Hauptseite
Manuskript und Beispiele vom 11., 12. und 14. Oktober 2005 über die Kegelschnitte HIER

Kegelschnitte

Text: Thomas Anton Gobold

Kegelschnitt und Taschenlampe: Wenn wir in einem dunklen Raum mit einer Stablampe direkt auf den Boden leuchten, können wir am Ende des Lichtkegels, am Boden, einen Kreis sehen. Wenn wir dann den Neigungswinkel der Drehachse der Stablampe vom ursprünglich rechten Winkel geringfügig ändern, so sehen wir statt des Kreises eine Ellipse.

Wenn wir sodann den Neigungswinkel, den die Drehachse der Taschenlampe mit dem Fußboden einschließt derartig ändern, dass die oberste Erzeugende des Leuchtkegels parallel zum Fußboden verläuft, so wird am Fußboden das Innere einer Parabel beleuchtet.

Wenn wir den Neigungswinkel weiter ändern, sodass wir jetzt die Stablampe parallel und nicht allzu weit vom Boden entfernt positionieren, so ist der Lichtkegel am Fußboden eine Hyperbel!

Kreis

Das norwegische Verb "krita" (schnitzen) ist mit unserem Wort "Kreis" verwandt. Dieser Umstand ist dadurch erklärbar, dass sich unser Wort "Kreis" von dem althochdeutschen Wort krizzon (einritzen) ableitet (Novak u.a.; Mathematik Oberstufe 3).

Ein Kreis in der Ebene ist mit Lage des Mittelpunktes und dem Radius eindeutig charakterisiert. Hinsichtlich der Punkte am Kreisbogen gilt vektoriell betrachtet:

            |MX| = r

Mit dem Mittelpunkt M(u,v) und dem pythagoräischen Lehrsatz ist die Kreisgleichung für einen Kreis in allgemeiner Lage leicht herzuleiten; Diese Gleichung gilt für alle Punkte auf dem Kreisbogen:

            (x-u)² + (y-v)² = r²

Lagebeziehungen zwischen Punkt und Kreis Ein Punkt kann auf dem Kreisbogen, im Inneren der Kreisfläche oder außerhalb der Kreisfläche liegen. Für die letzten beiden Fälle gelten folgende Gleichungen:

            (x-u)² + (y-v)² < r² (Punkte innerhalb der Kreisfläche)
            (x-u)² + (y-v)² > r² (Punkte außerhalb der Kreisfläche)

Lagebeziehungen zwischen Gerade und Kreis Die Gerade kann den Kreis in zwei Punkten schneiden (dann ist sie eine Sekante zum Kreis), sie kann den Kreis an einem Punkt berühren (dann ist sie eine Tangente), sie kann mit dem Kreis keinen gemeinsamen Punkt haben (dann ist sie eine Passante). Im Rechenverfahren erhalten wir eine quadratische Gleichung, die dann dementsprechend zwei Lösungen (Sekante), eine Lösung (Tangente) oder gar keine Lösung (Passante) aufweist.
Weitere Formeln, Beispiele und Aufgaben zu den Kegelschnitten


Die Ellipse

Wie zeichnet der Gärtner eine Ellipse? Er bohrt zwei Pflöcke in die Erde, befestigt die Enden einer ausreichend langen Schnur an den beiden Pflöcken. Dann spannt der Gärtner mit dem Stiel einer Hacke die Schnur. Anschließend bewegt er den Stiel der Hacke derart, sodass die Schnur gespannt bleibt und zugleich mit der Spitze der Hacke Einkerbungen am Boden entstehen. Wenn der Gärtner einmal in dieser Art und Weise um die Pflöcke herumgeht, entsteht eine geschlossene Kurve, die Ellipse! Möchte man diese Gärtnerkonstruktion (Fadenkonstruktion) mit wenig Aufwand am Schreibtisch nachvollziehen, so nehme man ein Reißbrett, zwei Reißnägel, einen Faden und einen Bleistift.

Aus der Konstruktion geht hervor, dass bei konstanter Länge des Fadens die Summe der Entfernungen, gehend von einem Pflock zum Punkt der Ellipse und von diesem Punkt zum anderen Pflock, konstant ist.

Die beiden Punkte an denen die Pflöcke (Reißnägel) stecken, nennen wir Brennpunkte. Nach dem ersten Gesetz von Kepler sind die Planetenbahnen in unserem Sonnensystem auch Ellipsen, in deren einen Brennpunkt (nicht der Mittelpunkt, der Mittelpunkt ist der Halbierungspunkt zwischen den beiden Brennpunkten) die Sonne strahlt.

Aus dieser anschaulichen Betrachtung (Konstanz der Summe der Entfernungen) entwickeln wir eine Definition für die Ellipse (sh. nachstehend). Für die anderen Objekte an der Ellipse (Scheitelpunkte, Abstände...) führen wir ebenfalls nahe liegende Bezeichnungen ein (sh. Abb. 2).

Für die Ellipse gilt nun folgende Definition: Die Ellipse ist die Menge aller Punkte X, für welche die Summe der Entfernungen von zwei festen Punkten (Brennpunkte, foci; F1, F2) constant (und größer als F1F2) ist. M Mittelpunkt X Punkt der Ellipse F1, F2 Brennpunkte A,B Hauptscheitel C,D Nebenscheitel XF1, XF2 Leitstrahlen (Brennstrahlen) AB=2a Hauptachse CD=2b Nebenachse a,b Halbachsen (positive Größen) e lineare Exzentrizität

Wir setzen diese konstante Summe der Entfernungen gleich 2a und dürfen schreiben

             XF₁ + XF₂ = 2a          (1)

Nun betrachten wir eine Ellipse in einer besonderen Lage: Die Hauptachse der Ellipse liegt auf der x-Achse, ihre Nebenachse auf der y-Achse. Damit ist der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung. Diese Lage heißt "Erste Hauptlage". Liegt jedoch statt dessen die Hauptachse auf der y-Achse und die Nebenachse auf der x-Achse, spricht man von der "zweiten Hauptlage". Liegt die Ellipse anders in der Ebene, spricht man von einer allgemeinen Lage.

Den Brennpunkten F₁, F₂, weisen wir die Koordinaten (-e,0),(+e,0) zu, wobei e die lineare Exzentrizität ist. Sie drückt (bei gegebener Haupt- oder Nebenachse) aus, wie sehr die Ellipse vom Kreis abweicht, wie sehr sie also exzentrisch ist. Die Größe e allein sagt nichts über die Form der Ellipse in der (mit der "üblichen" Norm versehenen) Ebene aus. Hiezu definieren wir die numerische Exzentrizität, e = e / a. Da für eine nicht entartete Ellipse immer e<a gilt, liegt Epsilon mithin immer im Intervall Intervall [0,1). Ist Epsilon nahe Null, so sieht die Ellipse eher wie ein Kreis aus. Ist Epsilon nahe 1, so ist die Ellipse ein sehr flachgedrückter Kreis. Die Größen a,b und e bilden ein rechtwinkeliges Dreieck mit a als Hypotenuse.

             e² = a² - b²       (2)

Bemerkung: Bei einem Kreis gilt a=b=r. Damit ist bei einem Kreis e=0, der Kreis hat keine Exzentrizität.

Die Gleichung für die Ellipse in erster Hauptlage: Mit der Definition für die Ellipse (1) und e² = a² - b² (2) können wir nun eine Beziehung für alle Punkte P(x,y) der Ellipse bei gegebenen a,b herleiten:

             XF₁ + XF₂ = 2a
             Ö((x-e)²+y²) + Ö((x+e)²+y²) = 2a
             Ö((x-e)²+y²) = 2a - Ö((x+e)²+y²)        ¹
             x² - 2ex + e² + y² = 4a² + x² + 2ex + e² + y² - 4a*Ö((x+e)²+y²)
             a*Ö((x+e)²+y²) = a² + ex        ²
              a²(x² + 2ex +e² + y²) = a^4 + 2a²ex + e²x²
             a² (x² + e² + y²) = a^4 + e²x²
             x²(a²-e²) + a²y² = a^4 - a²e²
             x²(a²-e²) + a²y² = a²(a² - e²)

Jetzt wenden wir die Beziehung (2), e²=a²-b², an. Dann erhalten wir die Gleichung für die Ellipse in erster Hauptlage

             b²x² + a²y² = a²b²
             x²/a² + y²/b² = 1       (3)

&AUML;quivalenzumformungen ? Bei der Herleitung zu dieser Formel (3) haben wir zweimal quadriert. In solchen Fällen ist immer zu überprüfen, ob die beiden Seiten der zu quadrierenden Gleichung sicher nicht kleiner als Null sind.
 ¹ Bei den beiden Wurzeln handelt es sich um die beiden Leitstrahlen, deren endliche Längen größer Null sind, sie dürfen maximal 2a betragen. Daher sind beide Seiten der Gleichung positiv, unter solchen Voraussetzungen dürfen wir quadrieren und haben mithin eine &AUML;quivalenzumformung.
 ² Die linke Seite ist sicher positiv, die rechte Seite ist auch positiv (siehe hiezu Aufgabe 1). Wir dürfen daher neuerlich quadrieren, ohne befürchten zu müssen, dass sich weitere Lösungen hinzuschummeln!

Als Resultat haben wir die Gleichung (3) für die Ellipse in erster Hauptlage enthalten.

Ellipse in erster Hauptlage x²/a² + y²/b² = 1 b²x² + a²y² = a²b²

    Aufgabe: Zeige, dass für die Ellipse der Ausdruck a²+ex immer größer Null ist! Lösung: e ist immer kleiner als a. Der am meisten negative Wert für x, der linke Hauptscheitel A, kann zumindest -a betragen. Daher ist a²+ex immer größer als Null.
    Aufgabe: Von einer Ellipse in erster Hauptlage sind die Längen der beiden Halbachsen, a=5 und b=4 gegeben. Stelle die Gleichung der Ellipse auf und berechne die Exzentrizität e. Lösung: x²/25 + y²/16 = 1 oder 16x² + 25y² = 400; e=3;
    Aufgabe: Von einer Ellipse in erster Hauptlage sind die Punkte P (2,2) und Q(-4,1) gegeben. Stelle eine Gleichung der Ellipse auf! Lösung: x²/20 + y²/5 = 1 oder x² + 4y² = 20
    Aufgabe: Zeige, dass 4x² + 9y² = 16 die Gleichung einer Ellipse in erster Hauptlage ist! Bestimme die Achsenlängen! Lösung: 2a = 4, 2b = 8/3
    Aufgabe: Die Erde bewegt sich (mehr oder minder exakt) in einer ebenen elliptischen Bahn um die Sonne, welche zugleich ein Brennpunkt derselben Ellipse ist. Die Hauptachse a hat sodann eine Länge von 149.5978*10⁶km (in Atlanten wird diese Größe auch als mittlere Entfernung von der Sonne bezeichnet). Der Quotient e/a (die numerische Exzentrizität) beträgt für die Erde 0,0167. Berechne daraus die Länge der Nebenachse b und das Verhältnis b:a. Was fällt dabei auf? Lösung: Die Bahn ist wie auch jene der anderen Planeten (außer Pluto) sehr dem Kreis ähnlich.
    Aufgabe: Gegeben ist die Gleichung einer Ellipse in erster Hauptlage, b²x² + a²y² = a²b². Ist es möglich, mit einer Gleichung, x oder y explizit darzustellen, sodass alle Punkte der Ellipse erfasst werden? Lösung: Das ist nicht möglich, da jedem x aus dem offenen Intervall (-a,a) jeweils zwei y-Werte und umgekehrt jedem y aus dem offenen Intervall (-b,b) jeweils zwei x-Werte zugewiesen werden. Bemerkung 1: Es ist aber, hinsichtlich einer expliziten Funktion, möglich, nur die obere Hälfte einer Ellipse zu betrachten. Dann erhalten wir eine eindeutige (allerdings nicht umkehrbare) Funktion. Diese Funktion ist dann in der gesamten Definitionsmenge, dem abgeschlossenen Intervall, also x Î [-a,+a], stetig. Darüber hinaus ist diese Funktion im offenen Intervall (-a,a) überall differenzierbar. Im Sinne einer Ableitung ist die Funktion an den Endpunkten, den beiden Hauptscheitel, nicht differenzierbar. Sehr wohl ist es jedoch möglich und auch anschaulich klar, an den beiden Hauptscheitel eine Tangente eindeutig anzulegen. Die beiden Tangenten sind senkrechte Geraden und lauten x=-a sowie x=+a. Bemerkung 2: Natürlich ist es sehr wohl möglich eine Ellipse als eindeutige Funktion darzustellen: Man stelle sich ganz einfach vor, dass ein Punkt innerhalb einer Zeitspanne entlang der Ellipse wandert. Wie erhalten so eine Bewegung in Abhängigkeit von der Zeit. Beispielsweise könnte der Punkt im Hauptscheitel A(+a,0) starten und entlang der Ellipse wandern, bis er wieder bei A anlangt. Die Lage des Punktes wird dann als Funktion der Zeit sowohl hinsichtlich der x- als auch hinsichtlich der y-Koordinate charakterisiert. Eine mögliche Darstellung dieser Zeitabhängigkeit lautet für die Ellipse
          x(t) = a*cos[t]
          y(t) = b*sin[t]
    Aufgabe: Versuche aus den beiden letztgenannten Termen mit der Identität cos²[t] + sin²[t] = 1 zu zeigen, dass eine zeitfreie Darstellung möglich ist und diese wiederum die Gleichung für die Ellipse (in erster Hauptlage) ergibt!



Die Hyperbel

Satelliten werden derart in den Weltraum befördert, sodass sie die Erde aus angemessener Entfernung in einer kreisförmigen Umlaufbahn umlaufen. Verleiht man einer Rakete, welche die Erde verlassen soll, etwas mehr Schub, so gelangt diese Rakete auf eine elliptische Umlaufbahn. Erhöht man die Schubkraft weiter, so geht die elliptische Flugbahn in eine Parabel über. Noch mehr Schubkraft bewirkt dann eine hyperbolische Flugbahn. Auf der hyperbolischen Flugbahn scheint der Flugkörper nach einiger Zeit auch seine Richtung beizubehalten.

Wir haben die Ellipse als eine Kurve kennen gelernt, bei der die Summe der Entfernungen zwischen zwei Brennpunkten konstant ist. Nun betrachten wir anstatt der Summe die Differenz der Entfernungen zwischen zwei Brennpunkten.

Es ergibt sich tatsächlich, wenn man diese konstante Differenz und die Lage der beiden Brennpunkte in der Ebene (die Differenz muss kleiner sein als die Entfernung zwischen den beiden Brennpunkten) vorgibt, eine schöne glatte Kurve. Genau genommen sind es auf der Ebene zwei nicht zusammenhängende Kurven, welche man die beiden Hyperbeläste nennt. Beide Hyperbeläste zusammen bezeichnet man als Hyperbel . Die Kurve ist bei passender Angabe und Befolgen einer Konstruktionsvorschrift mit Graphitstift, Zirkel und Lineal leicht zu konstruieren.

Es gibt viele Möglichkeiten Ellipse und Hyperbel zu vergleichen. Ebenso kann man zahlreiche Analogien herzustellen. Wie wir schon gesehen haben geht beim Schwenken einer Taschenlampe der auf einer angestrahlten Ebene sichtbare Umriss des Leuchtkegels von der Ellipse zuerst in die Parabel und dann in die Hyperbel über.

Wir fangen mit einigen einfachen Analogien an:

Für die Hyperbel gilt nun folgende Definition: Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte X, für welche die Differenz der Entfernungen von zwei festen Punkten (Brennpunkte, foci; F1, F2) constant (und kleiner als F1F2) ist.

Wir setzen diese konstante Differenz der Entfernungen gleich 2a und dürfen schreiben

             XF₁ - XF₂ = 2a          (1)

Für die Achsen der Hyperbel, Brennpunkte der Hyperbel führen wir ebenfalls angemessene Bezeichnungen ein:

M Mittelpunkt X Ein beliebiger Hyperbelpunkt F1, F2 Brennpunkte A, B Hauptscheitel XF1, XF2 Leitstrahlen (Brennstrahlen)

AB = 2a Hauptachse 2b Nebenachse a,b Halbachsen e Lineare Exzentrizität

Zwischen den Halbachsen a und b sowie der linearen Exzentrizität gilt nun folgende Beziehung:

             e² = a² + b²       (2)

Wie bei der Ellipse definiert man bei der Hyperbel als erste Hauptlage jene Lage, bei der a parallel zur ersten Achse und b parallel zur zweiten Achse liegt, der Ursprung ist der Mittelpunkt. Mit größeren Entfernungen vom Ursprung verschwindet immer mehr die Krümmung der Hyperbel. Sie nähert sich asymptotisch einer Geraden. Die Gleichung für eine Hyperbel in erster Hauptlage kann ähnlich jener Gleichung der Ellipse hergeleitet werden:

             XF₁ - XF₂ = 2a
             Ö((x+e)²+y²) - Ö((x-e)²+y²) = 2a
             Ö((x+e)²+y²) = 2a + Ö((x-e)²+y²)        ¹
             x² + 2ex + e² + y² = 4a² + x² - 2ex + e² + y² + 4a*Ö((x-e)²+y²)
             ex - a² = a*Ö((x+e)²+y²)        ²
             a^4 - 2a²ex + e²x² = a²(x² - 2ex +e² + y²)
             a^4 + e²x² = a²x² + a²e² + a²y²
             x²(e² - a²) - a²y² = a²e² - a^4
             x²(e² - a²) - a²y² = a²(e² - a²)

Jetzt wenden wir die Beziehung (2), e²=a²+b² woraus e²-a²=b² folgt, an. Dann erhalten wir die Gleichung für die Hyperbel in erster Hauptlage

             b²x² - a²y² = a²b²

Damit lautet diese Gleichung

Hyperbel in erster Hauptlage x²/a² - y²/b² = 1 b²x² - a²y² = a²b²

Anmerkungen zur Herleitung der Gleichung für die Hyperbel: ¹ Wenn XF₁ der linke Brennpunkt ist, gilt dieser Ansatz für alle Punkte des rechten Hyperbelastes (für den linken Hyperbelast ist XF₂ die längere Strecke! ......). Es gibt an dieser Stelle mehrere Möglichkeiten, einen korrekten Ansatz zu finden (möglich wäre etwa auch XF₁ - XF₂ = ± 2a. Durch das Quadrieren an dieser Stelle erfolgt letztlich eine Ausdehnung der Gültigkeit für die Punkte auf beiden Hyperbelästen .
², rechter Hyperbelast: Da e im rechtwinkeligen Dreieck (siehe (2) ) die Hypotenuse ist, ist e sicherlich länger als a (eine Kathete). x muss mindestens die Größe a haben. Damit ist der Term ex-a² sicher größer als Null!
², linker Hyperbelast: Für den linken Ast der Hyperbel ist x negativ. Es ist am einfachsten, wenn man jetzt e, hinsichtlich des Brennpunktes mit den Koordinaten (-e/0) gerichtet und daher auch negativ auffasst. Damit gilt, für den linken wie für den rechten Hyperbelast

             ex - a² > 0

Die Asymptoten der Hyperbel Betrachtet man die Gleichung der Hyperbel in erster Hauptlage, b²x² - a²y² = a²b² bei gegebenen Achsenlängen a und b, so zeigt sich, dass für sehr große y und daher auch sehr große x der konstante Ausdruck a²b² vernachlässigt werden kann. Daraus ergeben sich die beiden Asymptotengleichungen der Hyperbel

             y = - (b/a)*x              y + (b/a)*x

Wir erweitern unsere anfängliche Idee mit der Taschenlampe und deren Umriss des Leuchtkegel am Fußboden dahingehend, dass wir uns nun einen Doppelkegel vorstellen. Diesen Doppelkegel schneiden wir mit einer Ebene (bei der Taschenlampe hatten wir uns vorgestellt, dass der Boden fix sei und der einfache Leuchtkegel beweglich. Nun haben wir einen Doppelkegel, dieser sei nun fix. Die Ebene, mit der wir schneiden, sei, wie ein Messer, beweglich).

Je nach dem, wie wir schneiden, ergeben sich als Schnittfläche wieder Kreis (waagrechter Schnitt), Ellipse (Der Schnitt ist etwas schräger), Parabel (Die Schnittebene ist nun noch schräger, sodass sie gerade parallel zu einer Erzeugenden ist - also ausgeglichen) und Hyperbel (die Schnittebene ist nun übertrieben schräg: Am oberen als auch am unteren Teil des Doppelkegels erhalten wir als Schnittkurve jeweils einen Hyperbelast). Wir schneiden sodann hinreichend schräg, sodass wir eine solche Hyperbel erhalten. Nun betrachten wir die beiden Hyperbeläste von oben (mit orthogonalen Sehstrahlen). Die beiden Asymptoten sind dann aus dieser Sicht (bzw. diesem Schnitt) die beiden äußeren Erzeugenden des Kegels. Das ist am besten einsichtig, wenn man den Doppelkegel entlang seiner Drehachse schneidet.

    Aufgabe: Eine Hyperbel in erster Hauptlage soll durch die Punkte A(2/-1) und B(3/-2) gehen. Berechne die Formvariablen a und b! Lösung: a²=7/3, b²=5/3
    Aufgabe: Eine Hyperbel in erster Hauptlage soll durch die Punkte A(3/5) und B(3/-5) gehen. lässt sich dieses Beispiel eindeutig lösen? Lösung: Nein. Aus Symmetriegründen folgt aus dem Punkt A(3/5), dass die Punkte (3/-5), (-3/5) und (-3/-5) ebenfalls auf der Hyperbel liegen. Es liegen also nicht zwei unabhängige Angaben vor, weil sich aus dem Punkt A bereits schließen lässt, dass B auch auf der Hyperbel liegt. a und b lassen sich so nicht eindeutig berechnen.
    Aufgabe: Gegeben ist ein Gleichung der Hyperbel, 9x²-16y²=144. Berechne die Länge der beiden Halbachsen, a und b. Geht aus der Darstellung 9x²-16y²=144 bereits hervor, dass es sich um eine Hyperbel in erster Hauptlage handelt? Lösung: a=4, b=3. Sehr einfach formuliert geht aus der Darstellung hervor, dass es sich um eine Hyperbel in erster oder in zweiter Hauptlage handelt. Mit etwas Kopfrechnen sieht man, dass a größer als b ist. Demnach ist es die erste Hauptlage. Hinweis: Wären weitere lineare Glieder der Art cx oder dy vorhanden, so wäre der entsprechende Kegelschnitt (es könnte eine Ellipse oder eine Hyperbel sein) wohl achsenparallel, nicht jedoch mit dem Mittelpunkt im Ursprung. Wäre noch ein Mischglied der Art fxy vorhanden, so wäre der entsprechende Kegelschnitt nicht mehr achsenparallel.
    Aufgabe: a) Stelle eine Gleichung für die Einheitshyperbel a=b=1, erste Hauptlage, auf. b) Zeige, dass mit x = (e^A + e^-A)/2 und y = (e^A - e^-A)/2 die Gleichung für die Einheitshyperbel für alle reellen A erfüllt ist. c) Werden mit dem einen Parameter A alle Punkte der Einheitshyperbel x²-y²=1 erreicht?
d) Welche geometrische Bedeutung hat A? (der gegenständliche Text geht auf das nötige Wissen für diese Frage nicht ein) Lösungen: a) x²-y²=1. b) Unmittelbares Einsetzen und Ausrechnen zeigt, dass [(e^A + e^-A)/2]² - [(e^A - e^-A)/2]² = 1, somit ist die &AUML;quivalenz erfüllt. c) Diese Parametrisierung beschreibt nur den rechten Ast der Hyperbel. Für positive A werden die Punkte der Hyperbel im ersten Quadranten, für negative A jene im vierten Quadranten erreicht.
d) A ist die Fläche des doppelten Hyperbelsektors. &AUML;hnlich dem doppelten Kreissektor umfasst der doppelte Hyperbelsektor die Fläche zwischen den beiden vom Ursprung ausgehenden Strecken zu den durch A festgelegten zwei Punkten x = (e^A + e^-A)/2 und y = ± (e^A - e^-A)/2 sowie der Hyperbel zwischen diesen beiden Punkten. Bemerkung: Analog zu den Winkelfunktionen, bei denen x=cost und y=sint die Punkte (x/y) bzw. (cost/sint) auf dem Einheitskreis sind, definiert man Hyperbelfunktionen. Dabei gilt für die Einheitshyperbel x = sinhA = (e^A + e^-A)/2 und y = coshA = (e^A - e^-A)/2. Die Punkte (coshA/sinhA) liegen auf dem rechten Ast der Einheitshyperbel.
    Aufgabe: Eine Parabel für welche a=b gilt bezeichnet man auch häufig als gleichseitige Hyperbel. Die Kehrwertfunktion y=1/x ist eine um 45° aus der ersten Hauptlage heraus gedrehte gleichseitige Hyperbel. Die beiden Asymptoten sind dann die Koordinatenachsen. Wie lautet die Gleichung der ursprünglich, sich also in erster Hauptlage befindlichen Hyperbel? Wie lauten die Koordinaten der Scheitelpunkte der Hyperbel in der ersten Hauptlage? Welche beiden Punkte sind das nach erfolgter Drehung? (Hinweis: Eine Skizze kann hilfreich sein). Lösung: Aus der Angabe (Drehung um 45°) folgt, dass sich die beiden Scheitelpunkte der gedrehten Hyperbel auf der ersten Mediane liegen, es sind also die Punkte (-1,-1) und (1,1). Der Abstand zwischen den beiden Punkten beträgt 2*Ö2 = 2a. Da a=b lautet damit die Gleichung der Hyperbel x²/2 - y²/2 = 1. Die Scheitelpunkte der ursprünglichen Hyperbel lauten (-Ö2,0) und ( Ö2,0). Die Aufgabe kann auch mit den Methoden der Matrizenrechnung und der entsprechenden Drehmatrix gelöst werden.


Tangente an der Ellipse - eine kurze Einführung

Eine effiziente Methode zum Anlegen der Tangente an Punkten der Ellipse, bzw. von Punkten außerhalb der Ellipse aus, ist die Berechnung mit der Spaltform. Der allgemeine Beweis für die Spaltform (Verwendbarkeit für alle Kegelschnitte) wird in der projektiven Geometrie geführt und übersteigt den Rahmen dieses Texts. Mit den Methoden der Differentialrechnung ist das Anlegen von Tangenten ebenfalls möglich!.

An einem Punkt der Ellipse soll eine Tangente angelegt werden: Die Tangentengleichung lautet wie jede andere Geradengleichung auch y=kx+d, der Berührpunkt T ist bekannt. Zu berechnen sind sodann die Steigung k und die Distanz d. Die Steigung erhält man leicht mit der ersten Ableitung, dabei werden die obere oder die untere Hälfte der Ellipse, jeweils für sich, als Funktion betrachtet. Mit einem bekannten Punkt, dem Berührpunkt und der berechneten Steigung kann die Distanz d berechnet werden. Mit der Steigung und der Distanz kann die Tangentengleichung formuliert werden.

Aufgabe: Eine Ellipse in erster Hauptlage geht durch den Punkt (6,4) und hat den rechten Hauptscheitel bei x=10. Berechne die Gleichung der Ellipse und die Steigung der Kurve an (6,4). Ermittle die Tangentengleichung an (6,4). Lösung: x²+4y²=100, Ableitung y´ = -x/[4*Ö(100-x²)], y´(6)=-3/8, d=50/8, 8y = -3x+50.


Pol und Polare beim Kreis - eine kurze Einführung

Betrachten wir einen Punkt P außerhalb eines Kreises (mit Mittelpunkt im Ursprung). Von diesem Punkt aus lassen sich zwei Tangenten an den Kreis anlegen. Die beiden dadurch entstehenden Berührpunkte liegen eindeutig auf einer Geraden p. Den Punkt P bezeichnet man als Pol, die ihm zugehörige Gerade p bezeichnet man als Polare.

Grenzfälle: Liegt der Punkt P (der Pol bzw. der nun uneigentliche Pol) am Kreis, so fallen die beiden Tangenten und die Polare zu einer einzigen Tangente zusammen. Liegt der Punkt unendlich weit weg, so sind im Grenzfall die beiden Tangenten parallel, die Polare ist ein auf die beiden Tangenten rechtwinkelig stehender Durchmesser des Kreises.

Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung. Wie berechnet man von einem Pol außerhalb des Kreises die beiden Tangenten und die Polare?

Eine im Rahmen dieses Textes nicht diskutierte Möglichkeit ist die Verwendung der Spaltform, welche auf die Kegelschnitte verallgemeinert werden kann.

Eine andere Möglichkeit ist folgende:
Es ist offensichtlich, dass der Mittelpunkt M des Kreises, der Pol P und die beiden Berührpunkte T₁ und T₂ ein Deltoid aufspannen, welches an den beiden Berührpunkten jeweils einen rechten Winkel hat (sh. hiezu eine Aufgabe). Der Umstand, dass das skalare Produkt zwischen zwei orthogonalen Vektoren Null beträgt, liefert uns einen Ansatz:

             T₁ · ₁P = 0
             Für T₁ (x/y) und P (q/o) folgt
             x * ( q - x ) + y * ( o - y ) = 0

Für einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung gilt

             x² + y² = 1

Damit lassen sich, je nach Angabe die fehlenden Bestimmungsstücke, berechnen.

   Aufgabe: Im Text wurde erwähnt, dass der Mittelpunkt des Kreises, die beiden Berührpunkte und der Pol ein Deltoid mit zwei rechten Winkel aufspannen. Wieso? Lösung: Dieses Deltoid besteht aus zwei Radiusvektoren und zwei auf den zugehörigen Tangenten liegenden Strecken. Beim Kreis stehen Tangente und Radiusvektor immer im rechten Winkel zueinander.
   Aufgabe: Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius r=5. Lege vom Pol P( 25/3 / 0 ) aus zwei Tangenten an den Kreis. Wie lauten die beiden Tangentengleichungen?
Lösung: 3x + 4y = 25, -3x + 4y = 25


Die Parabel

Für einen Germanisten ist eine Ellipse als Stilmittel ein abgekürzter Satz, eine Hyperbel ist für ihn eine &UUML;bertreibung, eine Parabel ein Gleichnis. So unterschiedlich die Anschauungen des Germanisten und die exakteren Definitionen bzw. Betrachtungen des weisen Mathematikers auf den ersten Blick auch sein mögen, drücken sie letztlich doch das Gleiche aus. In der Polarform lautet die Gleichung aller Kegelschnitte r = p / ( 1 + e * cos[t] ) , wobei für "ausgeglichenes" Epsilon gilt, dass e = 1. Diese Kurve ist dann eine Parabel.

Definition: Die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt (Brennpunkt) und einer Geraden den gleichen Abstand haben, heißt Parabel.

Die Parabel hat eine auf die Leitlinie normal stehende und durch den Scheitelpunkt gehende Symmetrieachse. Liegt die Leitlinie senkrecht und der Scheitelpunkt rechts von der Leitlinie, spricht man von einer rechts offenen Parabel.

Nun werden wir eine Gleichung für eine rechts offene Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung herleiten. Der Abstand (Normalabstand) zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie ist der Parameter p. Der Scheitelpunkt halbiert die Strecke zwischen der Leitlinie und dem Brennpunkt. Wie aus der Skizze ersichtlich hat der Brennpunkt die Koordinaten ( p/2 , 0 ).

A....Scheitel X...Punkt der Parabel F...Brennpunkt

l...Leitlinie p...Parameter

Für Punkte der Parabel, deren x-Koordinate höher als die x-Koordinate des Brennpunktes F ist gilt (wir betrachten ein rechtwinkeliges Dreieck mit XF als Hypotenuse)

             XF² = ( x - p/2 )² + y²

Dieser Abstand XF muß gleich sein jenem der Leitgeraden l, welche die Senkrechte x=-p/2 ist. Der Abstand des Punktes x von der Leitgeraden beträgt daher x+p/2. Gleichsetzen der beiden Ausdrücke bringt

             Ö[(x-p/2)² + y²] = x + p/2
             x² - px + p²/4 + y² = x² + px + p²/4
              y² = 2px

Gleichung für eine rechts offene Parabel, auch Parabel in erster Hauptlage y² = 2px

    Aufgabe: Leite eine Gleichung einer Parabel her, deren Scheitel im Ursprung und deren Brennpunkt auf der negativen (zweiten) Achse (der y-Achse) liegt! Lösung: x² = 2py
   Aufgabe: Bei der Herleitung einer Formel für die Parabel in erster Hauptlage sind wir zunächst nur von Punkten der Parabel deren x-Koordinate höher als jene des Brennpunktes ist ausgegangen. Wie wäre bei der Herleitung für die Punkte der Parabel, die links vom Brennpunkt im Bereiche des Scheitels liegen, anzusetzen? Gilt nach erfolgter Herleitung die selbe Gleichung? Lösung: Es wird genauso ein rechtwinkeliges Dreieck betrachtet, nur dass die an der x-Achse aufliegende Kathete nun ( p/2 - x ) lautet. Da ( p/2 - x )² = (x-p/2)² ergibt das in der Herleitung keinen Unterschied. Die angeführte Gleichung gilt für alle Punkte der Parabel.
   Aufgabe: Die Parabel in zweiter Hauptlage, y=x², ist um 6 Einheiten nach oben zu verschieben. Wie lautet die Gleichung? Lösung: y=x²+6
   Aufgabe: Die nach oben offene Parabel y=x² ist um 3 Einheiten nach rechts zu verschieben. Wie lautet die Gleichung? Lösung: y = (x+3)² bzw. y = x² + 6x + 9
   Aufgabe: Die nach oben offene Parabel y=x² ist um 4 Einheiten nach rechts und um 5 Einheiten nach oben zu verschieben. Wie lautet die Gleichung? Lösung: y = (x+4)² + 5 = x² + 8x + 21
   Aufgabe: Eine Parabel in erster Hauptlage geht durch den Punkt (8/4). Wie lautet die Gleichung? Lösung: y²=2x


















F₁, F₂ XF₁ - XF₂

Aufgabe:
Lösung: