda etapa de las deducciones el tratamiento no se hace sobre la información sino sobre los datos (la información relevante sintetizada): ya no deducimos que el alemán no puede ser el número 1 según dice a), sino que se trata de ver las posibilidades de que en las distintas filas de la columna "Puede ser" haya números distintos.
Cabe observar que el método 2 está a medio camino entre la deducción directa y el uso de un cuadro de doble entrada que es el siguiente método a tratar.

Método 3: cuadro de doble entrada

Primera fase: organización de los datos

Un cuadro de doble entrada permite cruzar dos variables y, así, el repertorio de los diferentes casos posibles. En nuestro problema tenemos tres variables: nacionalidad, número y marca; como el cuadro sólo permite dos variables, parece más natural, dada la información que tenemos, privilegiar la nacionalidad y los números dejando la marca como variable suplementaria.
Hacemos entonces una tabla enfrentado las nacionalidades y los números como indica la siguiente figura; si una nacionalidad y un número son incompatibles pondremos un 0 en el cuadro correspondiente, e irá un 1 solamente en aquel cuadro cuya nacionalidad coincida con el número. Luego, y como regla de deducción, tendremos que tanto en una fila como en una columna sólo puede haber un 1.

Figura 1.3(a)

Se transcriben las informaciones dadas en forma de ceros y unos sobre la tabla, para llevar un mejor control sobre las informaciones, También anotaremos en la tabla, debajo de los ceros y unos, la información de la que provienen. Así, la información a) supone un 0 en la casilla (1,alemán), b) un 0 en (5,belga) y c) un 0 en (3,español).
Teniendo en cuenta la variable suplementaria marca, deducimos de a) y de b) un 0 en (5,alemán); de a) y c) un 0 en (3,alemán) y así sucesivamente, con lo que tenemos la situación que presenta la tabla de la figura 1.3(a)

Segunda fase: deducciones

Una vez que tenemos en el cuadro toda la información codificada empezamos la fase de las deducciones utilizando la anterior regla mencionada: en cada fila y columna sólo puede aparecer un 1. Así, tenemos que en la fila tercera hay que poner un 1 en la casilla (3,inglés) y, por tanto, ceros en el resto de la columna "inglés". También hay que poner un 1 en la casilla libre correspondiente a la columna "español", lo cual obliga a poner ceros en toda la fila 4. Ahora estamos obligado a poner un 1 en la casilla (1,francés), y así sucesivamente, hasta llegar a la situación que presenta el cuadro de la figura 1.3(b). En dicho cuadro hemos anotado con un subíndice en las casillas de los unos para mostrar en qué etapa de la deducción ha surgido.

Figura 1.3(b)

En definitiva, la solución del enigma descodificando el resultado que muestra el cuadro es: nº 1 el francés, nº 2 el belga, nº 3 el inglés, nº 4 el español, nº 5 el italiano y nº 6 el alemán.  
Con este método, se tiene que la fase de organización y representación de los datos lleva un formalismo muy avanzado y, en cambio, la fase deductiva es casi mecánica.

Método 4: reducción a dos cuadros de doble entrada

Las informaciones dadas en a), b) y c), como ya vimos en el método 1, nos permite deducir que alemán, belga y español tienen números pares, así como francés, inglés e italiano impares; esto nos permite reducirnos a dos cuadros de doble entrada y con menor número de entradas cada uno de ellos (como muestra la figura 1.4) y con las variables "número" y "nacionalidad". Observemos que ahora ya no hay el problema de las tres variables porque justamente la variable "marca" es la que nos ha servido para el desdoblamiento en dos cuadros.

Figura 1.4

El procedimiento en cada cuadro es análogo al anterior, sólo que ahora la información es más manejable y hay menor número de etapas de deducciones: mientras que en el método anterior había 5 etapas deductivas en este sólo 3.  

A continuación, como ejercicio, pasamos a resolver dos enigmas usando cuadros de doble entrada, ya sabemos que lo principal en la tarea de organizar los datos es encontrar las variables principales.

Problema: En el restaurante

Después de una dura mañana en la Facultad de Informática, Álvaro, Daniel, Paco, Enrique, Carmen y Luis se encuentran en el comedor. Sabemos que:

1. Daniel, Carmen y el aficionado al pescado aprecian el vino blanco.
2. Paco mira con envidia a las personas que eligieron jabalí y pato a la naranja.
3. Álvaro y Daniel están situados frente a los que degustan la tortilla de patata y el pato a la naranja.
4. Álvaro, Paco y Enrique han elegido cada uno un plato de carne.

¿Quién ha pedido el bistec? ¿Y los caracoles?

Problema: Beca divertida

Doce becarios: Javier, Miguel, Nacho, Silvia, Alberto, Cristina, Guillermo, Juan, María, Marta, Marcos e Inés, participan en los cursos de verano de El Escorial. Cada uno tiene una bebida preferida: menta con agua, batido de fresa, limonada, leche, champán, cola, zumo de naranja, café, té, anís, sidra y cerveza.

Descubrir la bebida preferida de cada uno sabiendo que:

1. El primer día, los becarios juegan al mus: en una de las mesas se encuentran juntos Guillermo, Juan y los aficionados a la sidra y la cerveza; en otra, los bebedores de anís y té se enfrentan a María y a Marta; y en una tercera, Inés y Marcos con los que gustan de café y zumo de naranja.
2. El hermoso tiempo del segundo día les permite jugar a los bolos en grupos de cuatro: Javier y Miguel dominan completamente al equipo de bebedores de té y café; Juan y Guillermo derrotan sin dificultad a los consumidores de batido y limonada; mientras que Nacho y María se enfrentan duramente a los aficionados al zumo de naranja y a la menta con agua.
3. Los fanáticos del tenis tienen poco tiempo para entregarse a su deporte favorito. Juegan a dobles: Guillermo con el bebedor de cola se enfrentan a Marta asociada con al consumidor de limonada; por otra parte, Javier y Silvia se enfrentan a los que toman cerveza y té.
4. Finalmente sepan que, después de estas jornadas de intensos estudios, los becarios se fueron a un lugar de descanso: Juan acompañó a los aficionados al champán y a la cola a Segovia; Miguel a los que gustan de sidra y cerveza a Toledo; el bebedor de batido se encuentra con Marta y Marcos en Almería, y el aficionado al café con Silvia y Alberto en Sigüenza.

2. Integramas

El trío municipal

Los señores Alba, Blanco y Cano son los tres candidatos que obtuvieron la mayor cantidad de votos en las últimas elecciones en el de La Garrafa. El resultado fue muy ajustado: el que llegó a la cabeza aventaja al segundo en un voto y éste al tercero en otro voto. Los tres practican deportes diferentes (atletismo, natación y senderismo) y tienen una bebida favorita diferente: café, zumo de naranja y té. Con la siguiente información se trata de encontrar la clasificación de cada candidato, su deporte y su bebida favorita:

1. El señor Cano, gran aficionado al café, aventajó a Blanco por un solo voto.
2. El aficionado al zumo de naranja, que no soporta el senderismo, obtuvo un voto más que el bebedor de té.
3. El señor Alba adora la natación.

Para resolver este enigma vamos a introducir un cuadro llamado integrama. Este instrumento de representación equivale a tratar varios cuadros de doble entrada simultáneamente, poniendo cada variable en correspondencia con las otras. Así, si tenemos tres variables, como el enigma anterior de la carrera ciclista, tendríamos tres cuadros (combinaciones de 3 elementos tomados de 2 en 2) y ya tendríamos todas las correspondencias necesarias, se tienen cuatro entradas de datos: una para cada una de las variables y otra que hay que repetir una variable. Se distribuyen los cuadros de la siguiente forma:

Figura 2.1

En el caso del trío municipal, como tenemos cuatro variables, para poner en correspondencia cada una de las variables con el resto tendremos que utilizar seis cuadros, es decir, tenemos combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2. Cada cuadro será de 3x3 puesto que cada variable toma tres valores

Figura 2.2(a)

Pasemos pues a la parte de las deducciones, notemos primeramente cómo se codifican las deducciones sobre el integrama, esto es, las reglas que nos permiten obtener los unos y los ceros del integrama. Hay que reseñar que cada uno de los seis cuadros es de doble entrada, por lo tanto, se mantiene en cada cuadro individualmente se mantiene la regla de que en cada fila y en cada columna sólo puede haber un único uno y el resto ceros. Además, también tenemos dos reglas específicas del integrama, vamos a ver como se obtienen de las propias deducciones. Sabemos que el señor Cano es aficionado al café, lo que se codifica como un 1 en la casilla (C,c), y también sabemos que el señor Cano no es el número 3, lo que se traduce en 0 en (C,3), luego podemos deducir que el aficionado al café no es el número 3, es decir, un 0 en (c,3). Así, tenemos la regla de integrama:

Regla 1: (C,c) es 1 y (C,3) es 0 Þ (c,3) es 0

Por otra parte, supongamos que ya sabemos que el aficionado al café es el número 1, sería un 1 en la casilla (c,1), además como el aficionado al café es el señor Cano, deducimos que el señor Cano es el número 1, es decir, un 1 en (C,1); así tenemos la segunda regla específica de integrama:

Regla 2: (C,c) es 1 y (c,1) es 1 Þ (C,1) es 1

Cabe observar que el orden en los elementos de los pares ordenados no es relevante.

Pasemos ya a hacer una descripción exhaustiva de cómo podrían ser las deducciones (ir viendo simultáneamente en la figura 2.2(b)):

1. La primera deducción que podemos hacer es la que nos ha servido de ejemplo para presentar la regla 1, es decir, un 0 en la casilla (c,3).
2. Ahora, fijándonos en el cuadro bebidas x puestos podemos usar en el mismo la regla del cuadro de doble entrada, así en la segunda etapa de deducciones obtenemos un 1 en (t,3), en la tercera, teniendo en cuenta además la información (*), un 1 en (z,2) y en la cuarta otro 1 en (c,1). Con esto ya tenemos relacionadas bebidas con puestos.
3. Además, también podemos deducir en la cuarta etapa que hay un 0 en la casilla (s,2), pues por la información b) tenemos un 0 en (z, s) y por la etapa tercera de deducciones un 1 en (z,2), con lo que aplicando la regla 1 se tiene el resultado.
4. En la quinta etapa deducimos la que nos ha servido de ejemplo para la segunda regla: 1 en (C,1). Así, teniendo en cuenta la información (*), C inmediatamente antes que B, tenemos en la sexta etapa un 1 en (B,2). Siguiendo en este cuadro de candidatos x puestos deducimos en séptimo lugar, con la regla del cuadro de doble entrada, un 1 en (A,3). Ya tenemos los candidatos relacionados con los puestos, sólo nos falta encontrar sus deportes favoritos.
5. De 1 en (A,3) y 1 en (A,n) obtenemos, según la regla 2, un 1 en (n,3). Así, usando la regla del cuadro de doble entrada, obtenemos en el de deportes x puestos un 1 en (s,1) y, por último, un 1 en (a,2).

Figura 2.2(b)

Para finalizar, descodificando los resultados obtenidos en la integrama, tenemos:

• El señor Alba, que ha obtenido el puesto 3º, es aficionado al té y practica la natación.
• El señor Blanco ha sido el segundo y es aficionado al zumo y al atletismo.
• El señor Cano ha obtenido el primer puesto y le gusta el café y el senderismo.

3. Paradojas

Los términos más frecuentemente usados en la descripción de una paradoja lógica son autorreferencia, contradicción, y círculo vicioso.

Hay formas de autorreferencia y contradicción que sin ser paradojas propiamente se aproximan bastante a un estado paradógico, un buenos ejemplos de este tipo serían:

POR FAVOR, NO LEA ESTA FRASE

PROHIBIDO PROHIBIR

Para hacer lo que dicen, no se puede hacer lo que dicen. Esta cuasi paradoja carece del tercer término, la circularidad viciosa: aunque la contradicción da vueltas en círculo no lo a hace una y otra vez. Tal situación la presenta también la siguiente historia:

"Un cocodrilo arrebató un bebé de los brazos de su madre y ofreció devolvérselo si podía contestar correctamente la pregunta: "¿Me comeré a tu niño?" La madre fue suficientemente inteligente para contestar: "Sí". Entonces, si el cocodrilo se comía al niño, demostrando que la madre había respondido correctamente a su pregunta, estaría contradiciendo su oferta de devolvérselo si respondía correctamente. Con todo este dilema, el cocodrilo se distrajo y la madre aprovechó para recuperar a su hijo. Mientras, el cocodrilo lamentaba su mala suerte porque la madre no había contestado "No" a su pregunta."

Una paradoja completa y muy famosa es la expuesta por Bertrand Russel en 1918: "Un hombre de Sevilla es afeitado por el barbero de Sevilla si, y sólo si, el hombre no se afeita a sí mismo. ¿Se afeita a sí mismo el barbero de Sevilla?"
Como vemos el problema es que "si lo hace, no lo hace; y si no lo hace, lo hace". Es clara ahora la circularidad viciosa de las paradojas completas.

El primer ejemplo de paradoja completa y, en muchos aspectos el mejor, es la paradoja del mentiroso. Eubúlides, filósofo de Megara del siglo VI a. C. Y sucesor de Euclides , la inventó. En esta paradoja Epiménides el cretense dice: "Todos los cretenses son mentirosos". Si dice la verdad, está mintiendo, y si miente está diciendo la verdad. Admite una forma más simple: "Estoy mintiendo", que ya era conocida por los antiguos como el pseudomenon.

Una fórmula medieval de la misma era:
Sócrates: "Lo que Platón va a decir es falso".
Platón: "Lo que acaba Sócrates es cierto".

Alfred Tarski informa: Hay un libro de cien páginas con una sola frase por página.
En la página 1 dice: "La frase impresa en la página 2 de este libro es falsa".
En la página 2 dice: "La frase impresa en la página 3 es verdad".
Y así hasta la página 99. Sin embargo, en la página 100, la última del libro, se lee: "La frase impresa en la página 1 de este libro es falsa".

El matemático inglés P.E.B. Jourdain sugirió lo siguiente en 1913:
En una cara de una tarjeta blanca imprimir: "La afirmación en la otra cara de esta tarjeta es verdadera".
En la cara opuesta de la misma tarjeta imprimir: " La afirmación en la otra cara de esta tarjeta es falsa".

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