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31 MONEDAS IGUALES DANDO VUELTAS. La moneda A da dos vueltas. ¿No se lo cree Vd.? Tome las dos monedas y lo comprobará.

33. POSAVASOS Y SERVILLETA. Colocamos uno de los vértices de la servilleta sobre cualquiera de los puntos de la circunferencia del posavasos.
El ángulo definido por ABC es un ángulo recto, luego el segmento AC es un diámetro de la circunferencia. Trazamos con un lapicero la línea AC y repetimos la misma operación eligiendo como B cualquier otro punto del perímetro del posavasos. Una vez trazado el segundo diámetro ya está hallado el centro de la circunferencia.

34. EL CUBO Y LOS PLANOS. La diagonal es perpendicular a los planos en cuestión y forma ángulos iguales con todas las aristas del cubo, por lo que la proyección de una cualquiera de éstas sobre aquélla es constante. Luego, sin más que dibujar la figura, se concluye que la distancia entre los dos planos es 1/3 de la diagonal.

35. CUATRO CÍRCULOS IGUALES. La misma que uno de los círculos, es decir, PI. La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360 . Cada sector sombreado cubre una parte de un círculo cuya área depende del ángulo correspondiente. Los cuatro ángulos cubrirán un área igual a la de un círculo completo.

36. LOS PINTORES DE LA CATEDRAL. Un metro cuadrado. Es el área de un cuadrado de un metro de lado.

37.    MUY ELEGANTE. B puede tener cualquier valor.
         Sean x e y las dos partes en que se divide B, x la mayor.
         x/6 = B/10     x = 6B/10
         y/6 = B/15     y = 6B/15
         Como B = x+y. Sustituyendo:
         B = 6B/10 + 6B/15; o bien:
         B = 3B/5 + 2B/5. Igualdad que siempre se cumple para cualquier valor de B.

38. LA SOMBRA DESCONOCIDA. Observe que los triángulos sombreados de la figura son iguales por ser el triángulo rectángulo. El área de la sombra es la cuarta parte del área del cuadrado.
Es decir, 36/4 = 9.

39. LA MEDIANA ES MENOR. Sólo hay que repetir un triángulo igual al primitivo, opuesto por la base, como se muestra en la figura adjunta.
Es evidente que la diagonal de un cuadrilátero no puede ser mayor que la suma de dos lados consecutivos. Dividiendo por dos la diagonal queda la mediana del triángulo, que por tanto no puede ser igual o mayor que la semisuma de los mismos lados.

40.    Sí, son iguales. Veamos:
         (AB)² = R² + R² = 2R²
         Área del cuadrante = (Pi . R²)/4
         Área del triángulo = R²/2
         Área del segmento de arco AB = PiR²/4 - R²/2
         Área de la luna = Pi(AB)²/8 - (PiR²/4 - R²/2) = PiR²/4 - PiR²/4 + R²/2 = R²/2.

41. La simple observación de la figura muestra la solución.

42. ÁREA DEL CUADRADITO. La simple observación de la siguiente figura muestra que el área del cuadradito es la quinta parte del área del cuadrado. Es decir, 20 cm².

43. RECTÁNGULO, DIAGONAL Y TRIÁNGULO. Los triángulos AEB, BEF y FCB tienen la misma área pues tienen la misma altura e iguales bases. Así pues, cada uno la tercera parte del área del triángulo ABC, es decir:
Área del triángulo BEF = 1/3 1/2 8 /3 = 4.

44. LOS DOS CÍRCULOS. Área(2)/Área(1) = Pi R²/Pi r² = (2r)²/r² = 4.
Entonces: Área(2) = 4 Área(1) = 4 4 = 16.

45. LA ZONA SOMBREADA. Es la cuarta parte del área del cuadrado: 16/4 = 4.

46. LAS 4 CABRAS DEL PRADO. El área utilizada por las cuatro es un círculo de radio 50 m., es decir S=Pi 50². La que queda sola ha de pastar sobre un cuadrante de círculo cuya superficie sea la misma: Pi x²/4 = Pi 50² ===> x=100 m. Justamente la longitud del campo.