Cálculo de una Colisión Inelástica
Equivalencia de Sistemas Inerciales incluyendo aceleraciones.

(Primer desarrollo: 05 de marzo de 2003)

Supongamos que elegimos dos objetos Objeto₁ y Objeto₂ (en principio puede tratarse de partículas atómicas o de masas ponderables). Suponemos que ambos objetos se confrontan en reposo, en el sistema inercial A, determinándose que sus masas son iguales m₁ = m₂. 

A continuación aceleramos a m₂ hasta obtener una velocidad de 0.99c con respecto al sistema A y llamamos B al nuevo sistema en el que m₂ se comporta como si estuviera en reposo. El coeficiente de Lorentz, para esta velocidad relativa (Coef_L_A inic) es de 0.141 y la inversa de esta coeficiente es: K_A inic = 1/Coef_L_A inic = 7.089.

Y, siguiendo los resultados de la RE se obtiene lo siguiente:

1. m₁ medido en A (m_1A) tiene la misma magnitud que m₂ medido en B (m_2B).

2. m₂ presenta una masa 7.09 mayor que m₁ tal como se aprecia desde el sistema A (m_2A = 7.089 m_1A).

3. m₁ presenta una masa 7.09 mayor que m₂ tal como se aprecia desde el sistema B (m_1B = 7.089 m_2B).

Analicemos, entonces, si esta equivalencia entre los observadores de ambos sistemas soporta una confrontación directa mediante un choque entre ambas masas. 

Para simplificar el análisis, asumimos lo siguiente:

• El choque se produce siguiendo la dirección* de ambos sistemas.

• El choque es inelástico, de modo que m₁ y m₂ permanecen unidos luego del choque.

• Para ambos observadores debe conservarse la cantidad de movimiento del sistema.

Empezamos el análisis calculando el resultado esperado para los observadores del sistema A:

Para los observadores de A, m₁ está en reposo, en tanto que m₂ se mueve hacia m₁ con una velocidad de 0.99c. De este modo la cantidad de movimiento inicial del sistema (antes del choque) es

Cantidad de Mov_A inicial = m_1A* v_1A + m_2A* v_2A 

Cantidad de Mov_A inicial = m_1A* 0 + 7.089 m_1A* 0.99c

Cantidad de Mov_A inicial = 7.018 (en las unidades correspondientes)

Esta cantidad de movimiento debe conservarse luego de la colisión en que ambas partículas permanecen unidas y moviéndose con velocidad "Vel_A final" con respecto al sistema A. 

Luego de la colisión la masa final del sistema formado por las dos partículas (Masa_A final) es la correspondiente a las dos masas en reposo más el equivalente en masa de la pérdida de energía cinética durante el choque inelástico (DEc), convertida en energía interna del sistema. Esta masa en reposo es afectada por el coeficiente de Lorentz (Coef_L_A final) correspondiente a la velocidad relativa (Vel_A final) entre el sistema A y las dos masas unidas.

De modo que, recordando (gracias César) que La fórmula de la Energía cinética en relatividad especial no es:

0.5 * m * v²

sino

(K-1) * m₀ * c²        ;      (Energía total menos Energía en reposo).

donde

• K = (1 - v² / c²)^-0.5

• m₀ = masa en reposo.

Nota: Para pequeñas velocidades se desarrolla K en serie y se obtiene: 0.5 * m₀ * v² despreciando términos en v⁴/c⁴, que es la fórmula clásica.

 podemos escribir las ecuaciones necesarias para resolver el problema:

Coef_L_A final = (1 - Vel_A final² / c²)^0.5   ; (K_A final = 1 / Coef_L_A final)

DEc = (K_A inic - 1) * m_2A * c² - (K_A final - 1) * Masa_A Final * c² 

Masa_A Final = 2* m_1A  * K_A final + DEc / c²

Y la cantidad de movimiento final es:

Cantidad de Mov_A final = Masa_A Final * Vel_A final 

De modo que, sabiendo que 

Cantidad de Mov_A final = Cantidad de Mov_A inicial = 7.018

disponemos de las ecuaciones necesarias para encontrar los valores de las siguientes incógnitas:

• Masa_A Final 

• Vel_A final

• Coef_L_A final

• DEc 

La solución de este sistema conduce a los siguientes valores medidos en el sistema A :

Masa_A Final = 8.089 m_1A

Vel_A final = 0.868c

Coef_L_A final = 0.497    ;  (K_A final = 1/Coef de Lorentz = 2.011)

DEc = 4.067 (unidades de masa en reposo)

Estos valores cumplen con la conservación de la cantidad de movimiento observada desde el sistema A para un choque inelástico de las masas elegidas.

Veamos, entonces cuál es la velocidad de este sistema de las dos masas solidarias, con respecto sistema B (Vel_B final) luego de la colisión.

Para ello la RE nos presenta dos opciones de cálculo.

Primera opción:

En este caso, nos mantenemos en el sistema A y recurrimos a la fórmula de adición de velocidades de la RE.

Vel_B final = (Vel_A final - Vel Relat_AB)/ (1- (Vel_A final * Vel Relat_AB / c²))

Con lo que obtenemos

Vel_B final = (0.868c - 0.99c)/ (1- (0.868c * 0.99c / c²)) = - 0.868c

Segunda Opción:

Para ello aplicamos la equivalencia de todos los sistemas inerciales. De este modo el cálculo realizado para el sistema A es totalmente válido para el sistema B (cambiando v por -v). Por lo tanto la velocidad final del sistema de las dos masas unidas luego de la colisión, tal como se observa desde B,  es 

Vel_B final = - 0.868c

Con lo cual (luego de la colisión inelástica) verificamos que los observadores del sistema A y los observadores del sistema B obtienen exactamente los mismos resultados. 

Desde el punto de vista de A todo se comporta como si el objeto acelerado hasta 0.99c hubiera aumentado realmente su masa conforme al coeficiente de Lorentz.

Desde el punto de vista de B todo se comporta como si el objeto que permaneció en reposo (mientras el otro era acelerado hasta 0.99c), hubiera aumentado realmente su masa conforma al coeficiente de Lorentz.

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