COMO ELABORAR UMA TABELA DE VERDADE

 

O Cálculo Proposicional, capítulo da Lógica Formal moderna, é uma Ciência que trata das proposições tomadas como um todo e consideradas independentemente dos seus conteúdos/matéria.

Cada proposição é, por isso e para efeitos de cálculo, simbolizada convencionalmente por uma letra minúscula (p, q, r, s, etc.), embora ao nível do nosso trabalho pessoal seja conveniente utilizarmos uma letra que nos remeta directamente para o seu conteúdo. Estes símbolos denominam-se variáveis proposicionais, porque podem simbolizar um qualquer conteúdo, por concretização. Isto significa que, por exemplo, querendo simbolizar a proposição ‘O João está a estudar,’ escolhendo uma variável que me remeta para o conteúdo da proposição, posso simbolizá-la por j ou, então, por uma qualquer letra.

j: O João está a estudar.

 

Que passos seguir para construir uma Tabela de Verdade?

1º Abstraímos de todas as qualidades das proposições menos a propriedade de serem verdadeiras ou falsas.

2º Averiguamos o número de proposições atómicas em que se decompõe o enunciado molecular.

3º Calculamos o número de linhas que vão ser necessárias para elaborar uma Tabela de Verdade.
Para fazer este cálculo realiza-se a seguinte operação: na base coloca-se o nº de valores lógicos possíveis: como aqui estamos a estudar a lógica bivalente, temos apenas dois valores lógicos: Falsidade e Verdade; e como expoente desse número coloca-se o número de proposições atómicas consideradas isoladamente, isto é, sem contar as respectivas repetições. Assim, se a proposição tiver dois átomos, temos 2² = 4 linhas. A quantidade de valores lógicos elevado ao número de proposições atómicas (2ⁿ) estabelece o número de linhas que possuirá cada uma das colunas da Tabela de Verdade.

Exemplo:
p ^ q é um enunciado com dois átomos: as proposições atómicas p e q.
Logo 2² = 4 linhas em cada uma das colunas seguintes: a coluna do enunciado atómico p; a coluna do enunciado atómico q; e a coluna da proposição total.

Exemplo:
(p ^ q) V r é um enunciado molecular com três átomos: p, q, r.
Logo 2³ = 8 linhas em cada uma das colunas da respectiva Tabela de Verdade.

4º Apesar de ser usual outro processo, de carácter analítico, nós preferimos um outro de carácter sintético.
Suponhamos que o nosso enunciado tem apenas dois átomos:
Tendo dois átomos escrevemos na primeira linha da Tabela toda a expressão:

E como ordenar os valores lógicos na situação coluna-linha? A melhor maneira de ordenar os valores F e V em cada linha por coluna, cobrindo todas as hipóteses, é, com simplicidade e eficácia, a seguinte:
Se houver dois enunciados atómicos (2² = 4):
V V
V F
F V
F F
Repare-se que a sequência de V e F é a seguinte: na primeira coluna dois a dois e na segunda coluna um a um.

Assim, no nosso exemplo, elaboramos a seguinte Tabela:

Agora resolvemos a proposição, isto é, calculamos o resultado das operações lógicas em jogo, neste caso aplicamos a lei da conjunção.

Os valores lógicos a negrito são a solução.

 

5º E se a expressão lógica fosse mais complexa como, por exemplo, esta?

a) Fazemos a matriz com toda a fórmula:

b) Como ordenar os valores lógicos na situação coluna-linha? A melhor maneira de ordenar os valores F e V em cada linha por coluna, cobrindo todas as hipóteses, é, com simplicidade e eficácia, a seguinte:
Se houver três enunciados atómicos (2³ = 8), como é este nosso caso, temos:
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Repare-se que a sequência de V e F é a seguinte: na primeira coluna quatro a quatro, na segunda dois a dois e na terceira um a um.

Se houvesse quatro enunciados atómicos ( 2⁴ = 16), teríamos

V V V V
V V V F
V V F V
V V F F
V F V V
V F V F
V F F F
F V V V
F V V F
F V F V
F V F F
F F V V
F F V F
F F F F

Repare-se que a sequência de V e F é a seguinte: na primeira coluna oito a oito, na segunda quatro a quatro, na terceira dois a dois e na quarta um a um.

... e assim sucessivamente.

c) Elaboramos a Tabela e, para o efeito, considera-se o seguinte:

·         Quando num enunciado molecular algum enunciado atómico se repetir, as proposições repetidas tomam sempre os mesmos valores lógicos em todas as colunas em que surgirem. No nosso exemplo, temos a repetição da proposição p.

Nota: A Proposição P está repetida e,  por isso,  toma nas duas colunas os mesmos valores lógicos V,V,V,V,F,F,F,F.

·        Resolvem-se as proposições negadas caso existam. No nosso caso, temos ~ q

·        Se houver parêntesis - parêntesis curvos, rectos (ou duplos curvos), etc. - temos que começar pela resolução de cada um dos parêntesis curvos, um por um, e só depois é que resolvemos os parêntesis rectos (ou duplo curvos). No nosso exemplo, temos dois parêntesis curvos a resolver:

·        A negrito estão as soluções dos dois parêntesis curvos.

·        Se houver parêntesis negados, deve fazer-se a respectiva operação lógica. A negação do parêntesis é o resultado final desse parêntesis.No nosso exemplo, o primeiro parêntesis está negado:

·        A negrito temos o resultado do primeiro parêntesis curvo e a sua negação.

 

·        Temos que descobrir o conectivo principal, pois é sobre ele que irá recair a última operação lógica. No nosso caso, o conectivo principal é o conectivo que liga os parêntesis.

·        ~ (p ^ ~ q) ^ (r ^ p)

·        O conectivo principal está aqui a negrito e ampliado.

 

·        Como o conectivo principal é aquele que, depois de resolvido todo o género de parêntesis, 'sobra', é necessário:
a) Combinar o resultado obtido no parêntesis curvo com a outra parte do enunciado se não houver mais nenhum parêntesis a resolver, posto que aquele é apenas semi-parte do enunciado.
b) Combinar o resultado obtido no parêntesis com o resultado do outro parêntesis, se fôr o caso. No nosso exemplo, a solução está na combinação da coluna da negação do primeiro parêntesis com a solução presente no segundo parêntesis.
Nota: Resolvem-se todos os parêntesis curvos, parêntesis rectos e outros, em sequência igual à da matemática.

 

A solução, combinando neste exemplo a primeira coluna com a oitava, está na coluna sexta, aliás ampliada.

Constata-se que os valores lógicos da solução são F e V, o que quer dizer que a proposição é uma contingência.

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© Grupo de Filosofia, Escola Secundária do Fundão, 2000