http://www.geocities.com/lightvolcano/study/hyp.html (Hyperbelfunktionen, Version DF)
Thomas Anton Gobold, Juli 2003



Etwa 1740 fand Leonhard Euler folgende Identität heraus:
             2*Cos[T] = eiT + e-iT
V. Riccati (1752) und J.H. Lambert (1758) führten dann eine neue Klasse von Funktionen in die Mathematik ein!

Hyperbelfunktionen

Voraussetzungen: Funktionsbegriff, Kegelschnitte v.a. Hyperbel, Gleichung der Hyperbel, Exponentialfunktion, Umkehrfunktionen, Lösen von quadratischen Gleichungen, natürlicher Logarithmus.

Für einzelne Abschnitte sind darüber hinaus noch Kenntnisse über die Ableitung der Umkehrfunktion sowie über Integrationsmethoden und über komplexe Zahlen notwendig bzw. empfohlen.

Einem Leser, der sich mit den Hyperbelfunktionen grundsätzlich einmal nur vertraut machen möchte, sei empfohlen, die Kapitel "H 1" bis "H 4" sowie "H 9" zu lesen, von "H 7" und "H 8" können die Resultate (Bedeutung des Parameters, Eulersche Formel) einfach übernommen werde. Die Kapitel "H 5" bis "H 8" setzen bereits Kenntnisse über die Differential- und Integralrechnung voraus. Die Inhalte von "H 10" und "H 11" sind schon etwas anspruchsvoller, stellen jedoch eine Ergänzung bzw. Abrundung zu den übrigen Texten dar.



Inhalt dieser Seite

H 1. Grundlegende Definitionen und Motivationen
H 2. Namenspatronanz: Wieso Hyperbelfunktionen?
H 3. Quell- und Zielmengen des hyperbolischen Cosinus und des hyperbolischen Sinus
H 4. Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen: Areafunktionen
H 5. Differentiation der hyperbolischen Funktionen und ihrer Umkehrfunktionen
H 6. Integration der hyperbolischen Funktionen und ihrer Umkehrfunktionen
H 7. Der Parameter "A" - geometrische Deutung als doppelter Hyperbelsektor
H 8. Die Eulersche Formel
H 9. Zusammenhänge zwischen den hyperbolischen Funktionen und den Winkelfunktionen
H 10. Philosophien über den Einheitskreis und seiner imaginären Schwester, der Einheitshyperbel
H 11.Die Seilkurve (Kettenlinie)

H 1. Grundlegende Definitionen und Motivation


Die zwei Hyperbelfunktionen, der hyperbolische Cosinus (Cosinus hyperbolicus, Cosh[A] und der hyperbolische Sinus (Sinus hyperbolicus, Sinh[A]) werden in Abhängigkeit vom Parameter A durch Exponentialfunktionen, wie folgt, definiert:

             Cosinus hyperbolicus: cosh[A] = (1/2)*(eA + e-A)

             Sinus hyperbolicus: sinh[A] = (1/2)*(eA - e-A)

" Vielleicht meinen Sie nun, der Cosinus hyperbolicus sei ja als mathematische Konstruktion recht interessant, aber praktische Bedeutung habe er wohl kaum. Dann sind Sie gewaltig im Irrtum! Gehen Sie einmal am frühen Morgen in den Wald, wenn die Sonne noch niedrig steht und der Tau noch nicht verschwunden ist. Dann sehen Sie gewiß viele Spinnweben, die sich von einem Ast zum anderen schwingen und an denen viele winzige Tautröpfchen glitzern. Sie beschreiben einen Bogen, der ein Teil der hyperbolischen Cosinuslinie ist.

Oder beobachten Sie eine Telegraphenleitung: Sie hängt durch und beschreibt wiederum einen solchen Bogen. Der Graph der Funktion cosh[A] heißt deshalb oft auch Kettenlinie. Diese Kettenlinie entsteht immer dann, wenn ein in allen Teilen beweglicher "schwerer" Faden (eine ideale Kette) an zwei Punkten aufgehängt wird und im Schwerefeld durchhängen kann " ( Richard Knerr, Mathematik - eine faszinierende Wissenschaft)

Vom Morgentau und Spinnweben abgesehen finden Hyperbelfunktionen in der Technik, unter anderem im Brückenbau, ein breites Anwendungsgebiet. Die Trägerkonstruktion der im August 1976 in Wien eingestürzten Reichsbrücke beruhte ebenfalls auf der "Kettenlinie", dem hyperbolischen Cosinus! Weitere Träger von einigen Donaubrücken, etwa die Elisabethbrücke in Budapest bzw. der Golden Gate Bridge in San Francisco sind ebenfalls so gebaut.

Aufgabe: Zeige, dass eA = Cosh[A] + Sinh[A] gilt!
Lösung: (der Text zur Lösung hebt sich vom Hintergrund nicht ab und kann mit "Markieren" ersichtlich gemacht werden!) Einsetzen der Definition für die beiden Hyperbelfunktionen....zwei Terme fallen weg.


H 2. Namenspatronanz: Wieso Hyperbelfunktionen?


Die Winkelfunktionen (welche in älterer Literatur gelegentlich auch als Kreisfunktionen bezeichnet werden) cos[T] und sin[T] können bekanntlich als x- und y-Koordinaten des Einheitskreises, x²+y²=1, aufgefasst werden (oder die beiden Funktionen werden so definiert). Mit den beiden Hyperbelfunktionen, cosh[A] und sinh[A], ist eine ähnliche Betrachtung auf der Einheitshyperbel möglich. Die Einheitshyperbel ist eine gleichseitige Hyperbel und gehorcht der Darstellung x²-y²=1 .

Setzt man nun

             x=cosh[A] und
             y=sinh[A],

so erhalten wir damit eine andere Beschreibung der Einheitshyperbel in Abhängigkeit vom Parameter A. Dass sich das tatsächlich genau so verhält, kann leicht nachgerechnet werden! Dazu muss nur gezeigt werden, dass die Definitionen für die Hyperbelfunktionen tatsächlich die Gleichung für die Einheitshyperbel erfüllen:

             x²-y² = cosh²[A] - sinh²[A] = [(1/2)*(eA + e-A)]² - [(1/2)*(eA - e-A)]² = 1

Die Details dieser einfachen Rechnung überlassen wir dem Leser bzw. dem Benützer!

Aus der Rechnung geht auch folgende Gleichung hervor (man denke an die Winkelfunktionen):

             cosh²[A] - sinh²[A] = 1

Tangens hyperbolicus: Als Pendant zu den Winkelfunktionen wird auch ein hyperbolischer Tangens (tanh) definiert. Genau wie bei den Winkelfunktionen lautet dieser:

             tanh[A] = sinh[A] / cosh[A]

Funktionsgraphen der Hyperbelfunktionen (Quellennachweis siehe am Ende dieser Seite, die Skizzen enthalten z.T. andere Bezeichnungen)



Aufgabe: Wie kann der hyperbolische Tangens geoemtrisch anschaulich gedeutet werden?
Lösung: (der Text zur Lösung hebt sich vom Hintergrund nicht ab und kann mit "Markieren" ersichtlich gemacht werden!) Genauso wie der trigonometrische Tangens; eine vertikale Komponente wird auf eine horizontale Komponente bezogen (das ist die Definition des Anstiegs schlechthin), der tanh[A] ist sodann der Anstieg jener Geraden, welche durch den Ursprung und den Punkt (Cosh[A]/Sinh[A]) der Einheitshyperbel geht.


H 3. Quell- und Zielmengen des hyperbolischen Cosinus und des hyperbolischen Sinus
-
Stetigkeit


Wie wir später noch sehen werden, kann der Parameter A geometrisch als die Fläche des doppelten Hyperbelsektors gedeutet werden. Für die bisher besprochenen Definitionen und Gleichungen ist diese Einschränkung nicht notwendig: A kann ein beliebiges reelles Argument sein (Anmerkung: Die Hyperbelfunktionen können sogar im Komplexen fortgesetzt werden).

Mit allen reellen Zahlen als Definitionsmenge bildet der hyperbolische Cosinus im Intervall [1,unendlich) ab. Der hyperbolische Cosinus ist eine gerade Funktion. Betrachtet man seine Definition, so ist leicht zu sehen, dass f(A)=f(-A) gilt. Der Funktionsgraph liegt symmetrisch zur zweiten Achse. Eingeschränkt auf die Definitionsmenge (0, unendlich) ist der hyperbolische Cosinus bijektiv.

Der hyperbolische Sinus erreicht alle reellen Zahlen. Sowohl die Quell- als auch die Zielmenge umfasst alle rellen Zahlen. Der hyperbolische Sinus ist bijektiv. Weiters ist aus der Definition für den hyperbolischen Sinus leicht zu sehen, dass es sich um eine ungerade Funktion handelt. Es gilt f(A) = -f(-A). Der Funktionsgraph ist bezüglich des Ursprungs zentrisch symmetrisch und ergibt nach Drehung um 180 Grad das ursprüngliche Bild.

Beide Funktionen, der hyperbolische Cosinus und der hyperbolische Sinus, sind in jedem Punkt des Definitionsbereiches stetig.




H 4. Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen:
Areafunktionen


Nachdem sowohl die hyperbolische Sinusfunktion, und bei geeigneter Einschränkung auch die hyperbolische Cosinusfunktion, beide bijektiv, stetig und monoton sind, existiert auch jeweils eine Umkehrfunktion. Wie sieht eine solche Umkehrfunktion aus?

Die Umkehrfunktion des hyperbolischen Cosinus, Area cosinus hyperbolicus: Dazu benützen wir die bereits besprochene Identität, lösen nach A auf und versuchen A als Funktion von x darzustellen!

             x = (1/2)*(eA + e-A)

             0 = (eA - 2x + e-A)

Wir multiplizieren mit eA und betrachten von nun an eA als unsere Recheneinheit. Damit gewinnen wir eine quadratische Gleichung in unserer Recheneinheit eA, welche nach einer bekannten Formel leicht zu lösen ist:

             0 = e2A - 2xeA + 1

             eA1.2 = x +/- Sqrt(x²-1)

Damit eA reell ist, muss x (jetzt unser Argument) immer größer oder gleich 1 sein. Andernfalls wird der Ausdruck unter der Quadratwurzel negativ. Das stimmt mit unseren bisherigen Ausführungen überein, da die hyperbolische Cosinusfunktion ihre Argumente tatsächlich auf dem Intervall [1,unendlich) abbildet. Daher wird auch die Umkehrfunktion, welche wir jetzt suchen, beim Argument x genau diese Einschränkung erfahren!

Letztlich wollen wir keinen Ausdruck für eA , sondern einen für A. Dazu logarithmieren wir auf beiden Seiten. Da x größer oder gleich 1 ist, ist die rechte Seite immer größer als Null und kann daher logarithmiert werden. eA ist für reelle A sowieso immer größer als Null. Aufgrund der Rechenregeln für Logarithmen gilt ln(eA) = A , mithin erhalten wir

             A = ln [ x +/- Sqrt(x²-1) ]

In der Gleichung haben wir noch immer "+/-" stehen. Welche der beiden Lösungen ist denn nun die rechte?? Wir definieren nun A in Abhängigkeit von x als die Umkehrfunktion des hyperbolischen Cosinus, den Area cosinus hyperbolicus, abgekürzt Arcosh[x] (wir nehmen das "+"). In einem späteren Kapitel wird dann auf die mögliche geometrische Deutung von A als Fläche eingegangen. Aufgrund dieser Assoziation mit einer Fläche werden die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen als Areafunktionen bezeichnet (das Analogon bei den Winkelfunktionen erhalten wir in Gestalt der Arcusfunktionen).

             A = arcosh[x] = ln [ x + Sqrt(x²-1) ]

Bemerkung: Wir haben in den obigen Ausführungen, nahezu kommentarlos, die andere Lösung für A, nämlich A = ln [ x - Sqrt(x²-1) ] weggelassen. Für diese, andere, Lösung wäre der zu logarithmierende Ausdruck für ein beliebiges x aus der Definitionsmenge zwischen Null und Eins. Der Logarithmus einer solchen Zahl ist dann sicher negativ. Eine kleine Rechnung (siehe hiezu eine der Aufgaben) zeigt, dass sich die beiden Lösungen für A nur um das Vorzeichen unterscheiden.

Umkehrfunktion des hyperbolischen Sinus, Area sinus hyperbolicus: Der hyperbolische Sinus wird als y-Koordinate der Einheitshyperbel identifiziert. Mit dem Gleichsetzen von y mit der Definition des hyperbolischen Sinus erhalten wir eine Gleichung, in der y von A abhängig ist. Wir interessieren uns für die Umkehrfunktionen, also für A in Abhängigkeit von y. Der Algorithmus ist der selbe wie vorher, beim Arcosh[x]:

             y = (1/2)*(eA - e-A)

             0 = eA -2y - e-A)

             0 = e2A -2yeA - 1

             eA1.2 = y +/- Sqrt(y²+1)

Da A reell sein soll, muß die rechte Seite größer als Null sein. Daher kommt nur eine der beiden Lösungen, y + Sqrt(y²+1), in Frage. Nach dem Logarithmieren erhalten wir den Ausdruck für A, welchen wir als Area Sinus hyperbolicus (Arsinh[y]) definieren.

             A = Arsinh[y] = ln [ y + Sqrt(y²+1) ]

Umkehrfunktion des hyperbolischen Tangens, Area tangens hyperbolicus: Wir definieren t=tanh[A] und setzen die Definition für den hyperbolischen Tangens ein. Die so erhaltene Funktion t(A) wird umgeformt. sodass wir die Umkehrfunktion A(t) erhalten. Diese Umkehrfunktion wird als Area tangens hyperbolicus definiert:

             A = artanh[t] = (1/2) * ln [(1+t)/(1-t)]

Aufgabe: Zeige, dass
ln [ x + Sqrt(x²-1) ] - ln [ x - Sqrt(x²-1) ] = 0
gilt!



Weiter geht's: Differentiation und Integration der Hyperbelfunktionen




H 5. Differentiation der hyperbolischen
Funktionen und ihrer Umkehrfunktionen


Cosh[A] und sinh[A]: Die Ableitungen (und auch die Integrale) dieser beiden Hyperbelfunktionen sind äußerst einfach, leicht zu merken und auch rasch nachzuvollziehen, wenn man die Definitionen für die beiden Hyperbelfunktionen kennt. Demnach lauten die Ableitungen

             (cosh[A])' = sinh[A]

             (sinh[A])' = cosh[A]

Für den hyperbolischen Cosinus zeigen wir anhand der nachstehenden Rechnung, wie wir die Ableitung erhalten.

             [ Cosh[A] ]' = [(1/2)*(eA + e-A)]' = [(1/2)*(eA - e-A)] = Sinh[A]

Bei den Hyperbelfunktionen erreichen wir bereits nach zweimaligem Differenzieren die ursprüngliche Funktion. Man kann dafür f''(A)=f(A) schreiben. Die Funktionen Cosh[A] und Sinh[A] erfüllen diese Gleichung.

             cosh[A]'' = cosh[A]
             sinh[A]'' = sinh[A]

Ableitung für den hyperbolischen Tangens: Wir benützen, dass tanh[A] = sinh[A]/cosh[A] und erhalten so einen Ausdruck, den wir nach der Quotientenregel ableiten können. Für den Zähler der Ableitung gilt dann die Gleichung der Einheitshyperbel, cosh²[A]-sinh²[A]=1, welche den Zähler vereinfacht.

             [tanh[A]]' = [sinh[A]/cosh[A]]' = (cosh²[A]-sinh²[A])/cosh²A = 1/cosh²[A]

Die Ableitungen der Areafunktionen, arcosh[x] und arsinh[y]: Um die Ableitung für die Umkehrfunktionen auszurechnen, benützen wir einen Satz aus der Theorie der Differentialrechnung: Für eine Funktion, die im betrachteten Intervall stetig und streng monoton ist und deren Ableitung immer ungleich Null ist, gilt f -1 '(z)=1/f'(f -1 (z)). Mit Hilfe dieses Satzes kann die Ableitung einer Funktion ermittelt werden, wenn man die Ableitung der Umkehrfunktion kennt.

Angewandt auf den Area Cosinus Hyperbolicus bedeutet das (beachte unsere Notation: x = cosh[A], A = arcosh[x]) zunächst

             [arcosh[x]]' = 1/[cosh[A]'] = 1/[sinh[A]]

Nachdem wir mit arcosh[x] angefangen haben, wollen wir auch die Ableitung natürlich als Funktion von der Variablen x dargestellt haben. Da sinh[A]=y und weil für die Einheitshyperbel gilt, dass x²-y²=1 ist, setzen wir fort

             1/sinh[A] = 1/y = 1/[Sqrt(x²-1)]

Wir haben gezeigt

             (arcosh[x])' = 1/[Sqrt(x²-1)]

Eine alternative Möglichkeit wäre auch, einen Ausdruck für die Umkehrfunktion (aus H4), arcosh[x] = ln [ x + Sqrt(x²-1) ], zu übernehmen und nach x abzuleiten. Dazu reichen Kenntnisse über die Ableitung des Logarithmus und die Wurzelfunktion aus.

Für die Funktion (arsinh[A])' erhalten wir

             (arsinh[y])' = 1/[Sqrt(y²+1)]

Ableitung des Area Tangens hyperbolicus: Diese Differentiation führen wir nun anhand der alternativen Methode durch, indem wir den entsprechenden Ausdruck des artanh[t] aus dem Kapitel mit den Umkehrfunktionen benützen

             (artanh[t])' = [ (1/2) * ln ((1+t)/(1-t)) ]' = (1/2) * (1-t)/(1+t) * [(1-t+1+t)/(1-t)²] = 1/(1-t²)


H 6. Integration der hyperbolischen Funktionen und ihrer Umkehrfunktionen


Die Integrale von Cosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus: Wir verwenden den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, demnach gilt

             ò cosh[A]dA = sinh[A]

             ò sinh[A]dA = cosh[A]

 Integral des hyperbolischen Tangens: Diese Berechnung setzt bereits Kenntnisse aus der Integration mit Substitution voraus. Wir setzen tanh[A] = sinh[A]/cosh[A] und integrieren diesen Bruch. Im Zähler des Bruchs steht die Ableitung des Nenners, also wenden wir eine Substitution an (in mancher Literatur wird es als eigene Rechenregel bezeichnet, dass ò[f'(x)/f(x)]dx=ln[f(x)] gilt).

             ò tanh[A]dA = ò[sinh[A]/cosh[A]]dA = ò(1/u)du = ln[u] = ln[cosh[A]]

 Wir überlassen es dem Leser, zur Probe von ln[cosh[A]] die Ableitung zu bilden!

Die Integration der Areafunktionen: Um die Areafunktionen zu integrieren, müssen wir bereits etwas tiefer in die Trickkiste der Mathematik greifen. Zunächst erinnern wir uns daran, dass wir von den Areafunktionen die Ableitungen bereits kennen. Dann integrieren wir partiell und wenden dabei einen Kunstgriff an:

Das Integral vom Area Cosinus hyperbolicus: Um partiell zu integrieren, benötigen wir zwei Faktoren, wir interpretieren arcosh[x] als 1*arcosh[x]! Dann wird, entsprechend der Rechenregel für partielle Integration ( òf'g = fg - òfg' ) 1 integriert, was uns nicht allzu schwer fallen sollte, und arcosh[x] wird differenziert:

             ò arcosh[x]dx = ò 1*arcosh[x]dx = x*arcosh[x] - ò [x*1/[Sqrt(x²-1)]]dx

Haben wir nun wirklich etwas gewonnen? Wir haben neuerlich ein Integral erhalten, das nicht auf Anhieb sondern eher mit einer speziellen Methode gelöst werden kann: Wir wenden nun wieder eine Substitution an: Der Ausdruck unter der Wurzel, x²-1 wird substituiert. Dann gelangt die innere Ableitung, 2x, in den Nenner. x kommt als Faktor im Zähler und im Nenner vor und kann gekürzt werden....

             ò [x*1/[Sqrt(x²-1)]]dx = ò 1/(2*Sqrt(u)) du = Sqrt(u) = Sqrt(x²-1)

Damit lautet das Integral

             ò arcosh[x]dx = x*arcosh[x] - Sqrt(x²-1)

Mit dem selben Algorithmus erhalten wir die Integrale für die beiden anderen Hyperbelfunktionen:

             òarsinh[y]dy = y*arsinh[y] - Sqrt(y²+1)

             òartanh[t]dt = t*artanh[t] + (1/2)*ln(1-t²)

Bemerkungen: Die Betragsstriche bei den logarithmischen Ausdrücken können unterbleiben. Das Integral vom Tangens hyperbolicus ist der natürliche Logarithmus des Cosinus hyperbolicus, der Cosinus hyperbolicus nimmt nur positive Werte an. Bezugnehmend auf das Integral des Area Tangens hyperbolicus wissen wir, dass der Tangens hyperbolicus tanh[A]=t nur Werte im Intervall (-1,1) annimmt.

Nachstehend werden die Ableitungen und Integrale der hyperbolischen Funktionen und der Areafunktionen in einer Tabelle zusammengestellt!

FunktionAbleitungIntegral
x=cosh[A]sinh[A]sinh[A]
y=sinh[A]cosh[A]cosh[A]
t=tanh[A]1/cosh²[A]ln[cosh[A]]
A=arcosh[x]1/[Sqrt(x²-1)] x*arcosh[x] - Sqrt(x²-1)
A=arsinh[y]1/[Sqrt(y²+1)]y*arsinh[y] - Sqrt(y²+1)
A=artanh[t]1/(1-t²)t*artanh[t] + (1/2)*ln(1-t²)



H 7. Der Parameter "A"
-
geometrische Deutung als doppelter Hyperbelsektor



In diesem Text wird diskutiert, dass der Parameter "A" als die Fläche des doppelten Hyperbelsektors geometrisch gedeutet werden kann. Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass eine solche anschauliche Deutung möglich ist. Jedoch soll das keineswegs bedeuten, dass der Parameter "A" ausschließlich als eine derartige Fläche aufzufassen ist. Beispielsweise kann "A" auch als die Zeit "t" interpretiert werden, in welcher ein Punkt, ausgehend vom Scheitel (1/0), entlang der Hyperbel im ersten Quadranten wandert. Zur Zeit t nimmt der Punkt dann die Koordinaten (cosh[t]/sinh[t]) an.....

Der doppelte Hyperbelsektor ist jene Fläche, die von zwei Geraden und einem Stück der Hyperbel begrenzt wird. Dazu sei P(x/y)=(cosh[A]/sinh[A] ein bestimmter Punkt im ersten Quadranten und Q(x/-y)=(cosh[A]/-sinh[A]] der an der x-Achse gespiegelte Punkt von P, im vierten Quadranten. Die erste Gerade geht vom Ursprung zum Punkt P, die zweite vom Ursprung zum Punkt Q, der Teil der Hyperbel ist jener, welcher sich zwischen P und Q befindet. Der doppelte Hyperbelsektor ist somit axialsymmetrisch bezüglich der x-Achse.

Die Fläche des doppelten Hyperbelsektor ist jene Fläche des Dreiecks, welches der Ursprung U(0/0), P und Q bilden weniger der Fläche die innerhalb der Hyperbel im ersten und vierten Quadranten liegt. Für die Einheitshyperbel gilt x²-y²=1, wir nehmen y=Sqrt(x²-1), bezeichnen die Fläche die wir suchen mit "H" und setzen an

             H = xy - 2ò 1 x y(x)dx

             H = x*(Sqrt(x²-1)) - 2ò 1 p (Sqrt(x²-1))dx

Von nun an betrachten wir x als die unabhängige Variable. Ein x, größer als 1, sei frei wählbar, dieses x nennen wir p. Die anderen beteiligten Größen, y bzw. A ,hängen von x ab. Die Abhängigkeit y(x) ist mit der Gleichung für die Einheitshyperbel dokumentiert. Die Abhängigkeit A(x) ist mit der Umkehrfunktion des Cosinus hyperbolicus definiert (siehe Kapitel H 4).

Bei der Flächenberechnung des Dreiecks sind keine Probleme zu erwarten. Für die Flächenberechnung des Integrals müssen wir schon etwas tiefer in die Trickkiste der Mathematik greifen! Wir betrachten daher zunächst nur die Flächenberechnung des Integrals.

Um den Ausdruck zu integrieren, führen wir eine Substitution durch. Dabei setzen wir x=coshA, schließlich haben wir x ja auch immer so aufgefasst! Wenn x=coshA, so folgt daraus, dass dx/dA=sinhA und somit dx=sinh[A]dA. Wir müssen bei der Substitution den Ausdruck dx auch ersetzen und erhalten so unter dem Integral eine Funktion in Abhängigkeit von A, die auch nach A zu integrieren ist!

Die Grenzen: Das ursprüngliche Integral war in Abhängigkeit von x, also mit "x-Grenzen" zu integrieren. Das neue Integral wäre in Abhängigkeit von A, also mit "A-Grenzen" zu integrieren. Wir merken uns das und führen am Ende der Rechnung eine Rücksubstitution durch, sodass wir dann die Lösung mit den x-Grenzen betrachten können. Alternativ dazu könnten wir auch die Grenzen mit substituieren. A ist in Abhängigkeit von x der Arcosh[x]. Für die linke Grenze, 1, erhalten wir Arcosh[1]=0 (es empfiehlt sich, das auch mit dem logarithmischen Term für den Arcosh[x], siehe H.4, nachzuvollziehen), für die rechte Grenze erhalten wir arcosh[p]! Ziel unserer Rechnung ist es nur, zu beweisen, dass die Fläche des Hyperbelsektors H identisch mit dem Parameter A ist!

             Substitution: x=coshA, dx=sinh[A]dA

             H = ò (Sqrt(cosh²A-1)*sinhA)dA

Jetzt benützen wir, dass für die Einheitshyperbel cosh²A-sinh²A=1 gilt und erhalten so

             H = ò (sinhA*sinhA)dA

Dann setzen wir die Definition für den hyperbolischen Sinus ein, erhalten Exponentialfunktionen und integrieren diese

             H = ò (sinh²A)dA = ò [(1/2)*(eA - e-A]²dA =

             ò [(1/4)*(e2A - 2eAe-A +e-2A)]dA = ò [(1/4)*(e2A - 2 +e-2A)]dA =

             (1/4)*[(1/2)*(e2A - e-2A) -2] = (1/4)*[(1/2)*(eA + e-A)*(eA - e-A) -2] =

             (1/2)*[(1/2)*(eA + e-A)*(1/2)*(eA - e-A) -2] =

An dieser Stelle gibt es mehrere Möglichkeiten weiter zu machen und die Rechnung abzuschließen: Wir führen die Rücksubstitutionen durch und setzen wieder coshA und sinhA ein, sodann x und y!

             = (1/2)*[coshA*sinhA - A] = (1/2)*[xy - A]

 Damit ist das Integral für ein A berechnet, x und y hängen (bedingt durch cosh[A] und sinh[A]) nur von A ab. Wenn wir die Lösung des Integrals in den obigen Ansatz, der Fläche für den doppelten Hyperbelsektor einsetzen, erhalten wir

             H = xy - 2ò 1 x y(x)dx = H = xy - 2* (1/2)*[xy - A] = A

 Damit ist gezeigt, dass die Fläche des doppelten Hyperbelsektors unser Parameter A ist. Die beiden Areafunktionen Arcosh[x] und Arsinh[y] drücken A in Abhängigkeit von x oder y aus!

Weiter geht's; ......schon etwas anspruchsvoller!




H 8. Eulersche Formel,
eiT = cos[T] + i*sin[T]


In diesem Abschnitt wird eine einfache Herleitung der Formel des Euler gezeigt. Mit dieser Formel werden dann im nächsten Abschnitt die Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen und den hyperbolischen Funktionen diskutiert!

Bekanntlich können in der Gauß-schen Zahlenebene die komplexen Zahlen im Allgemeinen auch in der Form r*(cos[T]+i*sin[T]) beschrieben werden. In dieser Form ist r der Betrag der komplexen Zahl (der Abstand vom Ursprung). T kann als Winkel gedeutet werden, den der "Zeiger" (vom Ursprung zur Zahl) mit der positiven Realachse einschließt. Jene komplexen Zahlen welche am Bogen des Einheitskreises liegen haben trivialerweise den Betrag 1, sie können daher mit (cos[T] + isin[T]) beschrieben werden. Nun definieren wir eine von der Variablen T abhängige Funktion u(T) wie folgt:

             u(T) = cos[T] + isin[T]

Sodann leiten wir diese Funktion ab.

             u'(T) = -sin[T] + icos[T]

Andererseits erhalten wir, wenn wir u mit der imaginären Einheit, i, multiplizieren einen weiteren Ausdruck für -sin[T]+icos[T].

             iu(T) = icos[T] + i²sin[T] = -sin[T] + icos[T]

Wenn wir die beiden letzten Resultate gleichsetzen, so erhalten wir eine Differentialgleichung:

             u'(T) = i*u(T)

Aus Sicht dieser Differentialgleichung ist u eine Funktion, welche im Wesentlichen sich selbst als Ableitung hat. Es kommt beim Ableiten nur der Faktor i dazu. Wenn wir uns auf Basis dieser Informationen überlegen, wie u(T) ausschauen könnte, so kommt nur die Exponentialfunktion mit iT im Exponenten in Frage, also eiT, denn

             [eiT]' = i*eiT

eiT kann also als Lösung u(T) der Differentialgleichung u'(T) = u(T) aufgefasst werden. Ohne Beweis sei angeführt, dass diese Lösung u(T)=eiA die einzige Lösung der Differentialgleichung u'(T)=iu(T), wenn wir zusätzlich noch die Anfangsbedingung u(0)=1 fordern! Nun dürfen wir auch u(T)=cos[T]+isin[T], was wir eingangs definiert hatten der Lösung aus der Differentialgleichung gleichsetzen und erhalten somit die Eulersche Formel

             eiT = cos[T] + isin[T]

Alternativ kann die Euler-Formal auch mit Reihenentwicklung bewiesen werden.


H 9. Zusammenhänge zwischen den hyperbolischen und den Winkelfunktionen


Wir haben im vorigen Anschnitt, H 8, die Euler-Formel, eiT = cos(T) + i*sin(T), und deren Herleitung gezeigt. Wenn wir in diese Formel statt dem Argument T nun -T als Argument setzen, so erhalten wir:

             e-iT = cos(-T) + i*sin(-T) = cosT - i*sinT

Bei der letzten Umformung haben wir benützt, dass die Cosinusfunktion eine gerade Funktion und die Sinusfunktion eine ungerade Funktion ist. Wenn man den so gewonnenen Term für e-iT und jenen für eiT addiert, erhalten wir

             eiT + e-iT = 2*cos[T]

             (1/2)*(eiT + e-iT) = cos[T]

Der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung sieht aus wie ein hyperbolischer Cosinus, allerdings ist das Argument jetzt imaginär und lautet iA. Zwar haben wir in die einzelnen Texte über die Hyperbelfunktionen immer wieder Intuition und Anschaulichkeit einfließen lassen. Argumente und Funktionswerte der Hyperbelfunktionen haben wir gedanklich wohl immer mit reellen Zahlen assoziiert. Dennoch: Wir sind von der Exponentialfunktion ausgegangen: Von da an haben wir bei den Herleitungen und Beweisführungen tatsächlich nur Axiome benützt, welche nicht nur für reelle, sondern auch für komplexe Zahlen, gelten. Wenn wir nun davon ausgehen, dass die Exponentialfunktion auch für beliebige komplexe Argumente sinnvoll definiert ist, können wir daher auch die Hyperbelfunktionen für komplexe Argumente und Funktionswerte zulassen (die Funktionen werden also ins "Komplexe" erweitert). Zunächst sei ohne Beweis angeführt, dass die Winkelfunktionen genau so in die Welt der komplexen Zahlen erweitert werden können. Wir meinen jetzt nicht, dass wir eine Formel, wie etwa eiT=cos[T]+isin[T] kennen, sondern, dass wir ab jetzt Winkelfunktionen auch mit komplexen Argumenten und damit auch mit komplexen Funktionswerten betrachten werden (siehe hiezu die Ausführungen im nächsten Kapitel). Nachdem wir nun die Hyperbelfunktionen für komplexe Argumente zugelassen haben und keine Widersprüche befürchten müssen, betrachten wir iT als unsere Recheneinheit und setzen in die Definition des hyperbolischen Cosinus ein, auf der rechten Seite verbleibt die Cosinusfunktion des Einheitskreises (T sei reell, diese Einschränkung ist jedoch nicht notwendig):

             (1/2)*(eiT + e-iT) = cosh[iT] = cos[T]

Damit ist ein Zusammenhang zwischen den beiden Cosinusfunktionen hergestellt. Subtrahiert man die zwei Exponentialfunktionen erhält man einen Term für die Sinusfunktion

             (1/2)*(eiT - e-iT) = i*sin[T]

             sinh[iT] = i*sin[T]

Der Leser möge sich überlegen, wie man die nachstehen angeführte Beziehung zwischen dem hyperbolischen Tangens und dem des Kreises zeigen kann:

             tanh[iT] = i*tanh[T]

Möchte man jedoch in der hyperbolischen Funktion ein reelles Argument benützen, so setzt man einfach iT=A. Wir zeigen diese Rechnung anhand des hyperbolischen Cosinus (beachte: i²=-1):

             cosh[iT] = cos[T]

             cosh[A] = cos[A/i] = cos[iA/i²] = cos[Ai/(-1)] = cos[-iA] = cos[iA]

Wieso kommen wir, wenn wir nach einem Zusammenhang zwischen den hyperbolischen Funktionen und denen des Kreises suchen, nicht ohne komplexe Zahlen aus? Eine Antwort dazu liefert das nächste Kapitel.


Hyperbelfunktionen für Erwachsene, Potenzreihen und Kettenlinie




H 10. Philosophien über den Einheitskreis
und seiner imaginären Schwester,
der Einheitshyperbel


In diesem Abschnitt wird kurz darüber diskutiert, wie weit Argumente in trigonometrische bzw. hyperbolischen Funktionen sinnvoll gewählt bzw. nach entsprechender Wahl (geometrisch) gedeutet werden können. Dann wird kurz auf die charakteristische Gestalt einer Potenzreihe im allgemeinen und im speziellen auf die Potenzreihe der Exponentialfunktion mit komplexem Argument eingegangen. Hat man dieses Werkzeug einmal zur Verfügung, so sind die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen darin als Spezialfälle enthalten und bringen daher (von der optisch anders lautenden Beschreibung, Sinus und Cosinus, abgesehen) nichts Neues.

Was ist ein rechter Winkel? Manche ordnen dem rechten Winkel willkürlich eine Zahl mit einer Einheit, also etwa 90° oder 100 Neugrad zu. Andere verstehen unter dem Winkel die zugehörige Bogenlänge des Einheitskreises. Zwar ist der Einheitskreis ein besonderer Kreis, die Identifikation des Winkels mit der Bogenlänge wirkt dennoch auch willkürlich - auf den ersten Blick. Immerhin haben wir damit noch eine geometrische Deutung als Zugabe. Diese Identifikation eines Winkels mit der zugehörigen Bogenlänge des Winkel am Einheitskreis bringt einige Vorteile mit sich: So sind in einer nahen Umgebung um Null die Bogenlänge und der zugehörige Sinuswert nahezu gleich lang. Dennoch: Hatten wir wirklich die beste Wahl getroffen?

Hyperbelfunktionen: Die Hyperbelfunktionen hatten wir mit Exponentialfunktionen definiert. Damit hatten wir auch die Variable, die wir A nannten, von den Exponentialfunktionen übernommen und hatten sonst nichts mehr zu tun. Darüber hinaus haben wir noch eine sinnvolle geometrische Deutung für diese Variable gezeigt.

Im Rahmen dieser Texte haben wir die Hyperbelfunktionen vorwiegend mit reellen Argumenten untersucht. Die trigonometrischen Funktionen werden in einer einführenden Literatur zumeist ebenfalls nur mit reellen Argumenten und Funktionswerten betrachtet. Wenn alles reell sein soll, wieso zum Donnerwetter kann dann auf einmal

cosh[A] = cos[iA]


gelten??

Betrachten wir einmal ein Polynom n-ten Grades

p(x) = a0 + a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4.......



Dieses Polynom ist "(n+1)-mal" differenzierbar. Wenn wir von all diesen Ableitungen nun die k-te Ableitung an der Stelle 0 berechnen, so erhalten wir:

             p(k)(0) = k!*ak

             ak = pk(0)/(k!)

Die Koeffizienten des Polynoms können also auf eine alternative Art dargestellt werden. Wenn wir das für alle n Ableitungen machen und die Ausdrücke für die ak ersetzen, so erhalten wir folgende Darstellung des Polynoms:

p(x) = p(0) + p'(0)*x + p''(0)*x2/(2) + p'''(0)*x3/(3!) + p''''(0)*x4/(4!) + .....



Diese Darstellung ist für eine Polynomfunktion exakt. Ohne Beweis sei angeführt, dass x dabei ein beliebiges komplexes Argument sein darf. Darüber hinaus kann diese Darstellung auch für einige transzendente Funktionen die unendlich oft differenzierbar sind, etwa eA, angewandt werden. Für die Exponentialfunktion erhalten wir eine unendliche Reihe, die für alle (komplexen) A konvergent ist (Der Konvergenzradius ist daher "Unendlich"). Die Ableitung von eA lautet immer eA, die Ableitung an der Stelle Null lautet immer 1! Die Potenzreihe für die Exponentialfunktion eA lautet daher

eA = 1 + A + A2/2 + A3/(3!) + A4/(4!) + ...



Als kurze Aufgabe empfehlen wir dem Leser die Potenzreihe der Exponentialfunktion (mit unendlich vielen Summanden) einmal abzuleiten und sich davon zu überzeugen, dass diese Ableitung wieder die selbe Potenzreihe ergibt! Die Konvergenz der Exponentialfunktion ist mit dem Quotientenkriterium leicht zu überprüfen (die Koeffizienten gehen rasch genug gegen Null, sodass die Potenzfunktion xn salopp formuliert nicht mehr viel Schaden anrichtet, die Potenzreihe konvergiert für alle x und stimmt mit dem entsprechenden Funktionswert der Exponentialfunktion überein).

Nun setzen wir in die obige Potenzreihe der Exponentialfunktion "-A" ein, dann erhalten wir

e-A = 1 - A + A2/2 - A3/(3!) + A4/(4!) - + A5/(5!) + - ...



Wenn wir nun die Reihenentwicklung für eA und jene für e-A addieren (Für unsere Vorstellung sei A nun reell, diese Einschränkung ist jedoch nicht notwendig), fallen die ungeraden Potenzen weg, die geraden erhalten wir doppelt. Division durch zwei auf beiden Seiten bringt dann schließlich folgendes Resultat:

(1/2)*(eA + e-A) = 1 + A2/2 + A4/(4!) + A6/(6!) + ....



Der Ausdruck auf der rechten Seite sollte uns bekannt vorkommen: Es ist die Definition des hyperbolischen Cosinus, mithin haben wir auf der linken Seite die Reihenentwicklung des hyperbolischem Cosinus. Wir empfehlen dem Leser zu überprüfen, ob die Reihenentwicklung mit den bereits festgestellten Eigenschaften des hyperbolischen Cosinus hinsichtlich Stetigkeit und Ableitung übereinstimmt. Mit dem nämlichen Algorithmus erhalten wir die Potenzreihe für den hyperbolischen Sinus (dem Leser empfehlen wir, die Zwischenschritte nachzuvollziehen)

(1/2)*(eA - e-A) = A + A3/(3!) + A5/(5!) + A7/(7!) + ....



Wir haben bereits festgehalten, dass die Potenzreihe der Exponentialfunktion für beliebige komplexe Argumente gilt. Das nützen wir nun aus und betrachten nun Reihenentwicklung mit imaginären Argumenten, die Reihenentwicklung für eiT und jene für e-iT wobei wir uns T reell vorstellen (diese Einschränkung ist jedoch, wie bei "A", nicht notwendig) und i die imaginäre Einheit ist, für welche i2=-1 gilt. Die Reihenentwicklungen lauten

eiT = 1 + iT -T2/2 - iT3/(3!) +T4/(4!) + iT5/(5!) - T6/6!) + - ......

e-iT = 1 - iT -T2/2 + iT3/(3!) + T4/(4!) - iT5/(5!) - T6/6!) ......



Beachte: Da i2=i6=i10=i14=...-1 und i3=i7=i11=i15=...-i gilt werden in der Reihenentwicklung für eiT die Potenzen vom Grade 2,3; 6,7; 10,11; 14,15; .,... negativ. Bei der Reihenentwicklung für e-iT kommt im Vergleich zur anderen Reihe bei den ungeradzahligen Potenzen noch ein weiteres "Minus" hinzu, sodass die Reihenentwicklung obige Gestalt schließlich annimmt - nicht abschrecken lassen!

Aufmerksame Leser werden den nächsten Schritt schon ahnen: Wir addieren die beiden Potenzreihen für eiT, e-iT und dividieren das Resultat durch 2. Dabei fallen wieder die Potenzen mit ungerader Hochzahl und mit ihnen auch alle imaginären Größen weg. Für relle T kann diese Potenzreihe also ausschließlich im Reellen betrachtet werden.

(1/2)*(eiT + e-iT) = 1 - T2/2 + T4/(4!) - T6/(6!) + - ....



Nun subtrahieren wir die Potenzreihe e-iT) von e-iT) und multiplizieren mit(-i/2). Damit erhalten wir auf der rechten Seite neuerlich eine Potenzreihe (welche nur Potenzen mit ungeraden Zahlen enthält), die für reelle T auch einen reellen Funktionswert ergibt.

(-i/2)*(eiT - e-iT) = T - T3/(3!) + T5/(5!) - T7/(7!) + - ....



Betrachten wir einmal nur die Reihenentwicklungen der beiden letzten Reihen (also jeweils die rechten Seiten), unabhängig von ihrer Herkunft. Ausgehend von diesen Reihenentwicklungen können die Winkelfunktionen Cosinus und Sinus exakt auf Basis dieser beiden Potenzreihen definiert werden!
Cos[T]: = 1 - T2/2 + T4/(4!) - T6/(6!) + - ....

Sin[T]: = T - T3/(3!) + T5/(5!) - T7/(7!) + - ....


Sämtliche Eigenschaften die wir von den Winkelfunktionen kennen (reelle Funktionen, Stetigkeit, Gerade und ungerade Funktion, Erstes Additionstheorem, nahe Null sind Argument und Funktionswert der Sinusfunktion nahezu gleich, die Cosinusfunktion nimmt an der Stelle Null den Wert 1 an; Ableitungen...), stimmen mit dieser Definition mittels Potenzreihen überein. Für eine ausführlichere Untersuchung dieses Themas sei das Lehrbuch der Analysis von Harro Heuser (Teil 1; 48 Differentiation elementarer Funktionen, 67 Existenz der Winkelfunktionen, 68 Potenzreihen im Komplexen; 12. Auflage, B.G.Teubner, Stuttgart 1998) empfohlen.

Periodizität der Winkelfunktionen Cosinus und Sinus Im Gegensatz zu den hyperbolischen Funktionen weisen die Potenreihen der trigonometrischen Funktionen auch negative Terme auf (die sich mit den positiven Termen jeweils abwechseln). Deswegen und weil die höheren Potenzenen aufgrund ihrer niederen Koeffizienten erst nach einiger Zeit wirksam werden, tritt bei den (unendlichen) Potenzreihen der Winkelfunktionen Periodizität auf.

Die hyperbolischen Funktionen sind von der Geburt an exakt, wenn die Exponentialfunktionen zur Verfügung steht. Um die Winkelfunktionen ebenso mit einem derartig exakten Fundament auszustatten benötigen wir die Exponentialfunktion, zugelassen für komplexe Argumente um damit die entsprechenden Potenzreihen zu erhalten.

Eulersche Formel Mit der Potenzreihe für eiT kann auch die Eulersche Formel bewiesen werden: Hiezu werden die reellen und die imaginären Ausdrücke zusammengefasst, der Realteil ist dann bereits die Reihenentwicklung für den Cosinus, der Imaginärteil jene für den Sinus!

             eiT = 1 + iT -T2/2 - iT3/(3!) +T4/(4!) + iT5/(5!) - T6/6!) + - .....

             eiT = [1 - T2/2 + T4/(4!) - T6/(6!) + - .... ] + i*[T - T3/(3!) + T5/(5!) - T7/(7!) + - .... ]

             eiT = Cos[T] + i*Sin[T]

Aufgabe: Für die Winkelfunktionen gilt
             Sin[T+U]=Sin[T]*Cos[U]+Cos[T]*Sin[U]
Zeige dass für die Hyperbelfunktionen ebenfalls ein solcher Summensatz, der nachstehend angeführte, gilt!
             Sinh[A+B] = Sinh[A]*Cosh[B] + Cosh[A]*Sinh[B], gilt.
Lösungsmöglichkeiten: (der Text zur Lösung hebt sich vom Hintergrund nicht ab, kann jedoch mit "Markieren" ersichtlich gemacht werden!) Einsetzen in die Definition der Hyperbelfunktionen. Alternativ, aber umständlich, wäre das Ausmultiplizieren der beständig konvergenten Potenzreihen. Eine weitere, durchaus interessante Möglichkeit, besteht darin, die Hyperbelfunktionen mit den in H 9 bewiesenen Formeln in Winkelfunktionen umzuwandeln und den Summensatz für die Winkelfunktionen zu benützen (aber wie wird dann der Summensatz für die Winkelfunktionen bewiesen??).

Aufgabe: Zeige, das folgendes Additionstheorem für die hyperbolischen Funktionen gilt
             Cosh[A+B] = Cosh[A]*Cosh[B] - Sinh[A]*Sinh[B]
(Die Aufgabe kann genauso wie die vorhergehende Aufgabe gelöst werden)

Aufgabe: Zeichne (PC-unterstützt) die Graphen der Funktionen
             f[T] = 1 - T2/2 + T4/(4!) - T6/(6!) + T8/(8!) - T10/(10!)
sowie
             g[T] = T - T3/(3!) + T5/(5!) - T7/(7!) + T 9/(9!)
in einem gemeinsamen Koordinatensystem (wähle geeignete Quell- und Zielintervalle)!


H 11. Die Seilkurve (Kettenlinie)



" Die Seilkurve (Kettenlinie, Katenoide) ist die Kurve, die sich im Gleichgewicht einstellt, wenn die Endpunkte eines unelastischen, homogenen und vollkommen biegsamen Seiles von konstanten Querschnitt an zwei (nicht notwendig gleich hohen) Stellen im Schwerefeld befestigt sind und das Seil außer seinem eigenen Gewicht keinen anderen Belastungen unterworfen ist. " (Physikalisches Wörterbuch, Springer-Verlag, Herausgeber: W.H.Westphal, Berlin)

Das Seil liege nun in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem, die erste (waagrechte) Achse nennen wir A, die zweite Achse nennen wir x, x ist von A abhängig. Das Seil liege so im Koordinatensystem, dass sein Scheitelpunkt (der Tiefpunkt des frei durchhängenden Seiles) die A-Koordinate 0 (das fordern wir als Anfangsbedingung!) einnimmt. Wenn wir uns ein Seil in der zuvor geschilderten Art und Weise (idealisiert) vorstellen, dann gilt, dass die resultierende Kraft aus der Horizontalkraft H und der Vertikalkraft V an jeder Stelle des Seiles in Richtung des Seiles fällt. Für H und V gelten dann an einer beliebigen Stelle des Seiles

             V/H = dx/dA

             V = (dx/dA)*H

Unser Ziel ist es, eine Gleichung für x in Abhängigkeit von A zu finden. Wir versuchen also die einzelnen Größen soweit als möglich auf x und A zurückzuführen.

Eine infinitesimal kleine Vertikalkraft dV ist proportional zu V und zum zugehörigen infinitesimal kleinem dx. Daher gilt

             dV = V*dx

Einsetzen in den obigen Term für V liefert

             (dV/dx) = (dx/dA)*H

             dV = (d²x/dA)*H

Wovon hängt dV andererseits noch ab? dV hängt von der Gewichtskraft G des Seiles (je Längeneinheit) ab und wird, weil schon dV eine infinitesimal kleine Kraft ist, auf ein entsprechendes infinitesimal kurzes Stück des Seiles, mit der Bogenlänge ds bezogen!

             dV = G*ds

Einsetzen in den anderen Term für dV liefert              G*ds = (d²x/dA)*H

             ds = (d²x/dA)*(H/G)

H und G sind Materialkonstanten, der Quotient H/G wird gleich a gesetzt. Dann erweitern wir links und rechts mit 1/dA.

             ds/dA = (d²x/dA²)*a

Für ds/dA wenden wir die Formel für die Bogenlänge an, dann gilt (beachte: Das Bogenelement ds liegt in einem A-x-Koordinatensystem)

Sqrt[1+(dx/dA)²] = (d²x/dA²)*a

Beachte: Auf der linken Seite steht in der Notation mit den Differentialen das Quadrat der ersten Ableitung, auf der rechten Seite steht in der selben Notation die zweite Ableitung. Wir setzen unsere Ableitung x'=dx/dA gleich y und erhalten daher

             Sqrt[1+y²] = (y')*a

Wenn wir nun y' als dy/dA auffassen, so gilt weiters

             Sqrt[1+y²] = (dy/dA)*a

             (1/a)*dA = (1/Sqrt[1+y²])*dy

Um die Gleichung von den Differentialen zu befreien, können wir links und rechts integrieren! Der linke Integrand bereitet kein Problem. Der rechte Integrand könnte aufmerksamen Lesern bekannt vorkommen, es ist die Ableitung des Area sinus hyperbolicus. Somit erhalten wir aufgrund des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung

             (1/a)*A = arsinh[y]

Eigentlich wollten wir ja einen Term für x finden. Wir drücken y explizit aus und setzen dann noch x'=y (so haben wir y einige Schritte vorher definiert) ein.

             y = sinh[A/a]

             x' = sinh[A/a]

Wir haben am Anfang die Bedingung gefordert, dass die Seilkurve am Tiefpunkt des Seils die A-Koordinate Null erhalten soll. Das bedeutet, dass die Ableitung an dieser Stelle Null sein muss, also muss gelten x'(0)=0. Das ist in der obigen Gleichung mit A=0 bereits erfüllt. Es kommt keine additive Konstante hinzu. Wir können unbesorgt neuerlich integrieren und erhalten so die Gleichung für die Seilkurve.

             x = a*cosh[A/a]


Ob das die Spinne wohl jedes Mal nachrechnet, wenn ihre Spinnweben frei durchhängen??




[email protected]
E mail

Zur Netzseite von Thomas Anton Gobold




Impressum und Quellennachweis:
Projektarbeit im Rahmen des Computerpraktikums für LAK
Leiter der LV: Hermann Schichl (östlich der Donau auch "Herman")
Applets: Wolfgang Stranz, Weitere Aufgaben: Michaela Haag
Text und Inhaber dieser Netzseite: Thomas Anton Gobold (Text vom Juni 2003)
Netzadressen: http://www.geocities.com/lightvolcano/study/hyp.html sowie
http://www.mathe-online.at/materialien/Thomas/files/Hyperbel.html

Die Fotos und Skizzen stammen von der MA 29 (alte Wiener Reichsbrücke in Farbe) und MA 53 (alte Wiener Reichsbrücke), Universität Stuttgart (Funktionsgraphen in H2), Univ. München (Kreis- und Hyperbelsektoren in H 7), Experimente am Hardenberg-Gymnasium Fürth (Kettenlinie aus Bausteinen, H 11), Katholische Universität Eichstätt (alte Skizze von Leibnitz), Univ. Duisburg (Kette in H 11)

Dieses "ò" soll das Zeichen für ein Integral sein und wird nicht von allen Servern korrekt wieder gegeben!

1