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Dinâmica dos Fluídos
Fenômenos em um Escoamento. Forças em um Fluido em Movimento. Considera-se uma partícula de um fluido dV (elemento de volume infinitesimal do fluido, representado na forma diferencial, i é, uma variável pré-acompanhada da letra d sofre uma variação em função de outra variável). Assim, pela 2º lei de Newton Mas como dM = j . dV então: Concluindo-se que a resultante será a soma das componentes infinitesimais das forças volumétricas dFv e forças superficiais dFs. Onde j = dendidade do fluido, a = aceleração da partícula, dM = massa infinitesimal do fluido. Além das forças volumétricas externas que atuam sobre o fluido, como a GRAVIDADE, há uma força volumétrica interna que corresponde ao atrito no deslizamento de camadas fluidas umas sobre as outras, a FORÇA DE VISCOSIDADE. Essa força, que só aparece quando fluido está em movimento, corresponde ao aparecimento das FORÇAS TANGENCIAIS. Um fluido real sempre tem alguma viscosidade... Como a viscosidade introduz complicações consideráveis, a dinâmica dos fluidos desenvolveu-se em primeiro lugar ignorando seus efeitos, levando-os em conta somente numa abordagem posterior. Chama-se FLUIDO PERFEITO ou FLUIDO IDEAL um fluido de viscosidade desprezível. Embora NENHUM FLUIDO REAL SEJA PERFEITO, os resultados obtidos na dinâmica dos fluidos ideais podem ser aplicados em muitos casos (com algumas precauções) a fluidos reais, o que justifica o seu estudo. Num FLUIDO PERFEITO, não existem tensões tangenciais, mesmo quando ele está em movimento, de modo que as FORÇAS SUPERFICIAIS continuam correspondendo a PRESSÕES, normais (perpendiculares) às superfícies sobre as quais atuam. Isto é, P(p,n) , a pressão P em função da posição p e à normal n. Com efeito, na demonstração dada para um FLUIDO EM EQUILíBRIO (ex., fluido em repouso num recipiente) a contribuição das forças volumétricas foi desprezada por ser proporcional a dV. É por isso que a pressão se mantém constante numa mesma horizontal, uma vez que as componentes vetoriais de pressão nessa mesma horizontal anulam-se. Em particular, as superfícies isobáricas (mesma pressão) são também superfícies equipotenciais (mesmo potencial, nesse caso, potencial gravitacional). Daí, surge a expressão: P = Po + j . g . h Para um FLUIDO EM MOVIMENTO, à 2º lei de Newton, aplica-se j = dM / dV dM . a = j . a . dV Mas como dV = A . v . dT Que é a massa que passa através de um tubo com duas secções transversais distintas em um intervalo de tempo. Onde A = secção transversal, v = velocidade de escoamento da partícula fluida. À partir daí, decorre o princípio de CONSERVAÇÃO DA MASSA (toda massa fluida que entra sai). Assim, nas extremidades do tubo, dM1 = dM2 ,ou seja, j1 . A1 . v1 . dT1 = j2 . A2 . v2 . dT2 O que dá j1 . A1 . v1 = j2 . A2 . v2 = constante. Expressando, desse modo o ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO (massa fluida não varia com o tempo, desprezando turbilhonamentos iternos do fluido; note a ausência da variável tempo dT). Considerando um FLUIDO IMCOMPRESSÍVEL ( j1 = j2 ,densidade constante ), a expressão torna-se A1 . v1 = A2 . v2 Que é a EQUAÇÃO DE CONTINUIDADE e mede o volume de fluido que atravessa a secção transversal do tubo por unidade de tempo, e chama-se VAZÃO DO TUBO; medida em m3/seg. Nota-se que a velocidade é inversamente proporcional à secção transversal do tubo. Onde o tubo sofre um ESTRANGULAMENTO, o fluido tem de se escoar mais rapidamente para que a vazão permaneça a mesma. Para um FLUIDO COMPRESSÍVEL ( j1 # j2 ,densidade varia ), a expressão j1. A1 . v1 = j2 . A2 . v2 mostra que, se A1 = A2 , a densidade varia na razão inversa da velocidade. Esse exemplo pode ser aplicado ao escoamento estacionário de carros numa estrada: em regiões onde a velocidade diminui (por exemplo, em frente a postos de fiscalização!), a densidade de carros tende a aumentar. Se quisermos formular o princípio de conservação da massa no caso geral do escoamento não-estacionário de um fluido compressível, não adianta considerar um tubo de corrente, porque as "linhas de corrente" (linhas imaginárias, representando a trajetória da partícula fluida) mudam a cada instante, originando escoamento turbulento. No escoamento estacionário, as linhas de corrente coincidem com as trajetórias das partículas do fluido. Duas linhas de corrente nunca podem se cruzar, porque, num ponto de cruzamento, haveria uma ambigüidade na direção da velocidade, com duas direções diferentes no mesmo ponto. Logo, num ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO, as partículas de fluido que estão dentro de um dado tubo de corrente, num dado instante, nunca podem atravessar as paredes desse tubo: permanecem sempre dentro dele, e o fluido se escoa dentro do tubo como se suas paredes fossem sólidas, constituindo uma canalização. Isto quer dizer que diferentes partículas do fluido sempre passam pelo mesmo ponto com a mesma velocidade, embora possa variar de ponto a ponto. O escoamento de água a baixas velocidades numa canalização ligada a um grande reservatório é, com boa aproximação, estacionário. Num ESCOAMENTO NÃO-ESTACIONÁRIO, as linhas de corrente variam a cada instante e não coincidem mais com as trajetórias. Um caso extremo é o escoamento turbulento, como o de água numa cachoeira, em que a velocidade varia de forma extremamente rápida e irregular tanto em função do tempo como em função da posição. O tratamento teórico de muitos problemas de dinâmica dos fluidos é extremamente complexo. A solução então é considerar um volume V fixo do fluido, limitado por uma superfície fechada S, e que cada elemento n' (vetor unitário da normal) seja orientado para fora de V em cada ponto de S . A massa total fluida contida dentro do volume V num dado instante é a soma (cálculo integral) de ponto a ponto de V no instamte considerado... OBS: Aqui, omiti os cálculos integais por serem demonstrações gerais das expressões das Lei de Conservação da Massa num fluido.
Voltando à primeira expressão obtida
pela lei de Newton Para um fluido em movimento Onde f = densidade de força volumétrica externa, p = gradiente de pressão (a pressão varia em 3 dimensões, onde a pressão decresce com a altitude). Substituindo uma expressão na outra, obtemos
a EQUAÇÃO DE MOVIMENTO DE UM FLUIDO PERFEITO: A relação entre a aceleração a e a velocidade v num ponto fixo do fluido não é simples, porque a é a aceleração de uma partícula do fluido, acompanhada em seu movimento, enquanto v se refere a um ponto fixo. Pela mesma razão a mecânica quântica ainda não se pode dizer com precisão a posição e a velocidade de uma partícula subatômica. Ou se prediz uma ou outra, nunca as duas ao mesmo tempo! O caso mais importante na prática é aquele em que f se reduz à densidade de força gravitacional, dada por f = - grad ( p + j . g . z ) onde z=altura ,mostrando que a pressão p se comporta como uma densidade de energia potencial (gravitacional). Esta energia está associada às forças superficiais internas, que podem realizar trabalho sobre a superfície de um elemento de volume quando esta superfície se desloca. Para a = 0 , as expressões j . a = f - grad p e j . a = - grad ( p + j . g . z ) se reduzem às equações básicas da estática dos fluidos. São elas: f = grad p (f varia em função de p) e p ( z ) = - j . g . z + constante (p varia em função de z) , respectivamente.
Equação de Bernoulli. Ao movimento de um FLUIDO PERFEITO, descrito pelas equações da estática acima, aplica-se as leis da conservação da energia (note que não há atrito), limitando-se ao ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO (massa fluida não varia com o tempo, desprezando turbilhonamentos internos) de um FLUIDO PERFEITO INCOMPRENSÍVEL (densidade constante). dM1 = j . A1 . v1 . dT = j . A2 . v2 . dT = dM2 A variação de energia cinética corresponde a esse transporte é: dEc = 1 / 2 . dM2 . v2^2 - 1 / 2 . dM1 . v1^2 (Obs: em v2^2 e v1^2 , o símbolo ^2 indica v1 e v2 ao quadrado). Esta variação é igual ao trabalho realizado pelas forças que atuam sobre o sistema, ou seja, pelas forças de pressão e pela gravidade. Trabalho de uma força é o produto de uma força dF pelo deslocamento x. O trabalho das forças de pressão é:
O trabalho das forças gravitacionais é:
Onde o sinal negativo significa que esse trabalho
é contrário à variação da energia
potencial gravitacional. 1 / 2 . v2^2 + g . z2 + p2 / j = 1 / 2 . v1^2 + g . z1+p1 / j Exprimindo a conservação da energia por unidade de massa ao longo do filete. Foi suposto que o FLUIDO É INCOMPRESSÍVEL porque para um fluido compressível existe a possibilidade adicional de variação da energia interna, armazenada sob a forma de energia térmica (efeito termodinâmico). Para o caso considerado do fluido incompressível, essa possibilidade não existe, e a expressão resultante acima, multiplicada por j ,dá a EQUAÇÃO DE BERNOULLI: 1 / 2 . j . v^2 + p + j . g . z = C Onde C é constante ao longo de um filete. Este resultado foi publicado por Daniel Bernoulli em seu tratado "Hidrodinâmica" (1738). A constante C pode tomar valores diferentes, em geral, sobre filetes de corrente diferentes (a rigor, um valor de C deve ser associado a cada linha de corrente, adotando dois pontos onde um é o referencial). Entretanto é comum na prática aplicar a equação de Bernoulli ao escoamento estacionário de um líquido que se origina num grande reservatório cuja superfície livre está em contato com a atmosfera. Se dividirmos todos os termos da Equação de Bernoulli por j. g ,obtemos outra forma equivalente da Equação de Bernoulli: z + v^2 / 2 . g + p / j . g = C' Onde C' = C / j . g que também é constante ao longo do filete de corrente dentro do tubo. Todos os termos da Eq. de Bernoulli têm dimensões de comprimento e costumam ser interpretados em termos de alturas. Onde: z é a altura do filete em relação ao referencial 0 ou simplesmente a altura geométrica; v^2 / 2 .g é a expressão de Torricelli e representa a altura da qual um corpo deve cair em queda livre a partir do repouso para adquirir a velocidade v ,e chama-se altura cinética; p / j . g é a altura da coluna do fluido considerado correspondente à pressão p num barômetro que empregasse esse fluido, chama-se altura piezométrica (medida da pressão). Desse modo, a EQUAÇÃO DE BERNOULLI pode ser enunciada: "A soma das alturas geométricas, cinéticas e piezométricas permanece constante ao longo de cada linha de corrente no escoamento estacionário de um fluido incompresível no campo gravitacional".
Algumas Aplicações da Equação
de Bernoulli. Tubo de Pitot Para medir a pressão ou a velocidade de um fluido em movimento, é necessário introduzir nele algum instrumento de medida, que geralmente perturba o escoamento. Para relacionar o resultado obtido com a grandeza a medir, é preciso compreender a natureza dessa perturbação. Assim ,se introduzirmos num campo de escoamento inicialmente uniforme, de velocidade v, um corpo afilado, de forma "aerodinâmica", ele perturba as linhas de corrente da seguinte maneira: No ponto O, o fluido é freiado, ou seja, a velocidade reduz-se praticamente a zero. Um tal ponto chama-se ponto de estagnação. Por outro lado, num ponto A, a velocidade de escoamento quase não sofre perturbação, ou seja, continua igual a v. Se P é pressão em A e Po a pessão em O, como a diferença de altura entre esse pontos é desprezível, a EQUAÇÃO DE BERNOULLI dá, tomando vo = 0 no ponto O: Po = P + 1 / 2 . j . v^2 Isto é, a pressão no ponto de estagnação eleva-se para Po, que é chamada de pressão dinâmica, devido ao freiamento do fluido. Acoplando-se, ao aerofólio, um MANÔMETRO DIFERENCIAL DE TUBO ABERTO para medir P - Po ,obtemos um TUBO DE PITOT. Se jo=densidade do fluido no tubo, j=densidade da atmosfera em questão , h=diferença de nível entre os dois ramos do tubo, obtemos, Po - P = 1 / 2 . j . v^2 Mas como Po - P = jo . g . h , a expressão torna-se: Po - P = jo . g . h = 1 / 2 . j . v^2 Isolando a variável v, obtemos: Então: Onde SQRT significa "Raiz Quadrada" e esta expressão é utilizada para medir a velocidade dos aviões. O que permite medir a velocidade v de escoamento do fluido.
Fenômeno de Venturi Consideremos o ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO (massa fluida não varia com o tempo) de um FLUIDO INCOMPRESSÍVEL (densidade j é constante) numa canalização horizontal de secção transversal variável. Da EQUAÇÃO DE BERNOULLI ( 1 / 2 . j . v^2 + P + j . g . h = C ), dá então, tomando a referência horizontal ao longo da linha de corrente central, alturas, densidades, onde C é relativo à altura h2: P1 + 1 / 2 . j . g . v1^2 = P2 + 1 / 2 . j . g . v2^2 eq.[ I ] Da EQUAÇÃO DE CONTINUIDADE ( A1 . v1 = A2 . v2 ), obtemos: v2 = A1 / A2 . v1 eq.[ II ] De modo que v2 > v1 e, consequentemente, P2 < P1; no ponto de estrangulamento, onde a velocidade de escoamento é maior, a pressão é menor. Este fenômeno foi primeiro observado por Venturi, que esperava obter o resultado contrário, acreditando que a pressão teria de aumentar no estrangulamento, devido ao espaço mais reduzido. Pela constância da vazão, é a velocidade que tem de aumentar, e essa aceleração tem de ser devida a uma força, que só pode se originar de uma queda de pressão. No esquema acima, o fluido sobe até alturas h1 e h2 em manômetros inseridos nos pontos 1 e 2, o que permite medir a diferença de pressão P1 - P2 : P1 - P2 = ( Po + j . g . h1 ) - ( Po + j . g . h2 ) = j . g ( h1 - h2 ) = j . g . h eq.[ III ] Onde h = h1 - h2 Uma aplicação do fenômeno Venturi é o medidor de Venturi , empregado para medir a velocidade de escoameto ou a vazão numa tubulação. Para este fim, insere-se nela um estrangulamento e mede-se a diferença de pressão. Noutra aplicação é uilizado em motores que possuam carburador, fazendo que o escoamento veloz do ar que flui pelo estrangulamento ( ponto 2 da figuara acima) ocasiona uma diminuição de pressão naquele ponto. E ,à partir daí, o combustível é "sugado" do tanque e se mistura com o ar para serem lançados na câmara de combustão. Resolvendo as eq.[ I ], [ 2 ], [ 3 ]: v1 = A2 . SQRT ( 2 . g . h / A1^2 - A2^2 ) Onde SQRT significa "Raiz Quadrada" e a vazão é igual a A1 . v1 O fenômeno de Venturi também é aplicado para aspirar fluidos e produzir vácuo, utilizando a queda de pressão num estrangulamento: é o princípio das bombas aspirantes, como a trompa de água, que permite evacuar um recipiente até pressões da ordem de 20 mm Hg. A aspiração de ar de explosão baseiam-se no mesmo princípio. Se duas folhas de papel estão bem juntas e se procura separá-las soprando no espaço entre elas, elas "grudam" uma na outra. É por esse mesmo motivo que um aerofólio funciona, ou seja, o ar quando se desloca pelos perfis das asas, ele segue dois caminhos distintos proporcionando velocidades de escoamento diferente e, consequentemente, ocasionando uma diferença de pressão. Espero que eu tenha sido objetivo nas passagens do texto. Qualquer informação, dúvida, etc, favor entrar em contato. E para aqueles que também gostam de teoria aqui vai uma dica de livro: "O Fim das Certezas - Tempo, Caos e as Leis da Natureza" do autor Ilya Prigogine (prêmio Nobel de Química 1996). Para se entender os efeitos turbulentos é necessário conhecer a Teoria do Caos (movimentos e efeitos caóticos que depende da variável tempo). Inclusive o autor aborda, em um capítulo deste livro, o tema "Para Além das Leis de Newton", defendendo que uma reformulação deve ser feita tanto nas leis clássicas newtonianas que em determinado grau de complexidade deixa de ser válida, abordando também a mecânica quântica e relativística.
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