Disequazioni

Nota: normalmente in matematica si dice che non si può calcolare il valore di una funzione per o - e una funzione non può assumere come valore o - ( non viene considerato un numero), ma a scuola talvolta si usa questa terminologia impropria quando non si studiano ancora cose più complesse e qui la userò. Più precisamente si può dire che si può calcolare a cosa tende una funzione per la variabile indipendente (di solito x) che tende a o - e/o una funzione può tendere a o - per valori della variabile indipendente (di solito x) che tendono ad un certo valore (per questo valore abbiamo una "divisione" tra una quantità diversa da 0 e 0; si dice che per questo valore la funzione non è definita). Si tratta del calcolo dei limiti che non tratto in questo sito.

Una disequazione è un espressione del tipo
a<b o
a>b o
ab o
ab,
dove < significa minore, > significa maggiore, significa minore o uguale e significa maggiore o uguale. Per ricordarvi quale simbolo significa minore e quale maggiore, ricordatevi che "la parte più larga" del simbolo sta dalla parte del numero più grande e che "la parte più stretta" del simbolo sta dalla parte del numero più piccolo e considerate che leggiamo da sinistra verso destra.
Normalmente una disequazione contiene almeno un' incognita, cioè una quantità sconosciuta che si può determinare risolvendo la disequazione. Risolvere la disequazione significa infatti trovare i valori, che sostituiti all' incognita, verificano la disequazione.
Se da un lato della disequazione abbiamo un polinomio di primo grado e dall' altro 0 (o possiamo trasformare una disequazione in questa forma), è molto facile risolverla.
Se ad una disequazione (qualsiasi) applichiamo una operazione di primo livello (+ o -) con una certa quantità sia al membro sinistro sia al membro destro, la nuova disequazione è equivalente alla precedente.
Esempio:
x-30 /+3
x+3+(-3)0+3
x+03
x3
Ciò significa che un qualsiasi x maggiore o uguale a 3 soddisfa la disequazione di partenza. Ad esempio prendiamo 5.
5-30
20 è vera
Se ad una disequazione (qualsiasi) applichiamo una operazione di secondo livello (* o /) con una certa quantità sia al membro sinistro sia al membro destro, la nuova disequazione è equivalente alla precedente, se questa quantità è positiva, o se rovesciamo il segno di disuguaglianza e questa quantità è negativa; per i simboli < o > questa quantità non può essere 0 - non possiamo in ogni caso dividere con 0 - (se questa quantità è 0, per i simboli e otteniamo le disequazioni 00 o 00 che non ci danno nessuna informazione).
Esempi:
5x<0 //5 positivo
5(1/5)x<0/5
1x<0
x<0

-3x<0
-3x<0
(-3)x<0 //(-3) negativo
(-3)(1/(-3))x>0/(-3)
1x>0
x>0

(-2)x+50 /-5
(-2)x+5+(-5)-5
(-2)x+0-5
(-2)x-5 / /(-2) negativo
(-2)(1/(-2))x(-5)/(-2)
1x5/2
x5/2

Risolvere disequazioni
In generale non è sempre facile risolvere una disequazione. Questo metodo funziona solo per le funzioni continue o eventualmente discontinue solo nei valori della variabile per i quali valgono o -. Comunque procedete così. Scrivete la disequazione in modo di avere ad un membro una funzione e all' altro 0. Per prima cosa dovete trovare le soluzioni dell' equazione scritta ponendo la funzione uguale a 0 e dovete anche trovare per quali valori della variabile, esclusi e -, la funzione assume come valore o .
Alla pagina sulle equazioni e i sistemi di equazioni è spiegato come risolvere un' equazione: se non riuscite a trovare le soluzioni esatte dovete trovare almeno quelle approssimate col metodo della bisezione spiegato alla stessa pagina. Per trovare i valori della variabile per i quali la funzione assume come valore o - dovete fare così. Ciò si può verificare solo se la funzione o parte di essa è della forma a/b e b=0; ponendo b=0 troviamo una nuova equazione le cui soluzioni sono i valori che cerchiamo.
Riordiniamo in ordine crescente tutti i valori che abbiamo trovato. Se la funzione è continua o eventualmente discontinua solo nei valori della variabile per i quali vale o -, allora negli intervalli compresi tra questi valori e e - (rispettando l' ordine) la funzione assume solo valori positivi oppure solo valori negativi. Perciò bisogna calcolare i valori della funzione per un valore della variabile compreso in ciascuno di questi intervalli (non necessariamente nel mezzo) e vedere se è positivo o negativo: se è positivo la funzione assumerà solo valori positivi in quell' intervallo, negativi se negativo. Poi si scrive una tabella in cui si riportano nella prima riga - e e i valori trovati dalle equazioni (eventualmente approssimativi) con uno spazio tra ciascuno di essi in ordine crescente. Nella seconda riga si scrivono i valori della funzione in questi punti, ma non sotto - e perché non ci interessano, e se la funzione è positiva o negativa negli intervalli tra questi valori. Arrivati a questo punto, la tabella ci dice per quali valori della variabile vale la disequazione.
Esempio:
(x2-6x+8)/(x-3)0
Scriviamo l' equazione
(x2-6x+8)/(x-3)=0 /*(x-3)
(x2-6x+8)(x-3)(1/(x-3))=0*(x-3)
(x2-6x+8)1=0
x2-6x+8=0
1x2-6x+8=0
1x2+(-6)x+8=0
x=(±((-6)2-4*1*8)-(-6))/(2*1)
x=(±(36-32)+(-(-6)))/2
x=(±4+6)/2

x=(2+6)/2
x=8/2
x=4

x=((-2)+6)/2
x=4/2
x=2
Per trovare i valori della variabile per i quali la funzione assume come valori o - scriviamo l' equazione
x-3=0 /+3
x+3+(-3)=0+3
x+0=3
x=3
Abbiamo trovato i valori 2, 3, 4.
Calcoliamo i valori della funzione per 0, 2,5=5/2, 3,5=7/2, 5.
(02-6*0+8)/(-3)=
(-0+8)/(-3)=
8/(-3)=
-8/3 negativo
((5/2)2-6*(5/2)+8)/((5/2)-3)=
((52/22)-6*(1/2)*5+8)/((5/2)-3*1)=
((25/4)-(6/2)*5+8)/((5/2)-3*2*(1/2))=
((25/4)-15+8)/(5/2-6/2)=
((25/4)+(-15)+8)/(5/2-6/2)=
((25/4)+(-7))/(5/2-6/2)=
((25/4)+(-7)*1)/((5-6)/2)=
((25/4)+(-7)*4*(1/4))/((-1)/2)=
(25/4+(-7*4)/4)/((-1)/2)=
(25/4+(-28)/4)/((-1)/2)=
((25+(-28))/4)/((-1)/2)=
((-3)/4)/((-1)/2)=
((-3)/4)*(2/(-1))=
(-3/4)*(-2)=
(3/4)*2=
3*2*(1/4)=
3*(2/4)=
3*((2/2)/(4/2))=
3*(1/2)=
3/2 positivo
((7/2)2-6*(7/2)+8)/((7/2)-3)=
((72/22)-6*(1/2)*7+8)/((7/2)-3*1)=
((49/4)-(6/2)*7+8)/((7/2)-3*2*(1/2))=
((49/4)-21+8)/(7/2-6/2)=
((49/4)+(-21)+8)/(7/2-6/2)=
((49/4)+(-13))/(7/2-6/2)=
((49/4)+(-13)*1)/((7-6)/2)=
((49/4)+(-13)*4*(1/4))/(1/2)=
(49/4+(-13*4)/4)/(1/2)=
(49/4+(-52)/4)/(1/2)=
((49+(-52))/4)/(1/2)=
((-3)/4)/(1/2)=
((-3)/4)*(2/1)=
(-3)*(1/4)*2=
(2/4)*(-3)=
((2/2)/(4/2))*(-3)=
(1/2)*(-3)=
-3*(1/2)=
-3/2 negativo
(52-6*5+8)/(5-3)
(25-30+8)/2
3/2 positivo
Scriviamo la tabella.
x - 2 3 4
y negativo 0 positivo e - negativo 0 positivo
Guardando la tabella possiamo scrivere le soluzioni di (x2-6x+8)/(x-3)0.
Eccole: 2x<3 o x4.
Bisogna stare attenti (guardando la tabella) a quando usare < e quando o quando usare > e quando .


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