Para navegar pela página use as barras de links superior e vertical
Determinaremos usando o Principio de Cavalieri, a mesma relação que Arquimedes fez entre a esfera e o cilindro.
Na figura temos à esquerda um hemisfério de raio r e, à direita , um cilindro circular de raio r e altura r .
Deste cilindro retiraremos um cone de base igual a base superior do cilindro e cujo o vértice é o centro da base interior do cilindro. Os dois sólidos estão assestados sobre o mesmo plano.
Seccionaremos ambos os sólidos com um plano paralelo ao plano da base de ambos e a uma distância h dele. Esse plano corta o hemisfério ( figura da esquerda ) segundo um círculo, e o outro sólido segundo uma coroa circular.
1 - área da intersecção entre o plano e o hemisfério:
| Sendo k o raio da circunferência formada, |
|
=> |
|
|
|
=> |
|
2 - área da coroa circular:
|
|
=> |
|
Temos então que as duas áreas são iguais a
.
Segue-se então do princípio de Cavalieri que os dois sólidos tem volumes
iguais. Temos que o volume do hemisfério é,
Logo, o volume V da esfera é dado por
A admissão e o uso consistente do segundo principio de
Cavalieri pode simplificar grandemente a dedução de muitas fórmulas de
volumes incluídas nos tratamentos iniciais da geometria sólida. Esse
procedimento foi adotado por muitos autores de textos de geometria e costuma
ser defendido por razões pedagógicas. Ao deduzir a conhecida fórmula do
volume do tetraedro ( 
)
, por exemplo, a parte desagradável consiste em provar antes que dois
tetraedros de bases equivalentes e alturas relativas a essas bases iguais têm
volumes iguais. A dificuldade inerente à questão manifestou-se em todas as
abordagens da geometria sólida, desde os Elementos de Euclides. Com o
segundo principio de Cavalieri, porém, a dificuldade simplesmente desaparece.