Aufgaben mit Lösungen (und Skizzen der Lösungswege) zu den Kegelschnitten.

[Vortrag und Übung, zusätzlich zur Lehrveranstaltung "Einführung in das Mathematische Arbeiten; Text: Thomas Anton Gobold, Oktober 2005]
Erläuternde Texte zu den Kegelschnitten
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Aufgabe 1 Ermittle die Lagebeziehung der Punkte P(1/3), Q(4,-1) und R(-4,6) zum Kreis k[M(0,3), r=5]:
Lösung: Kreisgleichung x²+(y-3)²=25, R liegt am Kreisbogen, P liegt innerhalb des Kreisbogens, Q liegt außerhalb.

Aufgabe 2 Der Kreis k[M(1/4),r] berührt die Gerade g[P(2/13), Q(-6,23)]. Stelle die Kreisgleichung auf!
Lösung: Die Geradengleichung lautet 5x+4y=62, die Abstandsberechnung liefert r²=41, die Kreisgleichung lautet (x-1)²+(y-4)²=41.

Aufgabe 3 Zeige, dass die Gerade g[A(1,9), B(-2,12)] den Kreis k[M(2/1),r²=29] schneidet! Ermittle die beiden Schnittpunkte, die Länge der Sehne und den Schnittwinkel, den die Sekante mit dem Kreis einschließt!
Lösung Die Geradengleichung der Sekante lautet x+y=10. Schneiden mit dem Kreis liefert zwei Lösungen, das sind die Schnittpunkte S(7,3) und R(4,6). Die Länge der Sehne ist der Betrag vom Vektor SR ( |SR|²=18 ). Sekante und Kreis schließen den selben Winkel ein, wie der Normalvektor der Sekantengleichung und der auf die Tangente normal stehende Vektor MS. Mit den beiden Vektoren kann die Winkelberechnung durchgeführt werden.

Aufgabe 4 Zeige, dass g:12x+5y=-11 eine Passante zum Kreis k[M(5/4), r=5] ist und berechne den Abstand des Mittelpunkts des Kreises von der Geraden!
Lösung Einsetzen des Mittelpunkts in die Hessesche Normalvektorform (1/13)*(12x+5y+11) zur Abstandsberechnung liefert den Abstand d=7. Dieser Abstand ist länger als der Radius, die Gerade g ist daher in Beziehung zum Kreis eine Passante.

Aufgabe 5 Gegeben sei der Kreis k[M(0,0), r=5]. Lege vom Punkt T(3,y) des Kreises im ersten Quadranten die Tangente an. Lösung Der Berührpunkt mit beiden Koordinaten lautet T(3/4). Die Tangentengleichung erhält man mit der Spaltform, sie lautet hier t: 3x+4y=25.

Bemerkung zur Spaltform (Aufgabe 5 und 6): Die Koordinaten des Berührpunktes T(T_x, T_y sind zugleich sein zugehöriger Radiusvektor. Der Radiusvektor steht normal auf die Tangente (den Tangentenvektor) und dient daher in der Gleichung

       T_xx + T_yy = r²

als Normalvektor. Der Berührpunkt T erfüllt die Gleichung trivialer weise (weil T ein Punkt des Kreises ist). Die Gleichung T_xx + T_yy = r² geht somit in Richtung der Tangente und enthält den Berührpunkt, deswegen ist es die Tangente. Diese Überlegungen können leicht für einen Kreis in allgemeiner Lage modifiziert werden.

Aufgabe 6 Gegeben ist K[M(-1,2),r] und ein Punkt am Kreisbogen T(1,5). Lege an T die Tangente an! Lösung Für T(1,5) muss die Kreisgleichung gelten. Sie lautet daher        (x+1)² + (y-2)² = 13 Die Spaltform lautet für diesen Kreis und dem Punkt T        (1+1)*(x+1) + (5-2)*(y-2) = 13 Ausrechnen liefert die Tangentengleichung        2x + 3y = 17

Aufgabe 7 Gegeben ist der Kreis k[M(0,0), r²=10]. Zeige, dass der Pol P(5,5) außerhalb des Kreises liegt, stelle die dem Pol zugehörige Polare p auf und lege vom Pol aus die beiden Tangenten an den Kreis an. Lösung Einsetzen von P in die Kreisgleichung zeigt, dass P außerhalb des Kreises liegt. Einsetzen von P in die Spaltform der Kreisgleichung liefert uns die Polare.        Polare p: 5x + 5y = 10        x + y = 2 Schneiden mit dem Kreis liefert die beiden Schnittpunkte T(-1,3) und U(3,-1). Die Tangenten an diesen beiden Punkten erhalten wir wieder mit der Spaltform.        t: -x + 3y = 10        u: 3x - y = 10

Bemerkungen zum Pol und zur Polare (Aufgabe 7): Eine Sekante p, die nicht durch den Mittelpunkt des Kreises geht, hat genau zwei Schnittpunkte mit dem Kreis, T und U. An den beiden Schnittpunkten können Tangenten angelegt werden, t und u. Da die Sekante nicht durch den Mittelpunkt des Kreises geht, sind die beiden Tangenten nicht parallel und schneiden einander außerhalb des Kreises am Punkt P. Es ist leicht einzusehen, dass wir mit P, angewandt auf die Spaltform des Kreises, genau unsere ursprüngliche Sekante erhalten (siehe die nachstehende Rechnung). Diese Sekante nennen wir Polare in Bezug zum Punkt P, deren Pol:

Die Tangente t am Berührpunkt T(T_x, T_y) lautet
       T_xx + T_yy = r²
Der Pol P(P_x, P_y) liegt auf dieser Tangente und erfüllt daher die Gleichung t, mit Einsetzen des Pols erhalten wir
       T_x*P_x + T_y*P_y = r²
Eine einfache Umformung ergibt
       P_x*T_x + P_y*T_y = r²
Wir setzen für T(T_x, T_y) wieder (x,y)
       P_x*x + P_y*y = r²
Damit haben wir eine Gleichung erhalten, die T (und genauso U) enthält. Es ist zugleich die Spaltform der Kreigleichung auf den Pol P angewandt.

Aufgabe 8 Eine Ellipse in Hauptlage enthält die Punkte P(2,-2) und Q(-4,1). Ermittle die Ellipsengleichung! Lösung Mit Einsetzen der beiden Punkte in x²/a²+y²/b²=1 erhalten wir zwei Gleichungen        4/a² + 4/b² = 1        16/a² + 1/b² = 1 Multiplizieren der zweiten Gleichung mit -4 und Subtrahieren der ersten Gleichung von der zweiten Gleichung liefert        64/a² - 4/a² = 3        → 60 = 3a² → a² = 20 1/b² = (1/4)*(1-4/20) → b²=5 Die Ellipsengleichung lautet daher        5x² + 20y² = 100

Aufgabe 9 Gegeben ist die Ellipse ell: 9x²+25y²=225. Berechne und ermittle die Längen der Halbachsen, Lage der Scheitelpunkte, lineare Exzentrizität e und die Koordinaten der Brennpunkte!
Lösung Halbachsen a=5, b=3; Hauptscheitel A(-5/0), B(5/0); Nebenscheitel C(0,3), D(0,-3); lineare Exzentrizität e=4; Brennpunkte (-4/0), (4/0).

Aufgabe 10 Gegeben ist die Hyperbel hyp: 4x²-y²=20. Ermittle die Koordinaten jenes Punktes im ersten Quadranten, an welchem die beiden Brennstrahlen im rechten Winkel zueinander stehen ( F1P ⊥ F2P ) ! Lösung        x²/5 - y²/20 = 1 → a²=5, b²=20        e² = a² + b² = 25 → e=5        → F1(-5,0), F2(5,0) Die beiden Vektoren F1P und F2P werden miteinander skalar multipliziert, das Produkt der beiden muss Null betragen.        (x+5, y)*(x-5, y) = 0        x² -25 + y² = 0 Mit dieser Gleichung und der Gleichung der Hyperbel kann y² eliminiert werden.        5x² = 45 → x=3 → y=4 P(3/4) liegt im ersten Quadranten und hat die gewünschte Eigenschaft.

Aufgabe 11 Ermittle für die Parabel par: 12y=x² die Geradengleichung für die Leitlinie und die Lage des Brennpunktes! Lösung Diese Parabel ist oben offen und hat den Scheitelpunkt im Ursprung. Mit Anwenden der zugehörigen Gleichung x²=2py berechnen wir den p.        12y = 2py → p=6 Für die oben offene Parabel, die ihren Scheitelpunkt im Ursprung hat, lautet der Brennpunkt F(0,p/2), die Leitlinie lautet unter diesen Umständen l:y=-(p/2). Damit erhalten wir für 12y=x²        F(0/3)        l: y = -3

Aufgabe 12 Gegeben sind der Kreis k[M(5,0),r] und die Parabel par[ Scheitelpunkt S(0,0), Q(4,4), rechts offen]. Der Kreis soll die Parabel von innen berühren. Ermittle Anzahl und Lage der Berührpunkte! Lösung Geometrisch betrachtet liegen der Kreis und die Parabel symmetrisch bezüglich der x-Achse. Da der kreis die Parabel innen berührt, kommt der Scheitelpunkt als Berührpunkt nicht in Frage (dann gäbe es noch zwei Schnittpunkte). Wegen dieser Symmetrie erhalten wir zwei Berührpunkte, welche (xT, yT), (xT, -yT) lauten. Wir ermitteln die Gleichungen für den Kreis und die Parabel        k: (x-5)² + y² = r²        par: y² = 4x Schneiden der beiden Objekte liefert        (x-5)² + 4x = r²        x² - 6x + 25 -r² = 0 ...... Die Diskriminante für diese quadratische Gleichung in x Gleichung muß Null betragen. Also gilt        3² - 25 + r² = 0     → r=4     → xT)=3     → yT)²=12

Weitere Aufgaben

Aufgabe 13 Gegeben ist der Kreis k[M(6,6), r²=17]. Zeige, dass die Gerade g:4x+y=5 eine Passante dieses Kreise ist und berechne die zu der Geraden g parallel stehenden Tangenten des Kreises und auch die zu g orthogonal stehenden Tangenten des Kreises.
Lösung Der Abstand des M(6/6) von der Geraden ist größer als der Radius des Kreises (daher ist g eine Passante). Die zu g parallelen Tangenten und deren Berührpunkte zum Kreis lauten t:4x+y=47, u:4x+y=13, T(10,7), U(2,5). Die zu g normal stehenden Tangenten und deren Berührpunkte zum Kreis lauten v:x-4y=-1, w:x-4y=-35, V(7,2), W(5,10).

Aufgabe 14 Zeige die Gültigkeit des Hauptsatzes der Polarentheorie für den Kreis (siehe Aufgabe 7 und angeschlossene Bemerkungen): Sei P ein Pol und p die zugehörige Polare. Sei Q ein außerhalb des Kreises auf der Polaren p liegender Punkt, q die zugehörige Polare zu Q. Folgerung: Dann liegt P auf der Polaren q!

Aufgabe 15 Gegeben ist die Parabel par:y²=4x. a) Zeige, dass der Punkt T(1,2) auf der Parabel liegt und lege an T die Tangente an. Berechne den Winkel, den die Tangente mit der x-Achse einschließt und den Winkel, den die Tangente mit dem Leitstrahl, FT, einschließt. b) Berechne das Nämliche mit U(4,4). c) Was fällt auf? Was kann vermutet werden? Lösung a) t: y=x+1, beide Winkel 45°. b) u: 2y=x+4, beide arc cos (2/√5) c) In beiden Fällen sind die Winkel gleich. Die Beispiele legen allgemeine Gültigkeit nahe. Wie funktioniert ein Scheinwerfer?

Aufgabe 16 Ermittle die Lagebeziehung der beiden Kreise k1[M1(2,-2), r1²=20], k2[M2(5,7), r2²=50]. Lösung Der Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten ist kleiner als die Summe der beiden Radien, jeder der beiden Mittelpunkte liegt außerhalb des anderen Kreises. Daher haben die beiden Kreise zwei gemeinsame Punkte. Die beiden Kreisgleichungen lauten        (x-2)² + (y+2)² = 20        (x-5)² + (y-7)² = 50 Ausrechnen der Binome führt zu        x² - 4x + y² +4 y = 12        x² - 10x + y² - 14y = -24 Subtrahieren der zweiten Gleichung von der ersten führt (es fallen alle quadratischen Terme weg) zu einer Geraden, welche zu beiden Kreisen eine Sekante ist und welche daher die beiden gesuchten Schnittpunkte enthält.        6x + 18y = 36     →     x + 3y = 6 Schneiden dieser Sekante mit einem der beiden Kreise führt schließlich zu den beiden Schnittpunkten S1(0,2) und S2(6,0).

Aufgabe 17 Bei einer gleichseitigen Hyperbel (a=b) in erster Hauptlage beträgt der Abstand zwischen den beiden Brennpunkten genau 4. Stelle die Gleichung dieser Hyperbel auf! Welche bekannte Kurve erhält man durch Drehen dieser Hyperbel um 45° (man möge die Lösung ohne exakte Rechnung/Hauptachsentransformation finden)
Lösung Die Hyperbelgleichung lautet x²-y²=2. Die (im mathematisch positiven Sinne) um 45° gedrehte Hyperbel ist die Reziprokfunktion 1/x!





intern

Aufgabe X Lösung

T(T_x, T_y)        XF₁ + XF₂ = 2a F₁P ⊥ F₂P http://de.selfhtml.org/html/referenz/zeichen.htm