RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

	Resolución de sistemas de ecuaciones
	SEGUNDO AÑO

INTRODUCCIÓN

En esta clase estudiaremos los métodos clásicos de resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Todos ellos permiten obtener el mismo resultado, y la utilización de uno u otro dependerá de cómo está planteado el sistema original.

ÍNDICE

Método de sustitución
Método de igualación
Método de reducción
Método de determinantes

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Para resolver un sistema por el método de sustitución despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones y sustituimos esta expresión en la otra ecuación.

Ejemplo 1: x + 2y = 3

2x - 3y = -1

Despejamos x de la primera ecuación x = 3 - 2y (1)

Sustituimos la expresión anterior en la segunda ecuación 2(3 - 2y) - 3y = -1

Aplicamos propiedad distributiva 6 - 4y - 3y = -1

Agrupamos términos -4y - 3y = -1 - 6

Operamos en ambos miembros - 7y = -7

Luego y = 1

Reemplazamos el valor de y en la expresión (1) x = 3 - 2 . 1 = 1

Conjunto solución S = {(1 ; 1)} Sistema compatible determinado

Si no entendiste observa la siguiente explicación:

Verifica lo anterior en la siguiente escena:

	(1) El Sistema debe tener su forma habitual. Si tiene paréntesis o denominadores debemos quitarlos previamente.
	(2) Despejamos la incógnita x de la primera ecuación
	(3) Sustituimos el valor despejado en el apartado anterior en la segunda ecuación.
	(4) Multiplicamos a por el numerador de la fracción
	(5) Multiplicamos todo la ecuación por el denominador de la fracción
	(6) Agrupamos los términos con incógnita y, y agrupamos los números sin incógnita.
	(7) Calculamos la incógnita y
	(8) Sustituimos el valor de y en la expresión de (2).

Ejemplo 2: x + y = 2

2x +2y = 4

Despejamos x de la primera ecuación x = 2 - y

Sustituimos la expresión anterior en la segunda ecuación 2(2 - y) + 2y = 4

Aplicamos propiedad distributiva 4 - 2y + 2y = 4

Agrupamos términos - 2y + 2y = 4 - 4

Operamos en ambos miembros 0y = 0

Luego 0 = 0 Trivialidad

Conjunto solución S = {(x ; y) Є R X R/ y = 2 - x} Sistema compatible indeterminado

Verifica lo anterior en la siguiente escena:

Ejemplo 3:

x + y = 8

2x +2y = 8

Despejamos x de la primera ecuación x = 8 - y

Sustituimos la expresión anterior en la segunda ecuación 2(2 - y) + 2y = 8

Aplicamos propiedad distributiva 4 - 2y + 2y = 8

Agrupamos términos - 2y + 2y = 8 - 4

Operamos en ambos miembros 0y = 4

Luego 0 = 4 Absurdo

Conjunto solución S = { } Sistema incompatible

Verifica lo anterior en la siguiente escena:

Ejercitación:

Resuelvan los siguientes sistemas por el método de sustitución, y escriban el conjunto solución.

Clasifiquen cada uno de ellos. Realicen la verificación si el sistema es compatible determinado, y al menos dos verificaciones, si es compatible indeterminado.

a) 2x + 4y = 2 b) (2/3)x - 5y = -3 c) 2x - y = 4 d) (-1/2)x + (2/3)y = -1/4

3x - 2y = 9 2x + (/1/2)y = 13/2 2x - y = 3 3x - 4y = 3/2

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Se debe despejar en ambas ecuaciones la misma incógnita y luego igualar las ecuaciones obtenidas.

Ejemplo 1: x - y = 1

2x - 3y = 1

Despejamos x de la primera ecuación x = 1+ y (1)

Despejamos x de la segunda ecuación 2x = 1 + 3y

x = 1/2 +(3/2)y (2)

Igualamos las expresiones (1) y (2) 1 + y = 1/2 + (3/2)y

Agrupamos términos 1 - 1/2 = (3/2)y - y

Operamos en ambos miembros 1/2 = (1/2)y

Luego y = 1

Reemplazamos el valor de y en la expresión (1) o (2) x = 1 + 1 = 2

Conjunto solución S = {(2 ; 1)} Sistema compatible determinado

Ejercitación:

Resuelvan los siguientes sistemas por el método de igualación, y escriban el conjunto solución.

Clasifiquen cada uno de ellos. Realicen la verificación si el sistema es compatible determinado, y al menos dos verificaciones, si es compatible indeterminado.

a) x = y b) 2x = y c) 2x - 3y = 9 d) 2x - 2y = 3/2

2x - 2y = 0 4x - 2y = 2 x + y = -8 3x + y = 5/4

MÉTODO DE REDUCCIÓN

Para resolver un sistema por el método de reducción multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente d de la segunda y la segunda ecuación por el coeficiente a de la primera ecuación cambiado de signo. Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo:

5x + 2y = 4

3x - 3y = 15

Multiplicamos la primera ecuación por 3 15x + 6y = 12

Multiplicamos la segunda por -5 -15x + 15y = -75

Sumamos miembro a miembro 0x + 21y = -63

Despejamos y y = -63/21

Luego y = -3

Reemplazamos el valor de y, en cualquiera

de las ecuaciones y obtenemos el valor de x 5x + 2(-3) = 4

5x - 6 = 4

5x = 10

x = 2

Conjunto solución S = {(2 ; -3)} Sistema compatible determinado

Verifica lo anterior en la siguiente escena:

	(1) El Sistema debe tener su forma habitual. Si tiene paréntesis o denominadores debemos quitarlos previamente.
	(2) Multiplicamos la primera ecuación por d y la segunda ecuación por -a.
	(3) Sumamos las dos ecuaciones y desaparece la incógnita x.
	(4) Calculamos el valor de la incógnita y.
	(5) Sustituimos el valor de y en la primera ecuación.
	(6) Despejamos la incógnita x.

Ejercitación:

Resuelvan los siguientes sistemas por el método de reducción, y escriban el conjunto solución.

Clasifiquen cada uno de ellos. Realicen la verificación si el sistema es compatible determinado, y al menos dos verificaciones, si es compatible indeterminado.

a) 5x - 2y = 2 b) -2x - 3y = 4 c) x + y = -1 d) (3/2)x - (1/3)y = -5

2x + 4y = 8 -2x - 3y = -3 (1/2)x + (1/2)y = -1/2 (-1/4)x + (1/6)y = 3/2

MÉTODO DE DETERMINANTES

	Profesor: Fabián Negri

	Escuela 4 - 016 Ingeniero Antonio Marcelo Arboit. Junín (Mza.).

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