Teoría de Conjuntos.

La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.

Intuitiva e informalmente los objetos de estudio de la Teoría de Conjuntos quedan descritos así:

1. Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
2. Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la Teoría de Conjuntos.
3. Los únicos objetos de la Teoría de Conjuntos son los descritos en 1 y 2.

La importancia de la Teoría de Conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir toda la matemática, salvo la Teoría de Categorías.
Por ejemplo, con la Teoría de Conjuntos se pueden definir los siguientes conceptos y probar todas sus propiedades: par ordenado, relación, función, partición, orden, estructuras algebraicas, los naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos, etc.

Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos.

Son dos los conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos:

1. Conjunto: Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, una multiplicidad vista como unidad; entidad completa bien determinada.
   Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos del conjunto o miembros del conjunto.
   Por colección entenderemos a una agrupación que está determinada por una propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso.
   Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de objetos es un conjunto. Esta afirmación será demostrada más adelante.
2. Relación de Pertenencia: El ser elemento de es una relación binaria o de dos argumentos entre dos objetos de la Teoría de Conjuntos.
   Esta relación va de un objeto a otro, donde el segundo objeto es necesariamente un conjunto y el primero puede ser o no un conjunto.

Colecciones: Clases y Conjuntos.

Como se mencionó anteriormente, una colección está determinada por una propiedad P formulada en un lenguaje preciso. Una clase es una colección, cuyos objetos son los objetos de la Teoría de Conjuntos que cumplen la propiedad P que caracteriza a la colección.

Las colecciones llamadas clases, son colecciones de objetos de la Teoría de Conjuntos, y pueden ser o no conjuntos en el siguiente sentido: Todo conjunto es una clase, pero no toda clase es un conjunto.

Proposición.
La clase de todos los objetos x tales que cumplen la propiedad "x no pertenece a x", no es un conjunto.

Prueba.
Supongamos que dicha clase sí fuera un conjunto y llamémosle R. Entonces:

1. Si R no pertenece a R, R cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que R pertenece a R.
2. Si R pertenece a R, entonces R no cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que R no pertenece a R.

Así pues, hemos mostrado que: si R no pertenece a R, entonces R pertenece a R; y si R pertenece a R, entonces R no pertenece a R. Pero como R pertenece a R o R no pertenece a R, entonces necesariamente se cumple que R pertenece a R y que R no pertenece a R, lo cual es absurdo.

En conclusión, no es posible que dicha clase sea un conjunto.

Si una clase no es un conjunto le llamaremos clase no conjunto o clase propia, y no es un objeto de estudio de la Teoría de Conjuntos. Por lo anterior, la clase de todos los objetos x tales que x no pertenece a x, es una clase propia. Y se le conoce a dicha proposición como la Paradoja de Russell.

El Conjunto Universo Local.

En la Teoría de Conjuntos, se tiene como referencia, explícita o implícitamente, un universo local; es decir, un marco de referencia dentro del cual se trabaja.

Este universo local o del discurso debe de ser un conjunto, quedando muy claro este concepto, ya que no se le debe confundir con la colección de todos los conjuntos, que es una colección que no es un conjunto, sino una clase propia; por lo tanto, aunque no existe el conjunto de todos los conjuntos, si existirá en casi cada caso particular, un conjunto que tenga a todos los conjuntos de interés del discurso.

• Axioma de Separación o de Compresión.
  Si A es un conjunto cualquiera y P es una propiedad acerca de conjuntos, la colección de elementos de A que tienen la propiedad P, es un conjunto.
  
  Más precisamente, para toda propiedad P formulada en el lenguaje de la Teoría de Conjuntos lo siguiente es cierto:
  
  Para todo conjunto A, existe un conjunto B cuyos elementos son exactamente los elementos z de A tales que z cumple la propiedad P.

 

Teorema.
Para todo conjunto, hay un conjunto que no le pertenece.

Prueba.
Sea A un conjunto cualquiera. Sea D el conjunto de las y que pertenecen al conjunto A, tales que cumplen la propiedad "y no pertenece a y".

De lo anterior, por el axioma de separación, se sigue que D es un conjunto y que es subconjunto de A.
Se afirma que D no pertenece al conjunto A, pues suponiendo que D pertenece al conjunto A entonces se tiene que:

1. Si D no pertenece a D, entonces D pertenece a D, por cumplir la propiedad que caracteriza a D y por la suposición de que D pertenece al conjunto A.
2. Si D pertenece a D, entonces D cumple la propiedad, por lo tanto, D no pertenece a D.

Las dos conclusiones anteriores juntas, implican que D pertenece a D y que D no pertenece a D, y esto es absurdo.

Por lo tanto, se tiene que D no pertenece al conjunto A. Así pues, dado cualquier conjunto A, hay un conjunto D tal que D no pertenece al conjunto A.

Corolario.
Ningún conjunto puede tener como elementos suyos, a todos los conjuntos.