Какая скорость нужна чтобы долететь от Луны до Земли ?
Первое приближение (вторая космическая скорость)
Потенциальная
энергия гравитационного поля Луны у поверхности: 
где: g ≈ 1.62 м/с2 - ускорение свободного падения на поверхности Луны
R ≈ 1738 км - радиус Луны
Эта энергия равна энергии отрыва от Луны. Следовательно, для скорости отрыва у поверхности (второй космической), имеем:
≈ 2373
м/с
Второе приближение
Нас,
однако, интересует скорость, необходимая для полета на Землю.
Приведем вначале грубую оценку: орбитальная скорость Луны относительно Земли Vm ≈ 1020 м/с. Пусть мы хотим полностью погасить эту скорость и (вертикально) упасть на Землю. Минимальная кинетическая энергия/скорость, которая нам для этого потребуется:
≈ 2583 м/с (≈
V2 + 210 м/с)
Заметим, что мы считаем, что всю необходимую энергию мы набираем у поверхности – в самой низшей точке траектории, где скорость максимальна. Убедиться, что это оптимально, просто - достаточно написать выражение для кинетической энергии.
Третье приближение
Произведем более точный расчет. Нам не нужно полностью гасить орбитальную скорость Луны. На самом деле, мы хотим выйти на эллиптическую орбиту с перигеем в атмосфере Земли.
Рассмотрим эллиптическую орбиту Земли с апогеем на высоте орбиты Луны и с перигеем на высоте радиуса Земли. Скорость в апогее для такой орбиты равна Vp≈ 187 м/с. Простой способ оценить эту величину – это заметить что скорость в перигее близка к второй космической скорости Земли и воспользоваться законом сохранения импульса. Такая оценка даст значение весьма близкое к истинному: Vp≈ 186 м/с.
Таким образом, мы можем уточнить нашу предыдущую оценку:
≈ 2514 м/с (≈
V2 + 142 м/с)
Точка разгона
Теперь
займемся геометрией. Оптимальным направлением отрыва от Луны в нашем случае
будет направление, противоположное орбитальной скорости Луны. Попробуем
определить точку разгона, соответствующую этому направлению отрыва.
При параболическом разгоне, скорость корабля в пределе на бесконечности направлена вдоль оси параболы. Следовательно, точка разгона (вершина параболы) должна быть расположена в направлении орбитальной скорости Луны. Эта точка – «западный полюс» Луны – имеет широту 0° и долготу W 90°.
Однако, в нашем случае, разгон должен быть гиперболическим. Для гиперболической траектории:
e = | 1 – V2/gR |
a = arccos(1/e)
где:
e – эксцентриситет
a – угол между ассимптотой и осью гиперболы
V – скорость в перигее
R – высота перигея
g – ускорение свободного падения в перигее
В нашем случае: e ≈ 1.24; a ≈ 36.5°
Таким образом, точка разгона должна отстоять от западного полюса на угол a ≈ 36.5°
Учет некомпланарности
До сих пор мы предполагали, что западный полюс Луны лежит в плоскости нашей орбиты. Действительно, при прямом старте с поверхности, всегда можно выбрать орбиту так, чтобы ее плоскость проходила через западный полюс.
А что делать, если в данный момент опорная орбита все-таки не проходит через западный полюс ?
Во-первых, можно подождать – за счет вращения Луны, рано или поздно, мы окажемся над нужной точкой. Но, как мы знаем, Луна вращается довольно медленно – один оборот за 27 дней. Может оказаться так, что ждать придется до двух недель...
Если же мы не хотим ждать, то направление ухода от Луны и направление ее орбитального движения будут направлены под углом друг к другу. Это приведет к потерям – требуемая скорость будет больше, чем полученная выше оценка.
Приведем верхнюю оценку необходимой скорости для самого худшего случая: когда плоскость опорной орбиты перпендикулярна движению Луны. Тогда после ухода от Луны (с любой скоростью) трансверсальная компонента скорости корабля относительно Земли не изменится и останется равной скорости движения Луны (Vm). Ее придется уменьшать до нужного значения (Vp). Таким образом, верхняя оценка характеристической скорости:
Vmax = V2 + (Vm - Vp) ≈ 3206 м/с.