Una introduccion a la logica proposicional

Daremos ahora unas nociones básicas de lógica proposicional
La lógica proposicional se encarga del estudio de los enunciados o declaraciones verbales, entendiendo por enunciado aquellas secuencias lingüísticas con pleno sentido cuya propiedad fundamental es que o bien es verdadero o bien falso, pero no ambas. Así, la frase "París está en Francia" es un enunciado, en cambio "Dónde está París? No es un enunciado y no es del interés de la lógica proposicional.
Los enunciados pueden ser compuestos, esto es, pueden estar formados por enunciados, tales que cada uno de ellos tiene perfecto significado, y palabras que los conecten. La propiedad fundamental de una declaración compuesta es que su valor de verdad está completamente determinado por los valores de verdad de sus componentes junto con la forma que están conectadas.
A la lógica proposicional no le interesa el contenido del enunciado en sí, sino su valor de verdad o falsedad y cómo es su estructura: si es un enunciado compuesto, cómo se unen los subenunciados que lo componen. Por tanto, se simbolizan las frases utilizando: p, q, r,¼ para representar los enunciados simples (que ya no se pueden descomponer en enunciados) y se les llama fórmulas atómicas o átomos; y se utilizan los símbolos:Ø, Ù, Ú, ®, « para representar las palabras que los conectan, a éstos se les llama conectivos lógicos. A la composición de átomos mediante conectivos se les llama fórmula molecular; en general, llamaremos proposiciones tanto a los átomos como a las fórmulas moleculares.

(Ø) Negación: Para toda proposición p, la proposición Øp significa lo opuesto o contrario a p. Se tiene que Øp es verdadera si p es falsa y es falsa si p es verdadera. Por ejemplo, si p representa el enunciado "París está en Francia", entonces Øp representa el enunciado "No es cierto que París está en Francia" o lo que es lo mismo "París no está en Francia"; en este caso p es verdadera y Øp es falsa. Los valores de verdad para la negación se pueden resumir en la siguiente tabla (codificamos V como el valor verdadero y F como el falso, también se suele usar 1 y 0 respectivamente).

(Ù) Conjunción: Dos enunciados cualesquiera pueden ser combinados por la palabra "y" para formar uno nuevo que llamaremos conjunción de los anteriores. Simbólicamente pÙq denota la conjunción de las proposiciones p y q. El valor de verdad de pÙq en función de los valores de verdad de p y de q viene dado en la siguiente tabla:

Es decir, pÙq es verdadera cuando las declaraciones p y q son ambas verdaderas, y sólo en ese caso en Así, la frase "Llueve y hace viento" es verdadera sólo en el caso en que ciertamente "Llueve" y ciertamente "hace viento"; si ciertamente llueve pero no hace viento, entonces la frase es falsa.

(Ú) Disyunción: Dos enunciados pueden ser combinadas por la palabra "o" para formar una nueva declaración que se llama disyunción y en términos de proposiciones será pÚq. El valor de verdad de pÚq en función de los valores de verdad de p y de q viene dada en la siguiente tabla:

Es decir, que pÚq sólo es falso cuando ambas declaraciones, p y q, son falsas y sólo en ese caso. Así, el enunciado "París está en Inglaterra ó 2+2=4" es verdadera pues ciertamente 2+2=4.
Debemos observar que al "o" que se hace referencia aquí en el sentido "y/o", esto es, puede ocurrir p, puede ocurrir q o ambos a la vez, en contraposición al "o" exclusivo: "Me voy a Sevilla o a Barcelona"; evidentemente no puedo hacer ambas cosas a la vez.

(®) Si-entonces: Para proposiciones cualesquiera p y q, escribimos p®q para notar las declaraciones de la forma "si p, entonces q" y que llamaremos condicional de p y q. El condicional de p y q es verdadera si p y q son ambas verdaderas o p es falsa. Su tabla de valores de verdad es:

(«) Si y sólo si: Notaremos p«q a las declaraciones de la forma "p si y sólo si q", es decir p y q son ambas verdaderas o ambas falsas. La tabla de sus valores es, por tanto:

En general, dada una proposición P(p,q,¼) podemos hallar sus valores de verdad en función de los de p, q,¼ con una tabla como las anteriores. Veamos, por ejemplo los valores de verdad de la proposición Øp Ú (pÙq) « p®q:

Obsérvese que las primeras columnas de la tabla son para las variables p, q, …y que hay suficiente número de filas en la tabla para permitir todas las posibles combinaciones de V y F para estas variables (para 2 variables se necesitan 4 filas, para 3 variables se necesitan 8 filas y, en general, para n variables se necesitan 2ⁿ filas). Hay a continuación una columna para cada paso "elemental" de la proposición, el valor verdadero de cada paso está determinado por los pasos previos mediante las definiciones de los conectivos lógicos. Finalmente, obtenemos los valores de verdad de la proposición en la última columna.
Nótese que los valores de verdad de la proposición ØpÚ(pÙq)«p®q son todos verdaderos (en la última columna sólo aparece V) al margen de los valores de verdad de las proposiciones p y q, cualquier proposición que verifique este hecho se denomina tautalogía. Análogamente una proposición se dice que es una contradicción si contiene sólo F en la ultima columna de su tabla de verdad. La tautología más elemental sería pÚØp, y la contradicción sería pÙØp.
También se puede observar que las dos columnas anteriores a la última son iguales, esto es, los valores de verdad de las proposiciones ØpÚ(pÙq) y p®q coinciden, en ese caso se dice que las proposiciones son equivalentes (por eso si unimos ambas proposiciones mediante el conectivo « se obtiene una tautología).

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