Relação entre o volume da Pirâmide e de um Prisma de mesma altura

 Demócrito ( 410 a.C. ), segundo Arquimedes, tinha conhecimento de que o volume de uma pirâmide qualquer é um terço do volume do Prisma de mesma altura. Muito pouco se sabe sobre Demócrito, mas dificilmente ele poderia ter dado uma demonstração rigorosa deste teorema. Lembre-se que um prisma pode ser decomposto numa soma de prismas de base triangular e que por outro lado, um prisma pode ser decomposto em três pirâmides triangulares U, V, W tais que U e V tenham bases equivalentes e alturas iguais, o mesmo ocorrendo para V e W . Assim, o ponto crucial do problema de Demócrito é mostrar que duas pirâmides de bases equivalentes e mesma altura tem volumes iguais. Uma demonstração deste fato foi feita por Eudoxo, usando o método de Exaustão ( esse método admite que uma grandeza possa ser subdividida indefinidamente ).

Democrito

Como então poderia ter Demócrito chegado a este último resultado? A chave é fornecida por Plutarco, ao relatar o dilema a que chegou certa vez Demócrito quando considerou a possibilidade de um cone ser formado de uma infinidade de secções planas paralelas à base. Se duas secções "adjacentes" fossem do mesmo tamanho, o sólido seria um cilindro e não um cone. se, por outro lado, duas secções adjacentes tivessem áreas diferentes, a superfície do sólido seria formada de uma série de degraus, o que certamente não se verifica. Neste caso se assumiu que o volume do cone pode ser subdividido indefinidamente ( ou seja, numa infinidade de secções planas atômicas ), mas que o conjunto dessas secções é contável, no sentido de que, dada uma delas, há uma outra que lhe é vizinha; suposição que se situa, até certo ponto, entre duas já consideradas sobre a divisibilidade de grandezas. Demócrito pode ter argumentado que se duas pirâmides de bases equivalentes e alturas iguais são seccionadas por planos paralelos ás bases, verificando-se a divisão das alturas numa mesma razão, então as secções correspondentes assim formadas são equivalentes, o que implica que seus volumes devem ser iguais. Tem-se aí o que seria um exemplo primitivo do chamado método dos indivisíveis de Cavalieri.