Tema 2
TEORIA DE CONJUNTOS
NOCION DE CONJUNTO:
Conocemos por intuici�n que un conjunto es la agrupaci�n o reuni�n de objetos reales o imaginarios a los cuales denominamos Elementos del conjunto
Los conjuntos generalmente se denotan con letras may�sculas (A,B,C,.......,X,Y,Z) y a sus elementos los representamos con n�meros o con s�mbolos, etc.
RELACION DE PERTENENCIA:
Esta relaci�n permite indicar cuando un objeto es o no elemento de un conjunto dado; se representa con el s�mbolo del alfabeto griego epsilon min�scula:   Πque se lee "pertenece a" o "es un elemento de", y la no pertenencia se representa con el s�mbolo: Ï que se lee "no pertenece a" o "no es elemento de". Ejemplo: A = {1, {2}, {3,4}}; entonces:
1 Î A,  {3,4}ÎA,   {4} A,  {2} Î A,    2 Ï;A
DIAGRAMA DE VENN-EULER
Son regiones planas limitadas por figuras geom�tricas cerradas que se utilizan para representar graficamente a los conjuntos:
Diagrama de Venn
DETERMINACI�N DE CONJUNTOS
Por extensi�n o en forma Tabular.-   Cuando sus elementos se pueden indicar explicitamente. Por ejemplo:
A = {2,4,6,8,10}
B = {1,3,5,7}
C = {j,r,v,e,n,g,a,d,o,r}
Por Comprensi�n o en forma constructiva.- Cuando se definen por medio de una propiedad o condici�n, la cual debe caracterizar cada uno de sus elementos. Ejemplos:

A = {y / y es un m�ltiplo de 60   Ù   y < 10}
B = {x Î Z / -2 < x £ 5}
C = {x/x es una letra de la palabra JRVENGADOR}

NOTA.- No todo conjunto se puede determinar por extensi�n y comprensi�n a la vez.


CLASES DE CONJUNTOS.-
Conjunto Nulo o Vac�o.-
Es aquel conjunto que no tiene elementos. Ejemplos:
A = { x Î N / x + 4 = 0}
B = { x Î R / x ¹ x}
Conjunto Unitario o Singlet�n.-
Es aquel que posee un �nico elemento. Ejemplo:
A = {x Î N / x 3 + 5x 2 + 10x = 0}
B = {x Î Z / -1 < x < 1}
Conjunto Finito e Infinito.-
Un conjunto es finito si posee una cantidad limitada de elementos, caso contrario se dice que es infinito. Ejemplos
A = {1,2,3,...,3485}, es finito
B = {1,2,3,......} , es infinito
Conjunto Universal.-
Es el conjunto que est� formado por todos los elementos, de la teor�a en discusi�n y se simboliza por "U". No existe un conjunto universal absoluto.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS:
Relaci�n de Inclusi�n.-
Dados dos conjuntos A y B y un operador "...incluido en ..." que se denota por   Ì , se tiene:

A Ì B « "x: xÎ A ® xÎB

Ejemplo:

A = {1,2} y B = {1,2,3,4} Þ AÌB

PROPIEDADES:

1) "A,     Æ   Ì  A
2) "A,      A  Ì  A

OBSERVACIONES

1) A Sp B Û A Ì B   Ù   B Ë A
(Sp = Sub Conjunto Propio)
2) A comp. B Û A Ì B   Ù   B Ì A
(comp. = comparable)
Relaci�n de igualdad:
Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. Se denota por:
A = B
Y simb�licamente por:
A = B   Û ; A   Ì  B      Ù   B  Ì   A
Conjuntos Disjuntos:
Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementos comunes. Simb�licamente:
A y B son Disjuntos    Û   " x/x  Ï  A   Ú  x  Ï  B
Conjuntos Equipotentes o coordinables:
Dos conjuntos A y B son coordinables cuando existe una correspondencia biunivoca (uno a uno) entre sus elementos. Simb�licamente:
A ~ BÛ(A) = n(B)
Ejemplo: Sean
A = {1,2,3}     y    B = {a,b,c}

        Þ    A ~ B

Conjunto Potencia o Conjunto de Partes:
Dado el conjuntos A, se dice que el conjunto Potencia de A, est� formado por todos los subconjuntos de A.  Se denota: P(A).  Simb�licamente:

P(A) = {x/x Ì A}


OBSERVACIONES.
  1. El conjunto vac�o y el mismo conjunto A son elementos de P(A)
  2. Si el n�mero de elementos de A lo denontamos por: n(A), entonces el n�mero de elementos de P(A) es: 2n(A), es decir:
    n[P(A)] = 2n(A)

Ejemplo: Si   A = {a,b,c}, Hallar:
a) n[P(A)]       b)  P(A)

Solucion:

a) Si A = {a,b,c} Þ n(A) = 3
    n[P(A)] = 2 n(A) = 23 = 8

b)  P(A) = {f , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}}

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

  • REUNION: A U B = {x/x Î A    Ú   x Î B}

  • INTERSECCION: A È B = {x/x Î A    Ù   x Î B}

  • SUSTRACCION: A - B = {x/x Î A    Ù    x Ï B}

  • SUSTRACCION SIMETRICA:
    A D B = {x/(x Î A    Ù    x Ï B)   Ú  (x ÏA    Ù    x Î B)}

    A D B = (A - B) Ç (B - A)
    A D B = (A U B) - (A È B)

  • COMPLEMENTO ABSOLUTO:
    A = A' = Ac = A = {x Î U /  x Î A}


  • COMPLEMENTO RELATIVO: Dado A Ì  B, entonces
    CB A = B - A

LEYES Y PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS.

Distributivas

  • A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
  • A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A Ç C)

De la Sustracci�n
  • A - B = A È B' = B' - A'

Ley de Morgan
  • (A Ç B)' = A' È B'
  • (A È B)' = A' Ç B'

Ley de Absorci�n
  • A Ç (A  È B) = A
  • A È (A  Ç B) = A

NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO :

El n�mero de elementos de un conjunto A es la cantidad de elementos que posee. Se denota por n(A)  o   Card(A) Ejemplos:

  • Si A = { 1,2,3} Þ n(A) = 3
  • Si B = f   Þ n(A) = 0

PROPIEDADES:

  1. n(A - B) = n(A) - n(A È B);      " A, B
  2. A È B = f Þ n(A Ç B) = n(A) + n(B)
  3. A È B ¹ f Þ n(A Ç B) = n(A) + n(B) - n(A È B)
  4. AÈBÈC ¹ f Þ n(AÇBÇC) = n(A)+n(B)+n(C)-n(AÈB)-(BÈC)+n(AÈBÈC)

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