TEMAS DE CALCULO DIFERENCIAL


INTRODUCCION


La obsesi�n del hombre siempre ha sido contar y medir, para ello utilizaba todo lo que su imaginaci�n le indicaba, todo aquello que le ayudara a recordar sus poseciones era utilizado para esa tarea, por ejemplo utilizaba peque�os guijarros, para recordar la cantidad de animales que poseia, por ejemplo, tenia 3 piedras medianas que le recordaban la cantidad de animales grandes que poseia, y piedras peque�as, para recordarle cuantos animales peque�os, o si no utilizaba sus dedos para recordar. haciendo coincidir cada uno de ellos con una de sus pertenencias, luego, para medir distancias, empez� quizas utilizando sus manos para realizar la medicion, sus pies, en fin todo aquello que sea facil de recordar, hasta que se lleg� a la invenci�n de los n�meros y se plantearon problemas m�s complicados como medir �reas irregulares, y para ello quizas dividieron la superficie en bastantes rectangulos peque�os y los sumaron para hallar el area total de la superficie, esto quiz� fue el origen del c�lculo diferencial, bueno si queremos averiguar mucho mas cientificamente sobre el origen del calculo leeremos un buen libro de historia de las matem�ticas. Nosotros continuaremos con el desarrollo de nuestros temas y cada vez aprenderemos algo nuevo,

1.0  CONCEPTOS BASICOS
Variable.- Es una cantidad a la que se le puede asignar diferentes valores en el proceso de un an�lisis. Las variables se designan usualmente con las �ltimas letras del alfabeto (w, x, y, z, etc.)
Constante.- Es una cantidad que tiene un valor fijo, que no var�a durante un proceso de an�lisis. . Podemos distinguir dos tipos de constantes:
  1. Constantes Num�ricas.- Aquellas que conservan su valor en todos los procesos de c�lculo, por ejemplo: 2, 4, etc
  2. Constantes Arbitrarias o Par�metros.- Aquellas a las que se le puede asignar valores num�ricos y que durante todo el proceso conservan los valores que le asignaron. Usualmente se les representa con las primeras letras del alfabeto. Como ejemplo veamos la siguiente ecuaci�n:
    x/a + y/b = 1

    que representa la ecuacion de la recta, donde x e y son las coordenadas variables de un punto que se mueve sobre la l�nea mientras que a y b son las constantes arbitrarias que representan la abcisa y la ordenada en el origen, las cuales se suponen que son valores definidos para cada recta.
El valor num�rico de una constante ( o absoluta) "a" para diferenciarlo de su valor algebraico, se representa por  | a |   y se lee: "El valor num�rico de a " o " el valor absoluto de a ". Asi; |-4| = 4 = |4|
Funciones.- Cuando dos variables estan relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera est� en funci�n de la segunda.

PROBLEMAS

    1.  Dado f( x ) = x3 + 5X2 + 4X+20, Halla los valores de f( x ) para x = 1, x = 5, x = 0, x = 3, x = -1


    SOLUCION: simplemente reemplazamos el valor de la variable x en la ecuaci�n.
    1. f(1) = (1)3 + 5(1)2 + 4(1) + 20 = 30
    2. f(5) = (5)3 + 5(5)2 + 4(5) + 20 = 290
    3. f(0) = (0)3 + 5(0)2 + 4(0) + 20 = 20
    4. f(3) = (3)3 + 5(3)2 + 4(3) + 20 = 104
    5. f(-1) = (-1)3 + 5(-1)2 + 4(-1) + 20 = 10

    2.   Si f(θ) =sen2(θ) + cos(θ) , hallar f(0), f(π/2), f(π)


    SOLUCION: simplemente reemplazamos el valor de la variable θ en la ecuacion.
    1. f(0) = sen 2(0)+ cos(0) = 0 + 1 = 1
    2. f(π/2) = sen 2(π/2) + cos(π/2) = 0 + 0 = 0
    3. f(π) = sen 2(π) + cos(π) = 0 + (-1) = -1

    3. Dado f(x) = x3 - 5x2 - 4x + 20,   Demostrar que f(t + 1) = t3 - 2t2 - 11t + 12


    SOLUCION: Reemplazamos el valor de x = t + 1 en la ecuaci�n y resolvemos.
    f(t + 1) = (t + 1)3 - 5(t + 1)2 - 4(t + 1) + 20,
    f(t + 1) = (t3 + 3t2 + 3t + 1) - 5(t2 + 2t + 1) - 4t - 4 + 20
    f(t + 1) = t3 + 3t2 + 3t + 1 - 5t2 - 10t - 5 - 4t + 16
    f(t + 1) = t3 - 2t2 - 11t + 12     lqqd//
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