La noción de límite fue desarrollándose gradualmente, desde los primitivos griegos hasta que fue expresado por Newton en su obra capital.

Fue evocado de una forma más definida por Robins, D'Alembert y L'Huilier, como concepto básico del Cálculo, y de esta manera fue incluido por Lacroix en sus libros de texto.

A pesar de tan largo período de tiempo, sin embargo, el concepto de límite necesitaba una formulación más precisa. Esta necesidad era consecuencia de que la idea de límite estaba basada en la intuición geométrica. No podía ser de otra manera, ya que durante ese tiempo las ideas aritméticas y algebraicas estaban sólidamente basadas en las relativas a las magnitudes geométricas.

El cálculo fue interpretado por sus creadores como un instrumento de estudio de las relaciones existentes entre las magnitudes implicadas en los problemas geométricos, y con estas connotaciones fue aceptado durante largo tiempo por los que tomaron el testigo de la reflexión matemática en tiempos posteriores.

En cierto sentido, Euler y Lagrange representan excepciones a esta línea de pensamiento, desde el momento en que se esforzaron por tratar al Cálculo bajo el mismo formalismo de su concepto analítico de función. Sin embargo, también ellos rechazaron la idea de límite.

Así pues, aunque D'Alembert, L'Huilier y Lacroix pueden ser considerados como los precursores de Cauchy, extendiendo la idea de límite en sus trabajos, este concepto no se liberó de su contenido geométrico.

En los trabajos de Cauchy, sin embargo, el concepto de límite se convierte, clara y definidamente, en un concepto aritmético, en lugar de geométrico.

Antiguamente, cuando se deseaba ilustrar el concepto de límite, el ejemplo que venia inmediatamente a la imaginación era el de una circunferencia, definida como el límite de un polígono.

Este ejemplo sugirió, más adelante, no pocas preguntas de respuesta nada fácil: ¿Realmente un polígono, por duplicaciones sucesivas de sus lados, llega a convertirse en una circunferencia? ¿Son, entonces, idénticas, las propiedades de un polígono y las de una circunferencia?

Al dar su definición, en el famoso "Curso de Análisis", Cauchy desposeyó a la idea de límite de toda referencia a figuras o magnitudes geométricas, diciendo:

Cuando los sucesivos valores atribuidos a una variable, se aproximan indefinidamente a un valor fijo, tanto que la diferencia entre ambos puede ser tan pequeña como se quiera, este último puede ser llamado el límite de todos los demás.

Consideremos la función  f :  A        B      ,  se dice que el límite cuando x tiende a x   de la función f(x)  es  L  , si dado un  0 , existe un    0  talque

0    entonces se cumple que    

Ejemplo  1:    Demuestre que el límite cuando x tiende a 2   de  f(x)  =  3x – 1   es  5.

Demostración    :    Usemos el hecho de que                 

                                       3               / 3

         basta escoger    =   / 3

Ejemplo 2-:    Demuestre que el límite cuando x tiende a 4   d  f(x)  = ( 2x + 1 ) / ( 5x – 2 )  es  ½..

Demostración    : Usemos el hecho de que                         1/2                            escojamos un    arbitrario   = 1

1       -  1     1       (  definición de valor absoluto  )

                           -1     x   -   4       1            3    x         5         15     5 x        2 5 

    13     5 x   -   2    _<   23                -23    13     5 x   -   2    _<   23    

         23        entonces               

  luego basta escoger     =   min

1-        (   f(x)    g(x)  )    =  f(x)          g(x)

^2.-    -         ⁼

^3.-     -  ⁼

^{Ejemplos    1.}   

                ⁼                      

^{(3)    +       3 x3   +  9     =     27  , que es el valor del Límite}

1-       =    ln (a)

2.-    =    e

^3.-       =   e

^{1.       =   e}

^2.-    =      Ln  (  4/5)    -   Ln ( ¾)

3.-     =     =  = 

4-           =     1