Лунолет «Кон-Тики»

Ответы к задачам

Виток вокруг Земли занимает примерно 90 минут. А сколько времени займет виток вокруг Луны ?. 1

Нужна ли коррекция курса для возврата к точке старта ?. 1

Какое расстояние пройдет корабль от начала торможения до полной остановки ?. 2

Какая скорость нужна чтобы долететь от Луны до Земли ?. 3

Возможно ли было сделать фоторепортаж с «ЮГ»'а за пятнадцать часов до старта Кон-Тики ?. 3

Как достичь нужной нам орбиты, затратив минимум топлива ?. 4

В каком направлении нужно стартовать ?. 5

Как обьяснить правило «пятью-пять – двадцать пять» ? Справедливо ли оно для других планет ?. 5

На каком расстоянии от Луны расположена внутренняя точка либрации ?. 6

Виток вокруг Земли занимает примерно 90 минут. А сколько времени займет виток вокруг Луны ?

Период низкой орбиты: ≈ 108 мин.

Это довольно близко к периоду низкой околоземной орбиты. Совпадение ли это ?

Рассмотрим низкую орбиту вокруг тела с массой M и радиусом R. Период орбиты:

где r – средняя плотность тела.

Таким образом, период низкой орбиты зависит только от плотности центрального тела. Для тел со сходной плотностью (таких как Земля, Луна, Марс, Меркурий, астероиды, и т.д.) период орбиты будет сходным.

Это справедливо не только для низких орбит, но и для орбит, геометрически подобных друг другу, причем коэффициентом подобия служит отношение радиусов центральных тел.

Нужна ли коррекция курса для возврата к точке старта ?

Все было бы очень просто, если бы Луна не вращалась. Но, как известно, Луна делает один оборот за т.н. сидерический месяц - около 27.3 дней. На первый взгляд, это достаточно медленное вращение. Кажется, что за полтора часа точка старта не успеет существенно сместиться. На самом деле, линейная скорость вращения на экваторе приблизительно равна 16.6 км/ч. А за время витка смещение составит около D₀ ≈ 30 км.

Таким образом, если мы не настроены на долгую прогулку в скафандрах, нам следует побеспокоится о коррекции курса.

Пусть (экваториальное) наклонение орбиты корабля равно i. Тогда (считая смещение малым), за время витка точка старта выйдет из плоскости орбиты на расстояние приблизительно D₀sin(i). Чтобы исправить положение, плоскость орбиты необходимо повернуть на угол, приблизительно равный a = D₀sin(i)/R.

Сделать это лучше всего в точке, отстоящей от точки старта на 90 градусов (в любую сторону). В этом случае, корректирующий импульс должен быть направлен перпендикулярно скорости корабля. Величина импульса должна быть приблизительно равна DV ≈ aV (где V – орбитальная скорость). Это соответствует величине коррекции от 30 м/с (для полярной орбиты) до нуля (для экваториальной орбиты).

Впрочем, есть простой способ избежать всех этих неприятностей: выбрать экваториальную орбиту...

Какое расстояние пройдет корабль от начала торможения до полной остановки ?

Как известно, скорость ракеты можно найти с помощью формулы Циолковского (при условии, что скорость истечения постоянна):

Этот замечательный результат интересен тем, что конечная скорость не зависит от характера зависимости m(t). К сожалению, для расстояния, пройденного ракетой, это уже не так - пройденное расстояние зависит от режима расхода топлива.

Здесь мы предполагаем расход топлива постоянным.

Пусть ракета разгоняется, а начальная скорость равна нулю. Тогда, интегрируя по времени:

Для того, чтобы применить этот результат к торможению (до нулевой скорости), достаточно поменять местами начальную и конечную массы. Обратите внимание, что решение несимметрично относительно перестановки.

В нашем случае:

U = 3660 м/с

F = 6000 тс ≈ 58860 H

Перед торможением у нас должно было остаться около 39% топлива. Используя формулу Циолковского и зная орбитальную скорость, можно оценить, что после полного торможения у нас останется около 1% топлива. Подставляя значения:

m₀ ≈ 2250 + 0.01*3500 ≈ 2285 кг

m_T ≈ 2250 + 0.39*3500 ≈ 3615 кг

получим:

х_Т ≈ 75 км.

Какая скорость нужна чтобы долететь от Луны до Земли ?

Оценка характеристической скорости, необходимой для полета с Луны на Землю подробно разобрана отдельно. Для прямого перелета, с возможностью выбора опорной орбиты, это значение приблизительно равно 2514 м/с.

С полными баками, запас характеристической скорости у «Кон-Тики» - 3434 м/с. Этого более, чем достаточно для прямого полета на Землю. Более того - после торможения в атмосфере, топлива хватило бы еще и на рандеву с «Коперником». Но тогда, конечно, путешествие было бы менее интересным...

Возможно ли было сделать фоторепортаж с «ЮГ»'а за пятнадцать часов до старта Кон-Тики ?

Как мы знаем, база «Королев» расположена в Sinus Medii – вблизи лунного экватора.

Рассмотрим два случая:

1. Если орбита «Гагарина» лежит в плоскости экватора, то станция проходит над космодромом постоянно – вне зависимости от вращения Луны. Это значит, что с «Гагарина» может наблюдать космодром каждые полтора часа. В этом случае фотоснимки могли быть сделаны в любое удобное время.

С другой стороны, ценность орбитальной станции на экваториальной орбите невелика. Такая станция никогда не проходит над большей частью поверхности. Следовательно, сообщение с базами, расположенными далеко от экватора будет требовать непомерных затрат топлива. Не говоря уже о невозможности наблюдения большей части поверхности Луны.

2. Таким образом, разумно предположить, что орбита «Гагарина» имеет значительное наклонение. В этом случае плоскость орбиты станции будет поворачиваться в соответствии с вращением Луны. Период вращения Луны относительно неподвижных звезд (сидерический месяц) составляет около 27.3 дней. Смещение точки пересечения с экватором составит около 400 км в день. За 15 часов смещение составит около 250 км, а если учесть, что орбита направлена под углом к экватору, то цифра в 200 км, приведенная в тексте представляется вполне реальной.

Поймать автора на неточности нам не удалось. Это кстати, характерно для рассказов Михаила Пухова – они всегда отличаются невероятной точностью деталей.

Как достичь нужной орбиты, затратив минимум топлива ?

Итак, нам нужно выйти на круговую орбиту высотой 50 км…

Для начала предположим, что все изменения скорости корабля происходят мгновенно (достаточно короткими импульсами). В таком случае оптимальной траекторией будет эллипс с периселением в точке старта и апоселением в противоположной точке орбиты на высоте 50 км. Для выхода на такую орбиту нам понадобится горизонтальный импульс со скоростью чуть больше орбитальной. Через полвитка, после второго импульса в апоселении мы достигнем нужной круговой орбиты.

Такие двухимпульсные межорбитальные переходы называются гомановскими по имени немецкого математика Вальтера Гомана (Walter Hohmann), описавшего их в своей работе "Возможность достижения небесных тел" (Die Erreichbarkeit der Himmelskorper). Доказательство оптимальности гомановских переходов (в отсутствии третьих тел) можно найти в любом учебнике по динамике орбитального движения – оно достаточно просто.

Зная высоты апоселения и переселения для гомановского эллипса, соответствующие им скорости находятся следующим образом:

Подставляя значения, имеем: V₁≈ 1690 м/с; V₂≈ 1643 м/с.

Круговая скорость на высоте 50 км: V₀* ≈ 1654 м/с.

Следовательно, минимальный запас скорости, необходимый для достижения круговой орбиты высотой 50 км:

DV_min = V₁ + (V₀*-V₂) ≈ 1701 м/с

(всего на 23 м/с больше первой космической)

Однако, у гомановских переходов есть недостаток – они довольно медленные (половина витка). А что если мы спешим ? Достичь нужной высоты можно гораздо быстрее, используя суборбитальную траекторию. Это будет менее эффективно, но как мы увидим, разница невелика.

Пусть мы хотим достичь нужной орбиты приблизительно через пять минут после старта. Зная период низкой орбиты (~108 мин), можно грубо оценить угол, соответствующий этому времени как q ≈ 5/108*360° ≈ 17°.

Используя уравнение эллипса в полярных координатах, легко вычислить эксцентриситет переходной орбиты и скорость в апогее:

С учетом доразгона до круговой скорости, необходимый запас скорости можно оценить как:

(всего на 15 м/с больше, чем для оптимального гомановского перехода)

Осталось только определить угол к поверхности, под которым необходимо стартовать с поверхности при таком переходе. В качестве упражнения по аналитической геометрии предоставляю убедиться, что этот угол приблизительно равен 4°, а соответствующая ему вертикальная скорость ≈ 117 м/с.

В каком направлении нужно стартовать ?

Будем вначале считать, что плоскость лунного экватора совпадает с плоскостью эклиптики. Тогда орбита корабля, стартующего по азимуту 90°, имеет нулевое наклонение. Соответственно, для того, чтобы иметь наклонение орбиты 60°, корабль должен стартовать по азимуту 90° - 60° = 30°

На самом деле, лунная ось наклонена приблизительно на 1.5° по отношению к нормали эклиптики. Таким образом, в зависимости от положения Луны, ответ несколько меняется, оставаясь в интервале 30°±1.5°. Впрочем, поскольку эта поправка невелика, при старте ее можно не учитывать, а коррекции вносить уже в процессе разгона.

Как обьяснить правило «пятью-пять – двадцать пять» ? Справедливо ли оно для других планет ?

Рассмотрим круговую орбиту с диаметром а, периодом Т и ее малую пертурбацию: a+Da, T+DT:

Третий закон Кеплера:

Разложим по Тейлору:

Поскольку орбита круговая, то: , где Dx – линейное отставание

Имеем:

Естественно, это соотношение будет справедливо для любого небесного тела.

На каком расстоянии от Луны расположена внутренняя точка либрации ?

Как известно, в системе Земля-Луна существует пять точек, в которых тело сохраняет свое положение относительно Земли и Луны. Эти точки называются точками Лагранжа (или точками либрации) и обозначаются L1,…,L5.

Три коллинеарные точки либрации L1,L2,L3 расположены на прямой Земля-Луна и неустойчивы. Внутренняя точка Лагранжа L1 расположена между Землей и Луной.
Точки L4 и L5 расположены в вершинах равносторонних треугольников Земля/Луна/L4, Земля/Луна/L5, лежащих в плоскости орбиты Луны и локально устойчивы.

Часто (и ошибочно) говорят, что в точке L1 притяжение Земли и Луны полностью компенсируют друг друга. Это не совсем так. Если бы это было так, то тело, помещенное в эту точку, двигалось бы по прямой. На самом деле, тело в точке Лагранжа должно сохранять свое положение относительно Земли и Луны – т.е. двигаться по орбите вокруг Земли с периодом обращения, равным периоду обращения Луны. Так что, в L1 земное притяжение все-таки сильнее лунного.

Пусть:

R – расстояние от Земли до Луны

r – расстояние от Луны до L1

m₁ – масса Земли

m₂ – масса Луны

w – угловая скорость вращения Луны

g – гравитационная постоянная

Введем безразмерные параметры:

Будем считать, что Земля и Луна вращаются вокруг общего центра масс с одинаковой угловой скоростью. Из сохранения импульса, их расстояния от центра равны соответственно:

При этом, из закона тяготения, легко видеть что:

Тогда относительно центра масс системы Земля-Луна:

и, после преобразований:

Искомая величина r является корнем уравнения пятой степени.

Подставляя значение m ≈ 0.0123 для системы Земля-Луна, и решая уравнение численно, получаем r ≈ 0.151.

Это соответствует расстоянию от Луны r ≈ 58000 км.

Заметим, что мы не делали никаких предположений о характере изменения R(t) и w(t) – т.е. о характере взаимного движения тел системы. Следовательно, полученный результат справедлив для любой (эллиптической) орбиты Луны. При этом отношение r зависит только от постоянного параметра m и, следовательно, система сохраняет геометрическое подобие.