Ejercicios de
SISTEMAS DE NUMERACION

1.-   25(a) ;   41(a) ;    53(a) ;  están en progresion aritmética. ¿Cuál es el mayor número de 3 cifras de base "a" escrito en el sistema cuaternario?
Solución:
Estar en progresión aritmética significa que hay una razón "r" que forma esos números por ejemplo, los números 14; 17; 20 están en progresión aritmética y su razón es:   r = 17-14 = 20-17 = 3, en nuestro caso convertimos los números de base "a" al sistema decimal mediante la descomposición polinómica, es decir:
25(a) = 2*a1 +5*a0 = 2a + 5
41(a) = 4*a1  +1*a0 = 4a + 1
53(a) = 5*a 1 +3*a0 = 5a + 3
entonces la razon aritmética "r" será:
r = 4a + 1 - (2a + 5) = 2a - 4 
r = 5a + 3 - (4a +  1) =  a + 2 
Luego igualando los valores de "r" despejamos el valor de "a"
2a - 4 = a + 2
a = 6
Ahora como la base del sistema es 6 el digito mayor que puede tener la cifra es 5 entonces el número será:
555(6)
Convirtamos este número a la base cuaternaria, convirtiéndolo primero a la base decimal y aplicando las divisiones sucesivas:
555(6) == 215 ==3113(4)
Respuesta.- El mayor número de base 4 es:    N = 3113(4)

2.- Dado el numeral:

N = (a+1)(a)(a+2)(a)(a+1)2(a+2) ; calcular P(a) si P(x) = x2 + x + 2

solucion:

Para visualizar mejor el número hagamos:
X = (a+1); Y = (a); Z = (a+1)2; k = (a+2)

  • N = (a+1)(a)(a+1)(a)(a+1)2(a+2) = XYXYZk

  • X < k , Y < k , Z < k

Si a = 0 è X = 1 < k = 2 y Z = 1 < k = 2 è VERDADERO

Si a = 1 è X = 2 < k = 3 y Z = 4 < k = 2 è FALSO

Por lo tanto a = 0 y el numeral es N = 101012

Entonces : P(a) = a2 + a + 2 = 0 + 0 + 2 = 2

Respuesta.- P(a) = 2

3.- Si   1244(b) = [32(b)]2; hallar el valor de " b"

Solución:

Convertimos ambos miembros al sistema de base decimal

1244(b) = b3 + 2b2 + 4b + 4

[32(b)]2 = [3b + 2]2 = 9b2 + 12b + 4

luego tenemos la igualdad

b3 + 2b2 + 4b + 4 = 9b2 + 12b + 4

reduciendo términos semejantes tenemos:

b3 + 2b2 + 4b + 4 - 9b2 - 12b - 4 = 0

b3 - 7b2 - 8b = 0

b(b2 - 7b - 8) = 0

b( b - 8)( b + 1)= 0

b = 0      ¬     b = 8     ¬     b = -1

Luego como la base no puede ser cero ni un valor negativo entonces: b = 8

Respuesta: b = 8

4.- Determinar la suma de todos los numerales de dos cifras, que sean iguales al triple del producto de sus cifras.

Solucion:

Sea N = ab, tal que ab(10) = 3ab, a ¹ 0

Descomponiendo el número ab en sus valores posicionales

. ab = 10a + b

. 10a + b = 3ab

Si a = 1 è 10(1) + b = (3)(1)(b) è 10 + b = 3b è b = 5 è 15 = ab

Si a = 2 è 10(2) + b =(3)(2)(b) è 20 + b = 6b è b = 4 è 24 = ab

Si a = 3 è 10(3) + b = (3)(3)(b) è 30 + b = 9b è b = 15/4 è no!!!

Por que las cifras de un numeral solo pueden ser enteros

Si a = 4 è 10(4) + b =(3)(4)(b) è 40 + b = 12b è b = 40/11 è no!!!

  • .
  • .
  • .
Luego:

RESPUESTA:     å ab = 15 + 24 = 39

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