MatHCrazY

56. REGALO MILLONARIO. Imaginemos que un millonario se ofrece a regalarle a Vd. las monedas de una peseta que sea capaz de llevarse, a condición de contarlas una por una y sin detenerse. Podrá Vd. llevarse todas las que haya contado hasta que se pare. Supongamos que cuenta una moneda por segundo. ¿Cuántas cree Vd. que podrá llevarse en realidad?

57. MONETARIO. En la República de Bizarria existe un curioso sistema monetario. Tienen allí solamente dos valores de monedas, de 7 centavos y de 10 centavos. La pregunta que hacemos también es extraña pero admite una solución simple. ¿Cuál es la mayor suma de centavos que no se puede abonar exactamente con tales monedas?

58. SE LLEGA SIEMPRE AL 1. Toma un número natural cualquiera. Si es impar multiplícalo por 3 y añádele 1. Si es par, toma la mitad. Repitiendo la operación sucesivamente se llega siempre al número 1. Así:
         12 - 6 - 3 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1.
         100 - 50 - 25 - 76 - 38 - 19 - 58 - 29 - 88 - 44 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1.
         Esto ha sido comprobado con calculadoras hasta números muy grandes, pero no se tiene una demostración de que el hecho sea general.

59. SOBRE NÚMEROS DE DOS CIFRAS. ¿Qué número de dos cifras es el cuadrado de la cifra de sus unidades?

60. SIEMPRE EXACTO: Encontrar los menores 9 números consecutivos (mayores que 10), el primero terminado en 1 y el mayor terminado en 9, de manera que al dividirse por su última cifra el resultado de siempre exacto. Ejemplo: 31/1 sí, 32/2 sí, 33/3 sí, 34/4 no, 35/5 sí, 36/6 sí, 37/7 no, 38/8 no, y 39/9 no.

61. FECHAS CAPICÚAS. El día 19 de septiembre de 1981, en una emisora de radio, el presentador cayó en la cuenta de que tal fecha (18-9-81) era capicúa. Esto le dio lugar a lanzar en antena la siguiente pregunta: ¿Cuáles son las dos fechas capicúas más cercanas entre sí del siglo XX? ¿Podrá Vd. adivinarlas?

62. TRES ENTEROS CONSECUTIVOS. ¿Qué tres números enteros consecutivos y positivos, multiplicados entre sí, dan un total igual a quince veces el segundo de ellos?

63. VAYA BOLETO. El otro día compré un boleto de lotería capicúa. Si sumaba sus cinco cifras daba el mismo resultado que si las multiplicaba. La primera cifra de la izquierda era la edad de mi hermana pequeña, las dos siguientes la edad de la mediana, y las dos últimas la edad de la mayor, que le lleva más de un año a la mediana. ¿Cuál era la numeración del boleto?

64. MCD y mcm. Hallar dos números enteros positivos, x e y, tales que el producto de su MCD y su mcm sea el producto xy.

65. EL TELÉFONO DE MI COLEGA. Le pedí a mi colega Sátur su número de teléfono. Como es profesor de matemáticas me contestó diciendo: «El número que forman las cifras de las posiciones 4 y 5 es un cuadrado perfecto, al igual que el de las posiciones 5 y 6 y el de las posiciones 6 y 7. La tres primeras cifras forman un cubo perfecto, igual al producto de los otros cuatro dígitos». ¿Podría Vd. llamar por teléfono a mi colega Sátur?

66. FACILEMA. ¿Cuál es el número de dos cifras que es igual al doble del producto de sus cifras?

68. CURIOSA RAÍZ CUADRADA. Calcula la raíz cuadrada del número 123.456.789. Observa el resultado y el resto.

70. PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (1). Una propiedad muy conocida del número 12.345.679 es que al multiplicarlo por 9 da un producto que se escribe con sólo la cifra 1, esto es el número 111.111.111. Por lo tanto al multiplicarlo por 18 (que es 9x2), por 27 (que es 9x3), por 36, etc., se obtienen también productos notables, a saber:
         12.345.679 x 9 = 111.111.111
         12.345.679 x 18 = 222.222.222
         12.345.679 x 27 = 333.333.333
         12.345.679 x 36 = 444.444.444
         12.345.679 x 45 = 555.555.555
         12.345.679 x 54 = 666.666.666
         12.345.679 x 63 = 777.777.777
         12.345.679 x 72 = 888.888.888
         12.345.679 x 81 = 999.999.999

71. PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (2). De no conocer el multiplicando, podríamos haber intentado hallarlo sin más que dividir por 9 el número 11111..., bajando después de cada resto un uno, en vez de un cero, hasta que la división fuese exacta.
         Investiguemos, de este modo, cuál es el número que multiplicado por 7, da un producto escrito sólo con las cifras 1:
         111.111 : 7 = 15873. Por consiguiente, resultará:
         15.873 x 7 = 111.111
         15.873 x 14 = 222.222
         15.873 x 21 = 333.333
         15.873 x 28 = 444.444
         15.873 x 35 = 555.555
         15.873 x 42 = 666.666
         15.873 x 49 = 777.777
         15.873 x 56 = 888.888
         15.873 x 63 = 999.999

72. PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (3). ¿Cuál es el número que, multiplicado por 49 da un producto que se escribe con sólo las cifras 1?

73. LOS 4 SON PRIMOS. ADDD, AACA, BCDB y BDAC son cuatro números primos. ¿Cuáles son?

74. TRES CIFRAS Y EL 30. Es fácil escribir el 30 con tres seises: (30=6x6-6) ¿Se podrá hacer lo mismo con otras tres cifras iguales? Busca todas las soluciones.

75.   LA CONJETURA CAPICÚA. Para obtener un número capicúa a partir de otro número se invierte el orden de sus cifras y se suman el número dado y el invertido. Este proceso se continúa las veces que sean necesarias hasta obtener un capicúa. Por ejemplo:
         Partiendo del 78.
         78 + 87 = 165.
         165 + 561 = 726.
         726 + 627 = 1353.
         1353 + 3531 = 4884 CAPICÚA.
         La conjetura capicúa dice que, aplicando el proceso anterior a un número natural cualquiera, se obtiene un número capicúa en un número finito de pasos.
         Partiendo del número 89 es necesario dar 24 pasos para conseguir el número 8.813.200.023.188. ¿Existirá algún número que sea excepción de la conjetura? El matemático ruso Boris A. Kordemsky ensayó en computadoras con el número 196, sometiéndolo a miles y miles de pasos, y no ha conseguido todavía ningún número capicúa.
         Siguiendo los pasos anteriores halla los capicúas correspondientes a 84, 75 y 86.

76. TIRO CON ARCO (1). ¿Cuántas flechas hacen falta para hacer justo cien puntos en el siguiente blanco? [40-39-24-23-17-16]

77. TIRO CON ARCO (2). ¿Cuántas flechas hacen falta para hacer justo cien puntos en el siguiente blanco? [11-13-31-33-42-44-46]

78. TRES CIFRAS Y EL 24. Es fácil escribir el 24 con tres ochos: (24=8+8+8). ¿Se podrá hacer lo mismo con otras tres cifras iguales? Busca todas las soluciones.

79. SOLDADOS COMBATIVOS (1). Cierto número de soldados se dirigían a combatir formando un cuadrado. En el camino se les unió un extraño, y entonces formaron exactamente 13 cuadrados menores iguales. ¿Cuántos soldados fueron a la batalla?

80. SOLDADOS COMBATIVOS (2). Cierto número de soldados se dirigían a combatir formando un cuadrado. En el camino se les unió un extraño, y entonces formaron exactamente 113 cuadrados menores iguales. ¿Cuántos soldados fueron a la batalla?

81.   EL NÚMERO 987.654.321. Con el número 987.654.321 se obtienen productos con todas sus cifras, más el 0, permutadas:
         987.654.321 x 2 = 1.975.308.642
         987.654.321 x 3 = 2...................3
         987.654.321 x 4 = 3...................4
         987.654.321 x 5 = 4...................5
         987.654.321 x 6 = 5...................6
         987.654.321 x 7 = 6...................7
         987.654.321 x 8 = 7...................8

82. DEL TEOREMA DE FERMAT. La revista Time del 7 de marzo de 1938 daba cuenta de que un tal Samuel Isaac Krieger afirmaba haber descubierto un contraejemplo para el teorema magno de Fermat, que sigue en nuestros días pendiente de confirmación. Krieger hizo saber que su ejemplo era de la forma 1324ⁿ + 791ⁿ = 1961ⁿ, siendo n un cierto entero positivo mayor que 2, que Krieger se negaba a revelar. Un periodista del New York Times, decía Time, pudo demostrar fácilmente que Krieger estaba equivocado. ¿De qué manera?.

83. A LA CAZA DEL 53. Con 5 cincos, 3 treses y los signos matemáticos +, -, x, : y () formar expresiones matemáticas que sean igual a 53.

84. DIANA (1). En una diana están los números 1, 2, 3, 5, 10, 20, 25 y 50. ¿Cómo se pueden conseguir 96 puntos con tres dobles?

85. DIANA (2). En una diana están los números 3, 5, 11, 13 y 19. ¿Cómo se pueden conseguir 50 puntos con el menor número de impactos?

86. DIANA (3). En una diana están los números 8, 9, 16, 17 y 19. ¿Cómo se pueden conseguir 100 puntos con el menor número de impactos?

87. DIANA (4). En una diana están los números 7, 9, 11, 17 y 19. ¿Cómo se pueden conseguir 100 puntos con seis impactos?

87.   MUCHOS CUADRADOS. Observemos las siguientes igualdades:
         2² + 3² + 6² = 7²
         3² + 4² + 12² = 13²
         4² + 5² + 20² = 21²
         ¿Cómo seguir? ¿Por qué sucede esto?

89. ABCD = (CD)². Hallar un número de cuatro cifras que sea el cuadrado del número formado por sus dos últimas cifras.

92. A²+(A+1)²=B⁴. Hallar dos números consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea una potencia de 4.

93.   PRODUCTOS SIN REPETIR CIFRA. Los siguientes productos tienen la particularidad de que en cada uno de ellos entran cada una de las nueve primeras cifras significativas sólo una vez. [Pueden ser útiles para comprobar si lucen bien todas las cifras de una calculadora]
         483 x 12 = 5796
         138 x 42 = 5796
         297 x 18 = 5346
         198 x 27 = 5346
         ¿Podría encontrar Vd. alguno más?

94.   CUADRADOS SIN REPETIR CIFRA. Los siguientes cuadrados tienen todas sus cifras diferentes:
         13² = 169
         36² = 1296
         286² = 81796
         322² = 103684
         1027² = 1054729
         6901² = 47623801
         10124² = 102495376
         32043² = 1026753849
         ¿Podría encontrar Vd. alguno más?

95.   PRODUCTOS POR EL NÚMERO 8.
         1 x 8 + 1 = 9
         12 x 8 + 2 = 98
         123 x 8 + 3 = 987
         1234 x 8 + 4 = 9876
         12345 x 8 + 5 = 98765
         123456 x 8 + 6 = 987654
         1234567 x 8 + 7 = 9876543
         12345678 x 8 + 8 = 98765432
         123456789 x 8 + 9 = 987654321

96.   PRODUCTOS POR EL NÚMERO 9.
         1 x 9 + 2 = 1
         12 x 9 + 3 = 11
         123 x 9 + 4 = 111
         1234 x 9 + 5 = 1111
         12345 x 9 + 6 = 11111
         123456 x 9 + 7 = 111111
         1234567 x 9 + 8 = 1111111
         12345678 x 9 + 9 = 11111111
         123456789 x 9 + 10 = 111111111

97.   OTROS PRODUCTOS POR EL NÚMERO 9.
         0 x 9 + 8 = 8
         9 x 9 + 7 = 88
         98 x 9 + 6 = 888
         987 x 9 + 5 = 8888
         9876 x 9 + 4 = 88888
         98765 x 9 + 3 = 888888
         987654 x 9 + 2 = 8888888
         9876543 x 9 + 1 = 88888888
         98765432 x 9 + 0 = 888888888
         987654321 x 9 - 1 = 8888888888

98. CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (1). Encontrar un número de diez cifras diferentes que, multiplicado por 2, dé otro número de diez cifras diferentes.

99. CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (2). 3485x2 = 6970x1 = 6970, es el resultado menor que se puede obtener separando los diez dígitos en dos grupos para hacer dos productos que den el mismo resultado. Dividir los diez dígitos en dos grupos de cinco, y disponerlos para formar dos multiplicaciones que den el mismo producto y el más alto posible.
Nota. Los segundos factores pueden tener dos cifras.

100. CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (3). 78 x 345 = 26.910. Hay muchos conjuntos de números de dos, tres y cinco cifras respectivamente que tienen la particularidad mostrada en el ejemplo utilizando las diez cifras. Pero hay un conjunto, y sólo uno, en la que los números cuentan con la particularidad adicional de que el segundo es múltiplo del primero. ¿Cuáles son los tres números que buscamos?

101.   CURIOSOS CUADRADOS INVERTIDOS. Los siguientes pares de cuadrados perfectos y sus raíces están formados por las mismas cifras escritas en orden inverso:
           12² = 144, 21² = 441
           13² = 169, 31² = 961
           122² = 14884, 221² = 48841
           ¿Podría encontrar Vd. algunos más?

102. DOBLE SUMA. En la figura adjunta aparecen los números del 1 al 9, distribuidos de un modo curioso: así como están forman una suma perfecta (583+146=729) y si Vd. gira la hoja noventa grados en sentido horario, forman otra suma perfecta (715+248=963). Encuentre otra disposición de los números que cumpla la misma condición.

103. CINCO CONSECUTIVOS. Encuentre Vd. cinco números naturales consecutivos tales que la suma de los cuadrados de los dos mayores sea igual a la suma de los cuadrados de los otros tres.

104. ORDENANDO NÚMEROS. Ordenar los números del 1 al 9 de modo que el nombre de cada número tenga una y solamente una letra en común con el nombre del anterior.

105.   LA PROPORCIÓN MALIGNA. En el ejemplo se muestra una solución a la proporción a/b=c/d con las siguientes restricciones:
           - El número a ha de ser de una cifra, el b de dos cifras, el c de tres y el d de cuatro.
           - Entre los cuatro números no se puede repetir ninguna cifra. Es decir, aparecerán las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9 una vez y sólo una vez.
          Ejemplo: 1/26=345/8.970.
          ¿Habrá muchas más?

106.   BILLETES CAPICÚAS. En la taquilla del tren hay un rollo de 100.000 billetes numerados del 00000 al 99999.
           a) ¿Cuántos capicúas tendrá el rollo?
           b) ¿Cuáles serán los que están más cerca entre sí?
           c) ¿Cuáles serán los que están más separados entre sí?
           d) ¿Cuál será la cantidad mínima de billetes ordenados que pueden albergar tres capicúas?
           e) ¿Cuál es la cantidad mínima de billetes que tenemos que comprar para estar seguros de que compramos tres capicúas?

107. CINCO CIFRAS SEGUIDAS. Poner en lugar de los * cinco cifras consecutivas (aunque no hace falta ponerlas en orden) para que se verifique la igualdad: * * x * = * *

108. SENCILLO, DOBLE Y TRIPLE. Se han acomodado los números del 1 al 9 en un cuadrado 3x3 con las siguientes condiciones:

1	9	2
3	8	4
5	7	6

           - El número de tres cifras de la segundda fila (384) es el doble que el de la primera (192).
           - El de la tercera fila (576) es el triple que el de la primera (192).
           ¿Será Vd. capaz de encontrar otras disposiciones con esas mismas condiciones?
           Para animarle le doy otra: 219-438-657.

109. EL TELÉFONO DE MI AMIGO EL VALENCIANO. Según mi amigo, es el único que no repite ninguna cifra, no contiene el cero, es par y además las dos primeras cifras constituyen un múltiplo de 2, las tres primeras un múltiplo de 3, y así sucesivamente hasta el total que es múltiplo de 7. ¿Cuál es el número de teléfono de mi amigo?
Observación: En Valencia los teléfonos tienen 7 cifras y comienzan por 3.

110. EL TELÉFONO DE MI AMIGO AMERICANO. Es de 10 cifras, la primera es múltiplo de 1, las dos primeras cifras forman un múltiplo de 2, las tres primeras un múltiplo de 3, las cuatro primeras un múltiplo de 4, etc. ¿Cuál es el número de teléfono de mi amigo americano?