56.   REGALO MILLONARIO. Contar un millón llevaría 11 días, 13 horas, 46 minutos y 39'9 segundos. Pero al no poder dormir, eso sobrepasaría el límite de resistencia de la naturaleza humana. Contando dos días y medio sin parar se llevaría Vd. 216.000 ptas.

57.   MONETARIO. La mayor cantidad que no se puede pagar es 53 centavos. Con monedas de 7 centavos tenemos cubiertas todas las terminaciones (21, 42, 63, 14, 35, 56, 7, 28, 49) desde 63 en adelante. Por lo tanto, el mayor valor que no se puede abonar es 53.

58.   SE LLEGA SIEMPRE AL 1.

59.   SOBRE NÚMEROS DE DOS CIFRAS. 10x+y=y²,  10x=y(y-1).
         Como el número es el cuadrado de la cifra de sus unidades, ésta ha de ser un 5 o un 6, ya que todas las demás dan cuadrados que no acaban en la misma cifra.
         Para y=5 x=2. Para y=6 x=3. Existen, pues, dos soluciones: 25 y 36.

60.   SIEMPRE EXACTO: La serie que va del 2521 al 2529. 2521/1=2521, 2522/2=1261, 2523/3=841, 2524/4=631, 2525/5=505, 2526/6=421, 2527/7=361, 2528/8=316 y 2529/9=281.

61.   FECHAS CAPICÚAS. Las fechas pedidas son: 29-8-92 y 2-9-92. Entre ellas hay cuatro días.

62.   TRES ENTEROS CONSECUTIVOS. 3, 4 y 5.

63.   VAYA BOLETO. El boleto era el 31113.

64.   MCD y mcm. Dos números enteros cualesquiera.

65.   EL TELÉFONO DE MI COLEGA. El teléfono es el 216-1649

66.   FACILEMA. Si xy es el número buscado:
         10x+y=2xy     y=(2y-10)x. Como y ha de ser entero positivo, la expresión anterior nos dice que además será par y mayor que 5. Sólo puede ser 6 u 8. Pero 8, da una imposibilidad, ya que se obtiene: 8=6x. Para y=6, se obtiene la solución correcta: 6=2x, x=3.
         El número buscado es el 36.

67.   PAR = DIEZ. En el sistema de numeración de base 2, el par vale 10. En este sistema nuestro 10 (2³+2) se escribe 1010.

68.   CURIOSA RAÍZ CUADRADA. 11111 y resto 2468.

69.   NUMEROS PRIMOS. Supuesta formada una tabla de números primos, sea P el mayor primo obtenido.
         Demostremos que hay un número primo mayor que P.
         El número (2 3 5 7 11 ... P)+1 es mayor que P. Si este número es primo ya está demostrado. Si es compuesto, admitirá un divisor primo, y este divisor primo será mayor que P, pues el número en cuestión no es divisible por ninguno de los números primos inferiores a P, ya que en todas las divisiones se obtiene resto igual a 1. Por tanto, no puede haber un número finito de números primos.

72.   PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (3).
        2.267.573.696.145.124.716.553.287.981.859.410.430.839.

73.   LOS 4 SON PRIMOS. A, B, C y D sólo pueden tomar valores 1, 3, 7 y 9. A y C sólo pueden ser 1 ó 7; de lo contrario, ADDD y AACA serían divisibles por 3 por el criterio de divisibilidad de la suma de las cifras. Por tanto, B y D han de ser 3 ó 9. Entonces el número BCDB sólo puede ser:
         3193 (no es primo, es divisible por 31)
         3793 primo
         9139 (no es primo, es divisible por 13)
         9739 primo
         En los dos caso posibles C=7; por tanto A=1. El número BDAC habrá de ser, o bien 9317, que es divisible por 7, o bien 3917, que es primo, y, por tanto, la única solución correcta: A=1, B=3, C=7 y D=9.

74.   TRES CIFRAS Y EL 30. 30=33-3.  30=3³+3.  30=4!+4+Raíz(4).  30=5x5+5. 30=9xRaíz(9)+Raíz(9).

75.   LA CONJETURA CAPICÚA.  ...............

76.   TIRO CON ARCO (1). Seis flechas harán cien puntos si dan en 17, 17, 17, 17, 16, 16.

77.   TIRO CON ARCO (2). Ocho flechas harán cien puntos si dan en 13, 13, 13, 13, 13, 13, 11, 11.

78.   TRES CIFRAS Y EL 24. 24=22+2. 24=3³-3. 24=(4+ 4) 4. 24=4!+4-4. 24=4!+ 4- 4.

79.   SOLDADOS COMBATIVOS (1). 324 = 18². 325 = 13 x 5²

80.   SOLDADOS COMBATIVOS (2). 602.176 = 776². 602.177 = 113 x 73²

81.   EL NÚMERO 987.654.321.

82.   DEL TEOREMA DE FERMAT. El primer número, 1324, al ser elevado a una potencia cualquiera, terminará en 6 o en 4. Los otros dos números, 731 y 1961, elevados a potencia, habrán de acabar en 1. Puesto que ningún número acabado en 6 o en 4, sumado a un número acabado en 1, puede dar un número acabado en 1, la ecuación carece de soluciones.

83.   A LA CAZA DEL 53.
         35 - 53 - 5 x (5+5+3) = 53.
         (5x5+3) x (5-3) - 5 + 5 - 3 = 53.
         (5/5+5+3) x (3+3) - 5/5 = 53.
         (5+3) x (5+5-3) - 3 x (5/5) = 53.

84.   DIANA (1). 25, 25, 20, 20, 3 y 3.

85.   DIANA (2). 5, 13, 13, y 19.

86.   DIANA (3). 16, 16, 16, 16, 17 y 19.

87.   DIANA (4). 11, 19, 19, 17, 17 y 17.

87.   MUCHOS CUADRADOS. Sigue así:  5² + 6² + 30² = 31²
         6² + 7² + 42² = 43²
         7² + 8² + 56² = 57²
         8² + 9² + 72² = 73²
         ...................
         Cada expresión es de la forma: a²+(a+1)²+(a²+a)²=(a²+a+1)².

88.   AABB=(CD)². N = aabb = 1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = 11 (100a + b) = 11² n²     a=7, b=4     N = 7744.

89.   ABCD = (CD)². 5776 = 76². Solución única.

90.   A²+B²+C²=D². Hay infinitas soluciones:
         2² + 10² + 11² = 15²,
         3² + 4² + 12² = 13²,
         5² + 12² + 84² = 85²,
         etc.

91.   A³+B³+C³=D³. Hay infinitas soluciones: 3³ + 4³ + 5³ = 6³.

92.   A²+(A+1)²=B⁴. La solución más breve es: 119² +  120² = 13⁴.

93.   PRODUCTOS SIN REPETIR CIFRA.
         157 x 28 = 4396
         186 x 39 = 7254
         159 x 48 = 7632
         1738 x 4 = 6952
         1963 x 4 = 7852
         ...............

94.   CUADRADOS SIN REPETIR CIFRA. Aunque el interés matemático de esta cuestión es casi nulo, se ha encontrado que el número de cuadrados perfectos con las cifras diferentes es el siguiente:
         De 3 cifras, hay 13: Los cuadrados de 13, 14, 16, 17, 18, 19, 23, 24, 25, 27, 28, 29 y 31.
         De 4 cifras hay 36.
         De 5 cifras hay 65.
         De 6 cifras hay 94.
         De 7 cifras hay 123.
         De 8 cifras hay 97.
         De 9 cifras hay 81.
         De 10 cifras hay 86.

98.   CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (1). 4.938.271.605 x 2 = 9.876.543.210. En el primero, las cifras 4, 3, 2, 1 y 0 alternan con las 9, 8, 7, 6 y 5.

99.   CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (2). 915x64 = 732x80 = 58.560.

100.   CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (3). 27 x 594 = 16.038. Si los números pudieran contener uno, cuatro y cinco dígitos respectivamente, habría muchas respuestas correctas, tales como 3 x 5.694 = 17.082.
 
101.    CURIOSOS CUADRADOS INVERTIDOS. El matemático V. Thébault ha investigado cuáles son todos los pares que gozan de esta curiosa propiedad. Halló, por ejemplo, el par siguiente:
           1113² = 1238769,  3111² = 9678321.
           Otros que también la cumplen:
           102² = 10404,  201² = 40401
           103² = 10609,  301² = 90601
           112² = 12544,  211² = 44521
           113² = 12769,  311² = 96721
 
102.    DOBLE SUMA.

103.    CINCO CONSECUTIVOS. Los números pedidos son: 10, 11, 12, 13 y 14.
           10² = 100,  11² = 121,   12² = 144,       100 + 121 + 144 = 365.
           13² = 169,  14² = 196,       169 + 196 = 365.

104.    ORDENANDO NÚMEROS. Ocho - Uno - Dos - Tres - Nueve - Seis - Cinco - Siete - Cuatro. Hay más soluciones.

105.    LA PROPORCIÓN MALIGNA. ¿Que si hay muchas más? Fíjese:
           2/10=697/3.485   2/10=769/3.845   2/10=937/4.685   2/10=967/4.835
           2/10=973/4.865   2/13=706/4.589   2/13=784/5.096   2/13=904/5.876
           2/16=738/5.904   2/16=935/7.480   2/16=938/7.504   2/19=406/3.857
           2/19=604/5.738   2/34=507/8.619   2/70=139/4.865   2/79=154/6.083
           3/15=972/4.860   3/18=465/2.790   3/21=708/4.956   3/21=807/5.649
           3/24=895/7.160   3/24=951/7.608   3/27=609/5.481   3/27=906/8.154
           3/42=579/8.106   3/45=186/2.790   3/45=618/9.270   3/51=476/8.092
           3/72=195/4.680   3/76=159/4.028   3/78=165/4.290   3/87=204/5.916
           3/92=186/5.704   4/13=860/2.795   4/31=968/7.502   4/32=89517.160
           4/32=951/7.608   4/38=206/1.957   4/38=602/5.719   4/52=716/9.308
           4/68=159/2.703   4/68=207/3.519   4/68=307/5.219   4/68=531/9.027
           4/81=356/7.209   4/86=130/2.795   5/20=796/3.184   5/30=697/4.182
           5/31=480/2.976   5/31=690/4.278   5/40=237/1.896   5/40=371/2.968
           5/40=789/6.312   5/40=791/6.328   5/40=839/6.712   5/40=892/7.136
           5/40=916/7.328   5/40=921/7.382   5/43=910/7.826   5/46=910/8.372
           5/48=310/2.976   5/69=310/4.278   5/91=430/7.826   5/91=460/8.372
           6/15=948/2.370   6/21=874/3.059   6/24=795/3.180   6/27=930/4.185
           6/30=297/1.485   6/48=915/7.320   6/54=309/2.781   6/54=903/8.127
           6/57=204/1.938   6/57=402/3.819   6/81=534/7.209   6/84=195/2.730
           6/90=183/2.745   6/93=270/4.185   6/93=504/7.812   7/29=364/1.508
           7/35=296/1.480   7/35=962/4.810   7/38=259/1.406   7/38=924/5.016
           7/49=308/2.156   7/49=803/5.621   7/56=238/1.904   8/20=694/1.735
           8/31=760/2.945   8/35=496/2.170   8/37=456/2.109   8/52=304/1.976
           8/52=934/6.071   8/56=307/2.149   8/56=703/4.921   8/64=915/7.320
           8/76=310/2.945   8/97=256/3.104   9/45=276/1.380   9/45=372/1.860
           9/45=762/3.810   9/72=451/3.608   9/72=631/5.048   9/72=638/5.104
           9/72=813/6.504   9/78=531/4.602   9/78=612/5.304   9/81=306/2.754
           9/81=603/5.427.  Salvo error.

106.    BILLETES CAPICÚAS.
           a) Hay 1.000. Son tantos y sólo tantos como números distintos hay de tres cifras, ya que si a cada uno de estos se le añaden sus dos propias primeras cifras en orden inverso, resulta un número de cinco cifras que es capicúa. Y no hay un capicúa de cinco cifras que no pueda resultar de uno de tres tras esta operación.
           b) Hay 9 pares de números capicúas que están a sólo 11 unidades de diferencia que son: 09990 y 10001; 19991 y 20002; 29992 y 30003; 39993 y 40004; 49994 y 50005; 59995 y 60005; 69996 y 70007; 79997 y 80008; 89998 y 90009.
           c) Los más alejados entre sí son, evidentemente: 00000 y 99999 (Siendo el 00000 el primero). Los más alejados entre sí serían: 00100 y 00000, si el 00000 fuera el último.
           d) Hay 112 billetes, por ejemplo, desde el 09890 hasta el 10001, ambos inclusive, que tiene estos dos y el 09990. Hay otros conjuntos de 112 billetes consecutivos que también contienen tres capicúas.
           e) Hay 310 billetes.

107.    CINCO CIFRAS SEGUIDAS. 13x4=52. Hay más soluciones.

108.    SENCILLO, DOBLE Y TRIPLE. Otras dos: 273-546-819.  327-654-981.

109.    EL TELÉFONO DE MI AMIGO EL VALENCIANO. 3-69-25-84.

110.    EL TELÉFONO DE MI AMIGO AMERICANO. 3816547290.