LaunchModel

Версия 2.3

 

 

Общие сведения. 1

Модель. 1

Уравнения движения. 1

Модель среды. 2

Модель носителя. 2

Аэродинамика. 3

Программа работы (дросселирования) двигателей. 3

Инструкция по использованию.. 4

Носитель. 4

Масса и тяга. 4

Аэродинамика. 4

Работа двигателей и дросселирование. 5

Космодром и целевая орбита. 5

Результаты. 6

Управление. 6

Интервалы управления. 6

Кусочно-линейное управление. 7

Угол атаки + линейная. 7

Аэродинамическая модель (лобовое сопротивление) 8

Аэродинамическая модель (подъемная сила) 8

Ограничения. 8

О подборе свободных параметров. 9

Свободные параметры. 9

Параметры различных моделей управления. 10

Техника нахождения параметров. 10

Приложение А – Описание колонок 11

Страница Simulation. 11

Приложение B – FAQ. 12

 

Общие сведения

 

Модель предназначена для численного моделирования полета орбитального носителя от момента старта до выхода на орбиту. Модель реализована в Microsoft Excel.

 

Модель

Уравнения движения

 

Уравнения движения составляются в т.н. орбитальной системе координат (прямоугольной вращающейся системе координат, связанной с ракетой и центром Земли). С учетом центробежного и кориолисова ускорений, эти уравнения являются точными (в том смысле, что они точно учитывают эффекты, связанные с вращением системы координат, кривизной поверхности и пр.).

 

Базовые уравнения движения выглядят следующим образом:

 

где:

            a(t) – характеристическое ускорение

            r – расстояние до центра Земли

            m – масса ракеты

            q – угол тангажа

            R – аэродинамическая сила

 

Уравнения движения дискретизируются по простейшей схеме Эйлера.

 

Модель среды

 

Используется сферическая модель поверхности Земли. Гравитационное поле считается сферическим. Для точки старта скорость суточного вращения (в плоскости орбиты) расчитывается с учетом широты космодрома и наклонения орбиты. Принята стандартная (международная) модель атмосферы.

 

Принятые константы:

ускорение свободного падения (полярное):     9.83 м/с2

радиус Земли:                                                 6378 км

гравитационная постоянная Земли (m)             3.9893*1014

плотность воздуха на уровне моря:                 1.29 кг/м3

 

Модель носителя

 

Для каждой ступени носителя задаются следующие параметры:

полная масса (кг)

пустая масса (+масса газов наддува)* (кг)

удельный импульс на уровне моря (с)

удельный импульс в вакууме (с)

тяга (тс)

 

Кроме этого задаются:

масса полезной нагрузки (с)

масса обтекателя (кг) и время сброса обтекателя (с)

площади а-д сечения (м2) и а-д коэффициенты (см. раздел «Аэродинамика»)

 

Расход топлива считается постоянным (при отсутствии дросселирования – см. ниже). Тяга расчитывается из предположения, что уи линейно зависит от внешнего давления (изменяясь от уиатм до уивак).

 

(*) По мере опорожнения баков топлива и окислителя, для поддержания давления в баках, они должны заполняться т.н. газом наддува. Для разных ракет давление и химический состав газов наддува различны, иногда для наддува используются продукты сгорания. Но в любом случае, масса газов наддува может быть значительна и мы не можем ей пренебрегать. Масса газов наддува долна быть включена в массу пустой ступени.

 

Аэродинамика

 

В простейшем случае, лобовое а-д сопротивление определяется известной формулой:

 

Однако, при ненулевых углах атаки картина усложняется, появляется подъемная сила и т.д.

 

Задача точного определения а-д силы крайне сложна и для тел сложной формы обычно решается эксперементально (продувкой в а-д трубах). Решение представляется в виде экспериментальных таблиц или аппроксимирующих кривых.

 

Следующая модель обычно используется в качестве приближения. Она неплохо оценивает а-д силу при небольших (до ~15 градусов) углах атаки.

 

(*) Поскольку скорость ракеты достаточно велика, мы пренебрегаем вязким трением.

 

В скоростной (связанной с вектором скорости) системе координат:

где

a – угол атаки (угол между осью ракеты и вектором скорости)

 

 

Мы будем использовать тригонометрическое представление этой модели в связанной (с осями тела) системе координат:

где:

            RD, RL               - проекции а-д силы на оси тела (главную и нормальную)

            SD, SL               - характерные площади тела (мидель и нормалльная проекция)

 

(**) Обычно значения а-д коэффициентов приводятся к одной площади (крыла), но здесь мы будем использовать две разные площади: площадь миделева сечения (характерная площадь лобового сопротивления) и площадь нормальной проекции (характерная площадь подъемной силы).

 

Нетрудно убедиться, что оба представления идентичны с точностью до o(a2)

 

Программа работы (дросселирования) двигателей

 

Легко видеть, что при последовательной работе ступеней ракеты наиболее выгодным является режим, при котором двигатели всегда работают на полную мощность. Тогда потери на противодействие силе притяжения Земли (т.н. гравитационные потери) минимальны.

 

Однако, если, на каком-то участке полета, ступени (обычно первая и вторая) работают параллельно, то, как правило, оказывается более выгодным уменьшить расход топлива двигателей второй ступени (на этом участке полета). Уменьшение подачи топлива (и тяги) называется дросселированием.

 

Вопрос выбора оптимального дросселирования более подробно разобран здесь: «Оптимальное управление для орбитального носителя». В частности, показано, что при определенных допущениях, оптимальная программа тяги является ступенчатой и состоит из интервалов минимальной и максимальной тяги.

 

Спредшит позволяет задать произвольную ступенчатую программу управления тягой.

 

Инструкция по использованию

 

Спредшит состоит из нескольких страниц:

 

Main                - Главная страница. Содержит исходные данные и основные результаты

Simulation        - Дискретная симуляция. Каждая строчка содержит параметры системы в некоторый момент времени

Control            - Расчет нескольких программ управления (см. ниже). Каждая строчка содержит параметры управления в некоторый момент времени

Launchers       - Данные для некоторых реальных носителей

 

Начнем с главной страницы:

 

Носитель

Масса и тяга

 

Для каждой ступени, в соответствующей колонке (I, II, III, IV), задается полная (заправленная) масса ступени, пустая (сухая) масса*, удельный импульс двигателей (на уровне моря и в вакууме) и сила тяги в вакууме. Расход топлива вычисляется автоматически.

(*) Как было указано выше, сухая масса ступени должна включать в себя массу газов наддува.

 

Также, в соответствующих ячейках секции «Носитель», задается масса полезной нагрузки, масса головного обтекателя (если он есть) и момент отстрела обтекателя. Полная стартовая масса вычисляется автоматически.

 

Аэродинамика

 

Для каждой ступени*, в соответствующей колонке, задаются аэродинамические параметры:

– характерные площади сечений Sx (мидельного) и Sx (продольного)

- аэродинамические коэффициенты Cx (лобового сопротивления) и Cy (подъемной силы).

 

Заметим, что а/д коэффициенты Cx и Cy задаются для связанной системы координат. Выше, при описаниии аэродинамической модели они обозначались как CD и CL соответственно.

 

(*) Точнее говоря, а/д параметры задаются не для ступеней как таковых, а для всей ракеты на участке работы данной ступени. Так, в первой колонке мы задаем а/д параметры ракеты в стартовой конфигурации, во второй – параметры ракеты после отделения первой ступени, и т.д. Если параметры не заданы для какого-либо участка, то на этом участке они будут считаються равными нулю.

 

Работа двигателей и дросселирование

 

По умолчанию, двигатели следующей ступени включаются сразу после отделения предыдущей и работают на полную мощность.

 

Более сложную (ступенчатую) программу тяги можно задать в секции «Throttle».

 

Первая колонка содержит времена изменения тяги (в секундах). Эти значения определяют интервалы постоянной тяги.

 

Колонки, соответствующие ступеням, задают величину тяги (в процентах) данной ступени на данном интервале.

 

Примеры различных программ тяги можно посмотреть на странице «Launchers» - в частности, для носителей «Союз» и «Space Shuttle».

 

Отметим следующие детали:

 

Кроме того, если перечисленного все же недостаточно, существует возможность напрямую задать программу дросселирования, перепрограммировав колонки «Throttling» на странице «Simulation».

Космодром и целевая орбита

 

В секции «Spaceport» задаются географические параметры места старта (широта и высота над уровнем моря), которые влияют на начальное положение и скорость ракеты. Скорость суточного движения места старта вычисляется автоматически. Также задается начальная скорость и угол между вектором скорости и горизонтом.

 

В секции «Orbit» задаются параметры целевой орбиты: высоты апогея/перигея и наклонение орбиты. По этим данным автоматически вычисляются некоторые характерные параметры.

 

Данные в секции «Orbit» имеют, в основном, справочный характер и не влияют на расчет траектории - за одним исключением: наклонение орбиты вместе с широтой космодрома определяют т.н. азимут стрельбы (направление запуска ракеты). Это значение, в свою очередь, определяет степень, в которой суточное движение старта «помогает» запуску ракеты. Более точно, проекция суточной скорости старта на плоскость орбиты/стрельбы вычисляется в ячейке «Earth rotation velocity» секции «Orbit».

 

Результаты

 

В секции «System parameters» приводятся некоторые параметры системы в заданный момент времени t. Момент t задается произвольно, по умолчанию он совпадает с выключением двигателей последней ступени.

 

CV                   характеристическая скорость

V                      скорость

Vx                     горизонтальная скорость

Vy                     вертикальная скорость

H                      высота

stage               текущий номер ступени

CV reserve       текущий запас по ХС

mass                масса

pitch                тангаж

 

Секция «by stage» дает те же параметры в моменты выключения ступеней (моменты выключения вычисляются автоматически).

 

В секции «Orbit» приводятся некоторые параметры орбиты, достигнутой к моменту t (t берется из секции «System parameters»).

 

 

Управление

 

Управление ракетой осуществляется через изменение угла тангажа (угол между осью ракеты и горизонтом). Выбор оптимальной программы тангажа является достаточно сложным вопросом. Более подробно см. «Оптимальное управление для орбитального носителя».

 

Под «оптимальностью» управления мы здесь понимаем такое управление, которое выводит ракету на заданную высоту с максимальной горизонтальной скоростью и заданной (например, нулевой) вертикальной скоростью.

 

Спредшит поддерживает четыре различные модели управления:

 

Linear                          - Кусочно-линейная модель

AOA + Linear               - Угол атаки + линейная модель

A/d Drag                      - А/д модель (с учетом лобового сопротивениия)

A/d Drag+Lift               - A/d модель (с учетом подъемной силы)

 

Для выбора одной из моделей нужно поставить символ + рядом с ее названием (слева)  и убрать символ + у всех других моделей.

 

Подробное описание моделей управление дано ниже. Начинающим пользователям рекомендуется использовать самую простую (кусочно-линейную, с одним интервалом) программу управления.

 

Интервалы управления

 

Для того, чтобы задать ту или иную программу управления, нужно вначале задать один или несколько временных интервалов. На каждом из интервалов управление может иметь различные параметры (кусочное управление).

 

Для большинства случаев достаточно одного интервала (весь активный участок), однако возможность иметь несколько интервалов управления может быть полезна.

Задать разбиение на интервалы управления можно в ряду ti секции «Pitch program». В простейшем случае ряд содержит два значения: начало (t0=0) и конец (разный для каждой ракеты) активного участка.

 

Кусочно-линейное управление

 

На каждом интервале управления тангенс угла тангажа линейно зависит от времени. Таким образом, для описания управления достаточно задать значения угла тангажа q(ti) в секции «Программа тангажа/Линейная».

 

В простейшем случае, задается только один интервал управления, начальное и конечное значения угла тангажа. С учетом начального разворота по тангажу (см. выше), такая простая модель управления вполне удовлетворительно работает для большинства вертикально стартующих ракет.

 

Заметим также, что в вакууме линейная программа управления является оптимальной. Она часто используется на ступенях реальных ракет, начиная со второй. Как правило, использовать какую-либо другую программу управления имеет смысл только на атмосферном участке полета.

 

Также обратите внимание на то, что речь здесь идет о линейной зависимости не для угла тангажа, а для его тангенса.

 

Угол атаки + линейная

 

На атмосферном участке полета на траекторию ракеты часто налагается также ограничение по углу атаки a (угол между вектором скорости ракеты и ее главной осью). При высоком скоростном напоре, слишком большой угол атаки может привести к возникновению слишком высоких нагрузок на корпус и, в конечном счете, к разрушению ракеты. В реальности, на атмосферном участке, угол атаки обычно не превышает 5 градусов.

 

Для реализации этого ограничения предлагается комбинириванная программа: на атмосферном участке угол тангажа определяется жестко заданным (небольшим) углом атаки, а затем используется обычное линейное управление (см. выше).

 

В простейшем виде, угол атаки задается равным нулю на атмосферном участке. Тогда, для вертикально стартующей ракеты, для получения желаемой траектории полета, необходимо некоторое начальное отклонение от вертикали в начале полета.

 

Таким образом, помимо параметров кусочно-линейного управления (описанных выше), нам необходимо задать длину атмосферного участка tатм и величину начального отклонения Da. Для большинства ракет, за атмосферный участок можно условно принять участок работы первой ступени. В принципе, в этом есть определенный смысл: с одной стороны, в момент отделения первой ступени ракета обычно находится уже достаточно высоко, а с другой стороны, угол атаки при разделении должен строго контролироваться.

 

Похожий, но более совершенный метод описан в главе 2.3.3 книги А.В. Алёшин, О.В. Половников "Основы теории полета космического аппарата". Должен заметить, однако, что в книге содержится значительное количество ошибок, неточностей и опечаток.

 

Желающие могут задать более сложную (чем просто равную нулю) программу для угла атаки на атмосферном участке. Это можно сделать перепрограмировав колонку «Угол атаки/a» на странице «Control». В частности, любопытно бы было узнать результат применения программы, описанной в упомянутой книге.

 

Аэродинамическая модель (лобовое сопротивление)

 

Модель, учитывающая лобовое сопротивление, приводит к более сложной программе управления. Насколько мне известно, эта программа не выражается в явном виде. Однако, ее можно получить, решая (численно) систему дифференциальных уравнений. Более подробно см. «Оптимальное управление для орбитального носителя».

 

На каждом участке управления такая программа задается двумя свободными параметрами: начальным значением угла тангажа q(ti) и некоторым (сопряженным) параметром Fh(ti). Подбор свободных параметров требует определенной аккуратности: поведение системы может очень сильно меняться при незначительном изменении параметров (вплоть до появления неустойчивости).

Аэродинамическая модель (подъемная сила)

 

Эта модель отличается от предыдущей только тем, что учитывается не только лобовое сопротивление, а полная аэродинамическая сила. Хотя это и приводит к более сложным уравнениям сопряженной системы, использование этой модели немногим отличается от предыдущей. Как правило, немногим отличается и результат. При подборе свободных параметров устойчивость этой системы несколько ниже, чем у предыдущей модели.

 

Ограничения

 

Какой бы не была программа управления, она должна удовлетворять ограничениям, накладываемым конструкцией ракеты и стартовой площадки и т.д. Секция Restrictions содержит некоторые такие ограничения. Для активации ограничения нужно поставить символ + рядом с еге названием (слева).

 

Launch position

Большинство ракет должны стартовать из вертикального положения. Кроме того, в силу конструкции старта, вертикальное положение должно сохраняться первые несколько секунд полета (уход со старта). Поле «Launch position» задает начальное положение ракеты в градусах (вертикальное положение соответствует 90 градусам).

 

Clearing tower (sec)

Поле «Clearing tower» определяет как долго после старта ракета остается в начальном положении.

 

Max turn (deg/sec)

Также, скорость разворота по тангажу не должна превышать некоторого максимального значения. Поле «Max turn» определяет максимальную скорость разворота.

 

q - c

Для большинства ракет тяга долна быть направлена практически точно вдоль оси ракеты – иначе ракету будет разворачивать. Это поле позволяет жестко задать угол (например, нулевой) между направлением тяги и аэродинамической осью аппарата. Естественно, это ограничение имеет смысл только для управления, учитывающего подъемную силу.

 

Q-Alpha

Аэродинамические нагрузки на аппарат зависят не только от скоростного напора, но и от угла атаки. Поскольку, в первом приближении, нагрузки растут пропорционально скоростному напору, а боковые нагрузки – пропорционально углу атаки, в качестве ограничения часто используется их произведение.

 

 

О подборе свободных параметров

Свободные параметры

 

Как было показано выше, на каждом участке управления, программа оптимального (для данной модели) управления определяется двумя свободными параметрами.

 

Свободными параметрами можно считать начальное и конечное значение угла тангажа. То, что в начале ракета находится в фиксированном (вертикальном) положении не должно нас смущать – теоретически, никто не мешает нам изменить положение ракеты сразу после старта (как это зачастую и делают).

 

Количество свободных параметров непосредственно следует из наложенных нами граничных условий. А именно: с точки зрения управления, нас интересуют три параметра системы – вертикальная скорость, горизонтальная скорость и высота (поскольку речь идет о выходе на орбиту, а не о попадании в заданную точку, дальность нас не интересует). Начальное состояние системы известно. Далее, мы накладываем на траекторию условие оптимальности (максимальная горизонтальная скорость в конечный момент времени). Остается всего два неопределенных граничных условия: конечная высота и конечная вертикальная скорость.

 

Нашей задачей, таким образом, является подбор таких параметров управления, при которых в конце траектории достигаются заданные высота и вертикальная скорость. По построению оптимальной траектории, горизонтальная скорость при этом будет максимальной (естественно, только в приближении выбранной физической модели).

 

Строго говоря, так как Принцип Максимума является лишь необходимым условием оптимальности, горизонтальная скорость не обязана быть максимальной или даже иметь экстремум. Однако, при разумных входных данных, она обычно максимальна.

 

В случае использования n интервалов управления, нам требуется определить n+1 свободных параметров (2n если мы допускаем разрывы управления). Поскольку, в большинстве случаев, достаточно использовать только один интервал управления, в дальнейшем мы будем рассматривать именно этот случай.

 

Параметры различных моделей управления

 

Проще всего подобрать параметры для линейной программы управления. Начальное и конечное значения угла тангажа задаются явно, расчет управления тривиален. Кроме того, система ведет себя вполне устойчиво к малым изменениям параметров.

 

Более сложно подобрать параметры управления для а/д моделей. Во-первых, конечное значение угла тангажа уже нельзя задать явно. Вместо этого, задается некий параметр (сопряженная переменная), который определяет поведение сопряженной системы и, в конечном итоге функцию управления. Во-вторых, система довольно неустойчива к малым изменениям параметров. Требуется аккуратность при их изменении, иначе траектория системы становится непредсказуемой.

 

Отдельным случаем является комбинированная программа «AOA + linear». Фактически, в ней используется два интервала управления: атмосферный (управление по углу атаки) и безатмосферный (линейное управление). Реализованная программа управления углом атаки имеет один свободный параметр (величину начального отклонения). Участок линейного управления имеет, как обычно, два свободных параметра. Таким образом, для этой модели нам приходится подбирать три параметра управления.

В некоторых случаях, длину атмосферного участка также можно считать переменным параметром. Тогда число свободных параметров становится равным четырем.

Техника нахождения параметров

 

Естественно, параметры управления можно подобрать и вручную. В некоторых случаях так и приходится делать. Но в большинстве случаев можно если не избежать, то значительно облегчить этот неблагодарный труд. Для применения описаных ниже методов нужно уметь использовать Solver Add-In для Excel.

 

Рассмотрим два случая:

- подбор двух параметров управления

- подбор более чем двух параметров управления

 

1.  Нахождение двух параметров управления

 

Этот случай обычно соответствует нахождению параметров программы на одном участке управления. Это могут быть, например, значения начального и конечного угла тангажа для линейной программы управления. Или, например, начальные значения угла тангажа и сопряженной переменной для а/д моделей.

 

В данном случае подбор параметров необходим только для удовлетворения граничных условий. Оптимальность конечных параметров (в приближении выбранной модели управления) обеспечивается самим видом, в котором мы ищем управление. Таким образом, нам нужно найти значения двух параметров при которых в конечный момент времени достигаются заданные высота и вертикальная скорость (как правило нулевая).

 

Один из методов нахождения решения заключается в минимизации какой-либо функции, которая служит мерой отклонения от граничных условий (т.н. штрафной функции). Например, такой функцией может быть fштр = DH2+DVy2, где DH и DVy – отклонения высоты и вертикальной скорости от требуемых в конечный момент времени. Этот метод можно реализовать следующим образом:

 

1. Используя значения H и Vy из секции «System parameters», записать штрафную функцию в какую-либо ячейку fштр

 

2. Использовать Solver следующим образом:

    Set Target Cell:                               fштр

    Equal to:                                          min

    By Changing Cells:                         ячейки с искомыми параметры

    Subject to the Constraints:             -

 

Пример штрафной функции находится в секции «Control optimization».

 

2.  Нахождение более чем двух параметров управления

 

Необходимость подбора более чем двух параметров возникает в случае использования более чем одного интервала управления. В этом случае простого соблюдения граничных условий уже недостаточно для оптимальности. Для нахождения параметров можно использовать один из двух методов:

 

a) Прямая оптимизация с ограничениями

Использовать Solver следующим образом:

    Set Target Cell:                               Vx

    Equal to:                                          max

    By Changing Cells:                         искомые параметры

    Subject to the Constraints:             Vy=0, H=H*

 

b) Метод штрафных функций

1. Записать в какую-либо ячейку fцел целевую функцию, включающую штрафную функцию. Целевая функция может быть построена, например, следующим образом:

fцел = afштр - fопт = a(DH2 + DVy2) - Vx

где:

      a – некоторая константа, определяющая строгость соблюдения граничных условий

                     fштр - штрафная функция (см. выше)

      fопт оптимизируемый параметр (в данном случае, горизонтальная скорость)

 

2. Использовать Solver следующим образом:

    Set Target Cell:                               fцел

    Equal to:                                          min

    By Changing Cells:                         искомые параметры

    Subject to the Constraints:             -

 

Пример целевой функции находится в секции «Control optimization».

 

Приложение А – Описание колонок

Страница Simulation

 

Страница Simulation содержит состояние системы и реализует уравнения изменения состояния. Каждая строка соответствует состоянию системы в некоторый момент времени. Ниже приведено краткое описание колонок страницы Simulation.

 

t                                   Время с момента старта (в секундах и минутах)

 

Stage                           Номер текущей ступени (минимальный)

 

Pitch                            Угол тангажа. Определяется текущим управлением

            thrust              угол тангажа тяги

            a/d                   угол тангажа аэродинамической оси

 

Coordinates

            Altitude            Высота

            Distance          Удаление от точки старта (нигде не используется)

 

Velocity

            Vx                     Гориз. скорость (относительно поверхности и воздуха)

            Vx (abs)            Гориз. скорость (абсолютная, т.е. с учетом вращения Земли)

            Vy                     Вертикальная скорость

            V                      Полная скорость (относительно поверхности и воздуха)

 

m                                 Текущая полная масса                       

Thrust (N)                    Текущая полная тяга (в ньютонах)

a                                  Полное ускорение

CV                               Характеристическая скорость

 

Acceleration    

            g                      Текущее ускорение свободного падения

(вращение Земли не учитывается - оно учтено в ц.б. ускорении)

            ax                     Гориз. ускорение

            ay                     Верт. ускорение

            a centr.                        Центробежное ускорение (используется абсолютная Vx)

            а coriol.           Кориолисово ускорение (используется абсолютная Vx)

 

Atmosphere

TC)               Температура

r                      Относительная плотность (к плотности на уровне моря)  

 

Aerodynamics

            AOA                 Угол атаки

q                      Скоростной напор

            Cx                    А/д коэффициент сопротивления (в связанной системе)

            Cy                    А/д коэффициент подъемной силы (в связанной системе)

            RD                    Проекция а/д силы (в связанной системе, см. выше)

            RL                    Проекция а/д силы (в связанной системе, см. выше)

            Rx                    Проекция а/д силы (в основной системе)

            Ry                    Проекция а/д силы (в основной системе)

 

Throttling                     Программа работы двигателей (по ступеням)

Thrust (kgf)                 Тяга двигателей  (по ступеням)

Dry mass                     Текущая сухая масса ракеты (включая газы наддува)

Fuel mass                    Текущая масса топлива (по ступеням)

 

Приложение B – FAQ

 

1. Спредшит пересчитывается очень медленно

 

В версиях Excel 2000 и ниже существует проблема так называемых forward cross-worksheet references. В спредшитах с большим количеством ссылок между страницами эта проблема может привести к существенному замедлению пересчета. Если эта проблема возникает, рекомендуется использовать специальную версию: LaunchModel 2000.

 

 

2. Симуляция заканчивается на 600-м шаге/секунде. Как увеличить число шагов ?

 

Все строчки симуляции (начиная со второй) одинаковы (с точностью до относительных ссылок). Поэтому для того, чтобы увеличить время симуляции, достаточно скопировать последнюю строчку вниз настолько, насколько необходимо (в Excel'е можно копировать в несколько строк одновременно). Это необходимо сделать для обеих страниц «Simulation» и «Control».

 

Кроме того, не забудьте соответственно увеличить область данных в графиках на странице «Main».

 

 

3. Можно ли повысить точность, уменьшив шаг по времени ?

 

Изменить шаг по времени можно в ячейке Dt на странице «Main».

 

По умолчанию в модели используется шаг по времени равный одной секунде. При этом погрешность дискретизации по характеристической скорости для типовой ракеты составляет около 10 м/с. Данная модель является оценочной и не претендует на подобную точность. Поэтому, мы можем считать, что секундный шаг вполне достаточен.

 

Иными словами, модель не сможет обеспечить подобную точность по причинам, не связанным с дискретизацией.

 

 

4. Почему не используются методы Рунге-Кутты ?

 

Методы Рунге-Кутты, как и другие методы высших порядков, предполагают непрерывность правой части дифф. уравнения. В данном случае, функции силы и массы существенно разрывны в момент разделения ступеней. Погрешность при расчете разделения будет больше, чем увеличение точности от использования методов высокого порядка.

 

Кроме того, (см. предыдущий пункт): модель не сможет обеспечить подобную точность по причинам, не связанным с дискретизацией.

 

 

5. Как получить нужную орбиту ?

 

Вы можете решать одну из трех задач:

 

a)     достичь максимальной скорости в перигее (и, соответственно, высоты апогея) при заданной высоте перигея и массе пн

b)     найти максимальную пн при заданных высотах перигея и апогея

c)     построить траекторию при заданных высотах перигея и апогея и известной пн

 

-  Задача (а) решается автоматически (для данного управления). Достаточно найти нужное управление (см. выше: «Управление» и в особенности: «О подборе свободных параметров»)

-  Задача (b) решается подбором: подбираем пн и для каждого значения пн решаем задачу (a).

-  Задача (c) также решается подбором: подбираем время отсечения двигателей (ячейка t в секции «System parameters»). Для каждого значения решаем задачу (а).

 

Решение любой из этих задач можно найти прямой минимизацией соответствующей целевой функции с помощью Solver’а. См. раздел «Техника нахождения параметров» выше.

 

Hosted by www.Geocities.ws

1