16.    ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR. Sean R el radio del círculo mayor y r el radio del círculo menor:

r²=R²-1.

         Área de la corona = piR² - pir² = piR² - pi(R²-1) =  .
         En cualquier viejo formulario de la geometría clásica, que tanto se estudiaba hace 50 años, viene dada directamente la fórmula de la corona circular en función de la cuerda del círculo mayor, tangente al menor:
         A=pi c/2.  Como en nuestro caso c/2=1, tenemos que A=pi 1=pi.

 
17.    SIMETRÍA Y REFLEXIÓN. Querido Paco: Si se te ocurre poner esta carta frente al espejo, la leerás sin dificultad. Por cierto, que no me explico la razón de que Leonardo da Vinci escribiera siempre en la forma que ahora estás viendo.

 
18.    TRIÁNGULOS ORIGINALES. Tienen la misma área. Ambos pueden dividirse por la mitad para dar lugar a dos triángulos 3, 4, 5.

 
19.    EL VALOR DE LA MEDIANA. Basta recordar que todo triángulo rectángulo puede inscribirse siempre en un círculo cuyo diámetro CB=a=10 es la hipotenusa, así que AM=radio=5.
 

21.    LAS ESFERAS PINTADAS. Los volúmenes y, por lo tanto, los pesos son proporcionales a los cubos de los radios. Las superficies y, por lo tanto, las cantidades de pintura son proporcionales a los cuadrados de los radios. Sean R y r los radios de las dos esferas, x el peso en gramos de la pintura necesaria para pintar la esfera pequeña.
         r³/R³=8/27  luego  r/R=2/3
         r²/R²=x/900=4/9     x=400 gramos.

 
22.    GIROS, ¿POSIBLES O IMPOSIBLES?. Girar primero el libro 180  alrededor del lado vertical opuesto al lomo, y a continuación otros 180  alrededor de una recta que forme 45  con el eje anterior. En general, un giro de 180  alrededor de un cierto eje, seguido por otro giro de 180  alrededor de otro eje que forme un ángulo   con el primero, resulta ser equivalente a una rotación de ángulo 2  alrededor de un eje perpendicular a los dos primeros y que pasa por su punto de intersección.

 
23.    EL EMBALSE Y EL PEZ. Mil metros. El pez describe un ángulo recto con su trayectoria. Un ángulo recto, con su vértice en la circunferencia de un círculo, intersecta la circunferencia en los extremos de un diámetro. El diámetro es, por tanto, la hipotenusa de un ángulo recto con lados 600 y 800 metros.

 
24.    EL POSTE ROTO. x² + 16² = (32-x)²; x=12 metros.

 
25.    EL CRUCE DE LA RED. El problema no tiene solución.
         En efecto, cada uno de los tres rectángulos mayores de la figura tiene un número impar de segmentos. Como cada vez que se cruza un segmento se pasa de dentro a fuera del rectángulo o viceversa, quiere decirse que en los tres debe de haber una terminación de la línea en su interior para que la línea cruce el número impar de segmentos una sola vez, y como hay tres rectángulos mientras que la línea continua no tiene más que dos extremos, la solución del problema es imposible.

 
26.    LOS 7 PUENTES DE KONIGSBERG. Euler (1707-1783) demostró que el paseo es imposible. Veamos su demostración.
         Los siete puentes están tendidos entre cuatro regiones de tierra: A, B, C y D. De A sale 5 puentes; de B, 3; de C, 3, y de D, 3. El paseo sale de una región y podrá terminar en ella misma o en otra. Habrá siempre, al menos, dos regiones que no serán comienzo ni final del paseo. O sea, cada vez que se entra en ellas debe salirse de ellas. De cada una de esas dos regiones debería partir un número par de puentes. Ya se ha dicho que de las regiones parten 5, 3, 3 y 3 puentes, impares todos. Conclusión: El paseo es imposible.
 

 
28.    EN GENERAL: DE UN SOLO TRAZO, ¿POSIBLE O IMPOSIBLE? Se pueden dibujar de un solo trazo los de la fila superior. Es imposible para los de la fila inferior.