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Gravitação Universal
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1-Lei da Gravitação Universal
1.1-Newton e a gravitação universal
1.2-Cavendish e a determinação da constante da gravitação
2-Princípio da superposição
2.1-Casca Esférica
2.2-Túnel no centro da Terra
3-As leis de Kepler
3.1-A primeira Lei de Kepler - Lei das Órbitas
3.2-A segunda Lei de Kepler - Lei das áreas
3.3-A terceira Lei de Kepler - Lei dos períodos
4-Energia de um objeto num campo gravitacional
4.1-Energia Potencial Gravitacional
4.2-Energia Cinética
4.3-Energia Mecânica Total
5-Trajetórias de objetos num campo gravitacional
5.1-Órbita de satélites, planetas e objetos
5.2-Potencial Efetivo
5.2-Órbitas e energias
6-Força de maré
6.1-A Origem do problema das marés
6.2-Compreendendo o fenômeno das marés
Referências Bibliográficas
1-Lei da gravitação Universal
1.1-Newton e a gravitação universal
Foi entre meados do século XVII que a física obteve um grande avanço na mecânica. E um dos principais responsáveis foi o então físico e matemático Sir Issac Newton (1642-1727). Com a publicação do livro Philosophae Naturalis Principia Mathematica (1687), Newton abordou questões sobre as leis de movimento de objetos, entre eles, movimento de corpos celestes.Tal livro surgiu de um fato bastante curioso. Christopher Wren (1632-1723), matemático, arquiteto e um dos fundadores da Royal Society, propôs um desafio a outros dois membros: Robert Hook (1635-1703) e o astrônomo Edmond Haley (1656-1742).
Aquele que conseguisse explicar o sistema mundo, através de uma força (inversamente proporcional ao quadrado) que influenciasse na trajetória dos planetas, ganhava a publicação de um livro no valor de 40 xelins. O tempo estipulado para resposta eram dois meses.
Halley sabia da existência de uma pessoa que poderia ajudá-lo a resolver tal desafio. Este era Isaac Newton, professor titular da cadeira lucasiana de matemática da Universidade de Cambrigde. Porém, Halley tinha um certo receio. Mesmo que Newton possuísse a resposta do desafio, que motivos o fariam entregá-la?
Ao contrário do que Halley esperava, Newton o recebeu muito bem. Disse que já havia se questionado sobre o uso desta força na explicação do movimento dos planetas. Porém, como não recordava onde tinha deixado tal demonstração, prometeu enviar a resposta quando a encontrasse.
Três meses depois Newton envia a Halley um manuscrito com a resposta da questão. Apartir daí, inclusive por influência do próprio Halley, Newton começa trabalhar no que mais tarde se tornaram os três volumes dos Principia´s.
Neles, especificamente no terceiro volume, Newton demostrou então que a força de atração entre dois corpos era proporcional ao produto das massas destes corpos divididos pelo quadrado da distância entre eles. Atualmente sabemos que além disto existe uma constante de proporcionalidade chamada constante da gravitação a qual nos permite escrever a lei da gravitação universal de Newton como:
Onde M e m são massas das partículas, r é a distância entre elas e G a constante Gravitacional com valor de:
Clique aqui para utilizar a simulação que ajuda a compreender a equação.
Apesar de saber da existência da constante G, Newton jamais a mediu. Tal proesa foi realizada somente em 1778 pelo físico e químico inglês Henry Cavendish (1731-1810), utilizando uma balança de torção construída por ele próprio.
1.2-Cavendish e a determinação da constante da gravitação
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Resumidamente, este experimento utiliza duas esferas de chumbo pequenas com massa m e duas esferas de chumbo grande com massa M. As esferas de chumbo pequenas são presas a uma barra fina que está suspensa pelo seu ponto médio por uma fibra fina. Nesta fibra encontra-se um espelho que reflete um raio de luz numa parede com um ângulo duas vezes maior que o ângulo incidente.
O experimento consiste em deixar as esferas de massa m suspensas totalmente em repouso e em seguida modificar a posição das esferas de massa M. Anotando os valores das amplitudes (as quais decrescem em função do tempo) do raio de luz refletidos pelo espelho na parede, será determinado então o valor de G.
Gráfico da Amplitude em função do tempo
Encontre o valor da constante gravitacional.Voltar
2-Princípio da superposição
Como se comporta a força gravitacional num grupo de partículas?Para uma quantidade de n partículas distribuídas de maneira discreta (dispostas de maneira aleatória e distantes umas das outras - como num gás), podemos representar a força gravitacional sobre uma partícula Fi como a soma das forças atuantes sobre a partícula i.
Podendo ser escrita numa forma compacta:
Podemos exemplificar esta equação acima, utilizando o sistema solar. Considerando que o Sol seja o objeto número 1, os demais planetas são na sequência (Mercúrio-2, Vênus-3, Terra-4, Marte-5, Júpiter-6, Saturno-7, Urano-8, Netuno-9, Plutão-10).
é a força que Mercúrio exerce sobre o Sol, 
é a força que Vênus exerce sobre o Sol, seguindo a sequência dos demais planetas. O somatório representa então a força que todos os planetas exercem juntos sobre o Sol.
2.1-Casca esférica
Para uma quantidade de partículas infinetesimais, que se distribuem de maneira contínua (estão organizadas lado a lado, a uma distância muito pequena - situação encontrada facilmente em sólidos), a soma da força gravitacional resulta em diferentes equações, as quais dependem da forma e da densidade dos infinetésimos nos sólidos.Abaixo temos o campo de força para três tipos de sólidos, os quais possuem densidade constante:
| Esfera | Cilindro | Plano |
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Um dos problemas muito estudado na física é o da casca esférica. Este consiste em determinar a equação de sua força gravitacional. Abaixo segue a ilustração do problema:
Ilustração do problema da casca esférica em 3 Dimensões:
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Nesta figura, o pequeno polígono pintado de vermelho ds representa uma das diversas partículas infinetesimais. Cada uma delas contribui com uma pequena parcela de força no ponto p.
Newton encontrou uma maneira de somar a força de todas partículas infinetesmais no mesmo ponto. Curiosamente ele descobriu que em qualquer ponto de fora da casca, a força resultante aponta sempre para o centro da mesma, enquanto que, em qualquer ponto dentro da casca, a força resultante é nula. Comenta-se que a dedução desta condição levou anos para ser resolvida.
Utilizando então os resultados de Newton, podemos imaginar a Terra como uma superposição de cascas esféricas. Na medida em que um objeto avança no sentido do centro da Terra, as cascas pelas quais este passa deixam de exercer força gravitacional sobre ele.
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Simulação do principio da superposição
2.2-Túnel no centro da Terra
O que aconteceria se cavássemos um túnel bem no centro da Terra? Conforme comentamos anteriormente, o fato de considerar a Terra como um conjunto de cascas de massa, implica na diminuição da força gravitacional conforme avançamos em direção do centro da Terra. Assim, precisamos encontrar um expressão para a força gravitacional que dependa da massa entre o núcleo e a posição onde está o objeto.Quando um objeto de massa m estiver a uma distância r do centro, a quantidade de massa que exercerá força gravitacional será M`. Supondo que a densidade da Terra r é constante, podemos determinar o valor da massa M´ em função da massa total da Terra M.
Ilustração do exemplo:
A área verde representa a massa parcial M`, enquanto que a massa total M representa as áreas azul e verde.
O valor da densidade da Terra é:
A uma distância r do núcleo a Terra, podemos escrever a densidade da Terra como:
Agora vem a parte mais importante, onde devemos atentar o fato da densidade da Terra ser constante, podemos igualar as duas expressões para encontrarmos o valor da massa que exerce atração gravitacional a uma distância r:
Onde encontramos então o valor da massa M` em função de r.
Finalmente, substituímos a expressão da massa na equação da força gravitacional:
Podemos observar que esta se comporta como uma força restauradora, igual a de uma mola:
Simulação de um objeto num túnel no centro da Terra
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3-As leis de Kepler
Johannes Kepler (1571-1648) foi de grande importância para o desenvolvimento da Gravitação Universal. Filho de pais pobres e membro de uma família muito conturbada, passou muitas dificuldades durante os primeros anos de vida. Mas apesar de todas dificuldades, Kepler era muito dedicado aos estudos. Conseguiu concluir o ensino "secundário" em 1588, obtendo no ano seguinte uma bolsa de estudos na Universidade de Tübingen (Wurtenberg-Alemanha). O curso era de teologia, composto pelas disciplinas de ética, dialética, grego, hebraico, astronomia e física.Em 1594, Kepler deixa os estudo incompletos em Tübingen, para lecionar Matemática na Universidade de Graz (Estíria-Áustria). Lá, desenvolveu um fracassado modelo de sistema solar, baseado nos sólidos de Platão, onde os planetas ocupavam superfícies esféricas que eram incritas e circunscritas nos tais sólidos. Lecionou matemática até 1598, ano em que a Universidade de Graz encerrou suas atividades. Kepler ficou desempregado e numa situação financeira muito delicada. Porém, a convite de outro famoso astrônomo da época, Tycho Brahe (1546-1601), foi a Praga para trabalhar como seu assistente.
Ambos esperavam muito este encontro. Kepler sabia que Tycho era excelente observador, possuindo muitos dados sobre as posições dos planetas. Por outro lado, Tycho lera O Mistério de Kepler e acreditava que ele seria capaz de utilizar seus dados para confirmar seu modelo de sistema solar.
Mas ao contrário do Kepler imaginava, Tycho não forneceria seus dados para outros astrônomos trabalharem suas hipóteses. Inicialmente designa a Kepler o "desafio de Marte". Com o fornecimento de poucos dados, Kepler deveria solucionar, de acordo com o modelo de Tycho, o problema da órbita de Marte. Kepler achava que o problema seria resolvido em algumas semanas, porém este lhe custou seis anos.
Esta "parceria" entre os dois não durou muito tempo. No ano de 1601 morre de Tycho e kepler finalmente tem acesso a todos os seus dados. O temor de Tycho Brahe era estes fossem utilizados para demostrar a veracidade do modelo copernicano, o qual Kepler tinha certa simpatia. Porém, conforme Kepler prometera a Tycho, publicou um livro empregando os dados em seu modelo. E juntamente deste, acrescentou os resultados para os modelos de Ptolomeu e Copérnico.
É assim que kepler escreve Astronomia Nova durante os anos de 1600-1606 e publicando em 1609. O estudo dos dados de Marte evidênciou a verdadeira características das órbitas. Nascia assim as 1ª e 2ª leis de Kepler.
3.1-A primeira Lei de Kepler - Lei das Órbitas
Inicialmente Kepler começou a estudar a órbita da Terra. Ele sabia que qualquer erro na determinação desta poderia esconder alguma regularidade ou lei de movimento de Marte. A cada medida da posição de Marte, era necessário medir a posição da Terra em relação ao Sol. Assim encontraria a órbita da Terra por cálculos de triangulação. Kepler possúia dez medidas que Tycho havia lhe fornecido, contando com mais duas próprias. Estas porém não foram suficientes.Outra maneira mais precisa para elucidar o problema deveria ser encontrada. A constatação de que o raio vetor dos planetas varre áreas iguais em intervalos de tempos iguais (2ª Lei de Kepler), foi o passo necessário para encontrar a órbita da Terra.
De volta ao problema da órbita de Marte, Kepler inicialmente encontrou uma estranha forma oval. Ele ainda insistia em encontrar uma órbita circular, mesmo depois de compreender que os planetas não se deslocavam de acordo com o movimento circular uniforme. A crença neste dogma, fez com que criasse uma grande quantidade de hipóteses, as quais iam sendo descartadas uma a uma.
Finalmente, ele consegue chegar a uma equação que descrevia com exatidão a órbita de Marte:
Esta equação acima representa uma elipse em coordenadas polares, onde um ponto é representado pelas variáveis q e r. Segue abaixo uma ilustração:
Onde a é o ângulo entre o vetor r e o eixo horizontal, p são os pontos onde a elipse corta o eixo vertical duas vezes e e a excentricidade da elipse calculada pela razão dos semi-eixos maiores a e menores b. O ponto azul representa um dos focos.
Atualmente conhecemos a 1ª Lei de Kepler a partir do seguinte enunciado:
Qualquer planeta que gira em torno do Sol, descreve uma órbita elíptica com o Sol ocupando um dos focos.
Simulação da primeira lei de Kepler.
3.2-A segunda Lei de Kepler - Lei das áreas
Conforme vimos anteriormente, Kepler criou a lei das áreas para demostrar a lei das órbitas. A 2ª Lei foi concebida no ano de 1602 e surgiu de um questionamento feito por Kepler."Se a rapidez do nosso planeta não é constante, como podemos prever sua posição num instante determinado?".
Como solução, Kepler dividiu a meia órbita em partes infinitas de raios vetores. O passo seguinte foi determinar que o tempo necesário para Terra percorrer uma dada distância seria proporcional à soma dos raios vetores que estão compreendidos na porção de órbita considerada. Ou seja, quanto mais raios vetores, mais rápido se desloca a Terra num mesmo intervalo de tempo.
Surge assim a 2ª Lei de Kepler
A reta que une o planeta ao Sol, varre áreas iguais em tempos iguais.
Simulação da segunda lei de Kepler.
A terceira lei veio somente em 1618 na 5ª edição dos livros Harmonia do Mundo.
3.3-A terceira Lei de Kepler - Lei dos Períodos
Após a publicação de Astronomia Nova, Kepler resolve dedicar-se ao estudo do Universo de suas leis harmônicas. Na sua obra Harmonia do Mundo, Kepler apresenta em cinco volumes divididos em:1º Geométrico: figuras regulares e proposições harmônicas que estas formam;
2º Arquitetônico: figuras regulares planas e sólidos;
3º Harmônico: sobre "o que é pertinente ao canto";
4º Metafísico, psicológico e astrológico: Harmonia do espírito e raios dos objetos celestes que caem sobre a Terra;
5º Astronômico e metafísico: Harmonia do movimento celeste.
Kepler procurava encontrar uma relação harmônica entre excentricidade da órbita de um planeta e sua distância média ao sol. Após diversas tentativas, ele percebe que deveria utilizar velocidades angulares no lugar da distância. Estas eram calculadas a partir das velocidades máxima (periélio) e mínima (afélio) do planeta.
No 5º volume, Kepler indica quatro etapas para chegar a sua 3ª Lei. Nestas, ele faz uma associação entre o movimento dos planetas e intervalos de tempos musicais.
E assim Kepler definiu a 3ª lei como:
Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas é proporcionais ao cubo do semi-eixo maior de suas órbitas.
| Planeta | Período de Revolução (T) em anos | Semi eixo maior da òrbita (a) em u.a | T²/a³ (ano)²/(u.a)³ |
| Mercúrio | 0,241 | 0,387 | 1,002 |
| Vênus | 0,615 | 0,723 | 1,000 |
| Terra | 1,000 | 1,000 | 1,000 |
| Marte | 1,881 | 1,524 | 0,999 |
| Júpiter | 11,86 | 5,204 | 0,970 |
| Saturno | 29,6 | 9,58 | 0,996 |
| Urano | 83,7 | 19,14 | 1,000 |
| Netuno | 165,4 | 30,2 | 0,993 |
| Plutão | 248 | 39,4 | 1,004 |
Verifique a 3ª lei de Kepler.
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4-Energia de um objeto num campo gravitacional
4.1-Energia potencial Gravitacional
Vimos na mecânica que, a Energia Potencial gravitacional de um objeto nas proximidades da superfície da Terra, depende:
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- Distância entre a superfície da Terra e o objeto h; - Massa do objeto m; - Valor da aceleração da gravidade g. |
E pode ser dercrita pela equação:
Porém, existem algumas considerações a serem explicadas:
- A aceleração da gravidade é considerada constante sob a superfície da Terra. Utilizando a equação da força gravitacional, verificamos que a aceleração na realidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os centros de gravidade da Terra e do objeto.
- O valor da energia potencial de um objeto, sob a superfície da Terra, é somente a energia gasta para elevá-lo. Numa situação mais generalizada, o valor calculado da energia potencial é referente ao conjunto de dois objetos, onde ambos se movimentam quando soltos. Por que então, quando soltamos um objeto sob superfície da Terra somente este se movimenta? Isto acontece pelo fato da Terra possuir maior inércia. Temos a impressão do objeto possuir toda energia potencial, quando na realidade é apenas ele quem consegue alterar a energia cinética do conjunto.
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