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31 MONEDAS IGUALES DANDO VUELTAS. Dos monedas idénticas A y B parten de la posición que indica la figura. La moneda B permanece en reposo, mientras que la A rueda alrededor de B, sin deslizar, hasta que vuelve a su posición inicial. ¿Cuántas vueltas habrá dado la moneda A?

32. MONEDAS DISTINTAS DANDO VUELTAS. Dos monedas distintas A y B parten de la posición que indica la figura anterior. La moneda B permanece en reposo, mientras que la A rueda alrededor de B, sin deslizar, hasta que vuelve a su posición inicial. ¿Cuántas vueltas habrá dado la moneda A? La moneda A móvil tiene un diámetro cuatro veces más pequeño que el diámetro de la moneda fija B.

33. POSAVASOS Y SERVILLETA. Tenemos un posavasos circular y una servilleta cuadrada. Hallar el centro del posavasos con la ayuda únicamente de la servilleta y un lápiz.

34. EL CUBO Y LOS PLANOS. Consideremos un cubo de lado 1. Tomemos dos vértices opuestos por una diagonal máxima del cubo. Cada uno de estos dos vértices opuestos está rodeado de tres vértices cercanos que forman un triángulo. Es fácil ver que los dos planos definidos por estos dos triángulos son paralelos. Sin hacer cálculos, ¿cuál es la distancia entre los dos planos?

35. CUATRO CÍRCULOS IGUALES. Tenemos cuatro círculos iguales de radio 1. Uniendo los centros obtenemos un cuadrilátero irregular. ¿Cuánto mide el área sombreada?

36. LOS PINTORES DE LA CATEDRAL. Unos pintores están pintando las paredes interiores de una catedral. A una ventana circular de un metro de diámetro le añadieron dos líneas tangentes y dos semicírculos cerrando la figura. ¿Qué área tiene la figura sombreada?

37. MUY ELEGANTE. En la figura adjunta, ¿cuánto mide B?

38. LA SOMBRA DESCONOCIDA. En la figura adjunta el triángulo rectángulo tiene el vértice en centro del cuadrado. ¿Cuál es el área de la parte sombreada?

39. LA MEDIANA ES MENOR. Probar que cada mediana de un triángulo es menor que el promedio de los lados adyacentes. En la figura adjunta, probar que x < (a+b)/2.

40. LA LUNA Y EL TRIÁNGULO. Las áreas rayadas de la luna y el triángulo, ¿son iguales?

41. EL HEXÁGONO Y EL TRIÁNGULO. Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen perímetros iguales. Si el hexágono tiene una superficie de 6 m²., ¿qué área tiene el triángulo?

42. ÁREA DEL CUADRADITO. Tenemos un cuadrado de 10 cm. de lado. ¿Cuánto vale el área del cuadradito sombreado si A, B, C y D son los puntos medios de los lados del cuadrado?

43. RECTÁNGULO, DIAGONAL Y TRIÁNGULO. La longitud del rectángulo ABCD es 8 y su anchura 3. Dividimos la diagonal AC en tres partes iguales mediante los puntos E y F. ¿Cuánto vale el área del triángulo BEF?

44. LOS DOS CÍRCULOS. El círculo 1, cuya área es 4, pasa por el centro del círculo 2 al que es tangente. ¿Cuál es el área del círculo 2?

45. LA ZONA SOMBREADA. ¿Cuál es el área de la zona sombreada de la figura?

46. LAS 4 CABRAS DEL PRADO. En un prado cuadrado de 100 metros de lado, hay cuatro cabras. Cada una atada a una esquina del prado con una cuerda de 50 metros, lo que permite comer una cierta parte de la hierba del prado, quedando en el centro un trozo que ninguna de ellas alcanza.
El propietario, tras vender tres de las cabras, alargó la cuerda de la que quedaba en una de las esquinas, de tal forma que el área sobre la que podía pastar era equivalente al área sobre la que pastaban anteriormente las cuatro. ¿Qué longitud le dio a la cuerda?