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(Arbeitsseite 2. Teil zu den Hyperbelfunktionen)

H 8. Eulersche Formel, eiT = cos[T] + i*sin[T]

In diesem Abschnitt wird eine einfache Herleitung der Formel des Euler gezeigt. Mit dieser Formel werden dann im n�chsten Abschnitt die Zusammenh�nge zwischen den Winkelfunktionen und den Hyperbolischen Funktionen diskutiert!

Bekanntlich k�nnen in der Gau�-schen Zahlenebene die komplexen Zahlen im Allgemeinen auch in der Form r*(cos[T]+i*sin[T]) beschrieben werden. In dieser Form ist r der Betrag der komplexen Zahl (der Abstand vom Ursprung). T kann als Winkel gedeutet werden, den der "Zeiger" (vom Ursprung zur Zahl) mit der positiven Realachse einschlie�t. Jene komplexen Zahlen welche am Bogen des Einheitskreises liegen haben trivialerweise den Betrag 1, sie k�nnen daher mit (cos[T] + isin[T]) beschrieben werden. Nun definieren wir eine von der Variablen T abh�ngige Funktion u(T) wie folgt:

u(T) = cos[T] + isin[T]

Sodann leiten wir diese Funktion ab.

u'(T) = -sin[T] + icos[T]

Andererseits erhalten wir, wenn wir u mit der imagin�ren Einheit, i, multiplizieren

iu(T) = icos[T] + i�sin[T] = -sin[T] + icos[T]

Wenn wir die beiden letzten Resultate vereinigen, so erhalten wir eine Differentialgleichung:

u'(T) = i*u(T)

Aus Sicht dieser Differentialgleichung ist u eine Funktion, welche im Wesentlichen sich selbst als Ableitung hat. Es kommt beim Ableiten nur der Faktor i dazu. Wenn wir uns auf Basis dieser Informationen �berlegen, wie u(T) ausschauen k�nnte, so kommt nur die Exponentialfunktion in Frage, genauer ist es e^iT, denn

[e^iT]' = i*e^iT

e^iT kann also als L�sung u(T) der Differentialgleichung u'(T) = u(T) aufgefa�t werden. Da wir anfangs jedoch u(T) = cos[T] + isin[T] definiert haben, k�nnen wir die beiden Ausdr�cke f�r u(T) gleichsetzen und erhalten somit die Eulersche Formel

e^iT = cos[T] + isin[T]

Ohne Beweis sei angef�hrt, dass die L�sung u(T)=e^iA die einzige L�sung der Differentialgleichung u'(T)=iu(T), wenn wir zus�tzlich noch die Anfangsbedingung u(0)=1 fordern! Alternativ kann die Euler-Formal auch mit Reihenentwicklung bewiesen werden.

Applet mit dem Einheitskreis, e^(iT) kann mit der Zeit als Parameter (Punkt bewegt sich in der Zeit t entlang des Bogens des Einheitskreises) gedeutet werden.

H 9. Zusammenh�nge zwischen den hyperbolischen und den Winkelfunktionen

Wir haben im vorigen Anschnitt, H 8, die Euler-Formel, e^iT = cos(T) + i*sin(T), und deren Herleitung gezeigt. Wenn wir in diese Formel statt dem Argument T nun -T als Argument setzen, so erhalten wir:

e^-iT = cos(-T) + i*sin(-T) = cosT - i*sinT

Bei der letzten Umformung haben wir ben�tzt, dass die Cosinusfunktion eine gerade Funktion und die Sinusfunktion eine ungerade Funktion ist. Wenn man den so gewonnenen Term f�r e^-iT und jenen f�r e^iT addiert, erhalten wir

e^iT + e^-iT = 2*cos[T]

(1/2)*(e^iT + e^-iT) = cos[T]

Der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung sieht aus wie ein hyperbolischer Cosinus, allerdings ist das Argument jetzt imagin�r und lautet iA. Zwar haben wir in die einzelnen Texte �ber die Hyperbelfunktionen immer wieder Intuitionen und Anschaulichkeit einflie�en lassen. Argumente und Funktionswerte der Hyperbelfunktionen haben wir gedanklich wohl immer mit reellen Zahlen assoziiert. Dennoch: Wir sind von der Exponentialfunktion ausgegangen: Von da an haben wir bei den Herleitungen und Beweisf�hrungen tats�chlich jedoch nur Axiome ben�tzt, welche nicht nur f�r relle, sondern auch f�r komplexe Zahlen, gelten. Wenn wir nun davon ausgehen, dass die Exponentialfunktion auch f�r beliebige komplexe Argumente sinnvoll definiert ist, k�nnen wir daher auch die Hyperbelfunktionen f�r komplexe Argumente und Funktionswerte zulassen (die Funktionen werden also ins "Komplexe" erweitert). Zun�chst sei ohne Beweis angef�hrt, dass die Winkelfunktionen genau so in die Welt der komplexen Zahlen erweitert werden k�nnen. Wir meinen jetzt nicht, dass wir eine Formel, wie etwa e^iT=cos[T]+isin[T] kennen, sondern, dass wir ab jetzt Winkelfunktionen auch mit komplexen Argumenten und damit auch mit komplexen Funktionswerten betrachten werden (siehe hiezu die Ausf�hrungen im n�chsten Kapitel). Nachdem wir nun die Hyperbelfunktionen f�r komplexe Argumente zugelassen haben und keine Widerspr�che bef�rchten m�ssen, betrachten wir iT als unsere Recheneinheit und setzen in die Definition des hyperbolischen Cosinus ein, auf der rechten Seite verbleibt die Cosinusfunktion des Einheitskreises (T sei reell, diese Einschr�nkung ist jedoch nicht notwendig):

(1/2)*(e^iT + e^-iT) = cosh[iT] = cos[T]

Damit ist ein Zusammenhang zwischen den beiden Cosinusfunktionen hergestellt. Subtrahiert man die zwei Exponentialfunktionen erh�lt man einen Term f�r die Sinusfunktion

(1/2)*(e^iT - e^-iT) = i*sin[T]

sinh[iT] = i*sin[T]

Der Leser m�ge sich �berlegen, wie man die nachstehen angef�hrte Beziehung zwischen dem hyperbolischen Tangens und dem des Kreises zeigen kann:

tanh[iT] = i*tanh[T]

M�chte man jedoch in der hyperbolischen Funktion ein relles Argument ben�tzen, so setzt man einfach iT=A. Wir zeigen diese Rechnung anhand des hyperbolischen Cosinus (beachte: i�=-1):

cosh[iT] = cos[T]

cosh[A] = cos[A/i] = cos[iA/i�] = cos[Ai/(-1)] = cos[-iA] = cos[iA]

Wieso kommen wir, wenn wir nach einem Zusammenhang zwischen den hyperbolischen Funktionen und denen des Kreises suchen, nicht ohne komplexe Zahlen aus? Eine Antwort dazu liefert das n�chste Kapitel. (Betrachten wir dazu nochmals die beiden Cosinusfunktionen: .........)

H 10.

H 11. Die Seilkurve (Kettenlinie)

" Die Seilkurve (Kettenlinie, Katenoide) ist die Kurve, die sich im Gleichgewicht einstellt, wenn die Endpunkte eines unelastischen, homogenen und vollkommen biegsamen Seiles von konstanten Querschnitt an zwei (nicht notwendig gleich hohen) Stellen im Schwerefeld befestigt sind und das Seil au�er seinem eigenen Gewicht keinen anderen Belastungen unterworfen ist. " (Physikalisches W�rterbuch)

Das Seil liege nun in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem, die erste (waagrechte) Achse nennen wir A, die zweite Achse nennen wir x, x ist von A abh�ngig. Das Seil liege so im Koordinatensystem, dass sein Scheitelpunkt (der Tiefpunkt des frei durchh�ngenden Seiles) die A-Koordinate 0 einnimmt. Wenn wir uns ein Seil in der zuvor geschilderten Art und Weise (idealisiert) vorstellen, dann gilt, dass die resultierende Kraft aus der Horizontalkraft H und der Vertikalkraft V an jeder Stelle des Seiles in Richtung des Seiles f�llt. F�r H und V gelten dann an einer beliebigen Stelle des Seiles

V/H = dx/dA

V = (dx/dA)*H

Unser Ziel ist es, eine Gleichung f�r x in Abh�ngigkeit von A zu finden. Wir versuchen also die einzelnen Gr��en soweit als m�glich auf x und A zur�ckzuf�hren.

Eine infinitesimal kleine Vertikalkraft dV ist proportional zu V und zum zugeh�rigen infinitesimal kleinem dx. Daher gilt

dV = V*dx

Einsetzen in den obigen Term f�r V liefert

(dV/dx) = (dx/dA)*H

dV = (d�x/dA)*H

Wovon h�ngt dV andererseits noch ab? dV h�ngt von der Gewichtskraft G des Seiles (je L�ngeneinheit) ab und wird, weil schon dV eine infinitesimal kleine Kraft ist, auf ein entsprechendes infinitesimal kurzes St�ck des Seiles, mit der Bogenl�nge ds bezogen!

dV = G*ds

Einsetzen in den anderen Term f�r dV liefert G*ds = (d�x/dA)*H

ds = (d�x/dA)*(H/G)

H und G sind Materialkonstanten, der Quotient H/G wird gleich a gesetzt. Dann erweitern wir links und rechts mit 1/dA.

ds/dA = (d�x/dA�)*a

F�r ds/dA wenden wir die Formel f�r die Bogenl�nge an, dann gilt (beachte: Das Bogenelement ds liegt in einem A-x-Koordinatensystem)

Sqrt[1+(dx/dA)�] = (d�x/dA�)*a

Beachte: Auf der linken Seite steht in der Notation mit den Differentialen das Quadrat der ersten Ableitung, auf der rechten Seite steht in der selben Notation die zweite Ableitung. Wir setzen unsere Ableitung x'=dx/dA gleich y und erhalten daher

Sqrt[1+y�] = (y')*a

Wenn wir nun y' als dy/dA auffassen, so gilt weiters

Sqrt[1+y�] = (dy/dA)*a

(1/a)*dA = (1/Sqrt[1+y�])*dy

Um die Gleichung von den Differentialen zu befreien, k�nnen wir links und rechts integrieren! Der linke Integrand bereitet kein Problem. Der rechte Integrand k�nnte aufmerksamen Lesern bekannt vorkommen, es ist die Ableitung des Area sinus hyperbolicus. Somit erhalten wir aufgrund des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung

(1/a)*A = arsinh[y]

Eigentlich wollten wir ja einen Term f�r x finden. Wir dr�cken y eplizit aus und setzen dann noch x'=y (so haben wir y einige Schritte vorher definiert) ein.

y = sinh[A/a]

x' = sinh[A/a]

Wir haben am Anfang die Bedingung gefordert, dass die Seilkurve am Tiefpunkt des Seils die A-Koordinate Null erhalten soll. Das bedeutet, dass die Ableitung an dieser Stelle Null sein mu�, hier x'(0)=0 (Anfangsbedingung). Das ist in der obigen Gleichung mit A=0 bereits erf�llt. Es kommt keine additive Konstante hinzu. Wir k�nnen unbesorgt neuerlich integrieren und erhalten so die Gleichung f�r die Seilkurve.

x = a*cosh[A/a]

Ob das die Spinne wohl jedes Mal nachrechnet, wenn ihre Spinnweben frei durchh�ngen??




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Beispiel mit Stromkabel zwischen �berlandstrommasten....

Freier Fall mit Luftwiderstand

Substitution: Mit Kenntnissen �ber die Hyperbelfunktionen lassen sich Substitutionen durchf�hren, mit denen eine Reihe weiterer Integrale gel�st werden kann..............

Unterschiede zum Lernpfad:

Neben den �blichen Anforderungen werden im Lernpfad die einzelnen Punkte in der Reihenfolge in �bereinstimmung mit den Vorkenntnissen ( 6. AHS, 7., 8.). gebracht.

Weitere Beispiele sind f�r das Lerntagebuch vorgesehen.




Bitte etwas ruhiger, v.a. in den hinteren R�ngen!

Fragen werden gerne beantwortet - hier vorn!


Ihr m�get euch bitte H. 8 durchlesen.
Anschl. wollen wir dar�ber diskutieren

Diskussionspunkte: Angemessene Genauigkeit der Ausf�hrungen oder �bertriebenes Anf�hren von Trivialit�ten
Verst�ndlich??
.....