在多邊形中心呼喚素數
我們得先解釋何謂「中心多邊形數」(Centered Polygon Number)，且看下圖先吧！
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上圖分別是中心三角形數 (Centered Triangular Number) 、中心正方形數 (Centered Square Number) 、中心五邊形數 (Centered Pentagonal Number) 和中心六邊形數 (Centered Hexagonal Number) 的圖象。
那麼什麼是中心多邊形數呢？所謂中心多邊形數是指一由多層同心的多邊形組成的形數 (Figurate Number)。
有什麼例子呢？且看下表：
數列 |
例子 (首10個數) |
通項公式 |
生成函數 |
OEIS |
中心三角形數 |
1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136 |
3n(n-1)/2+1 |
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中心正方形數 |
1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181 |
2n(n+1)+1 |
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中心五邊形數 |
1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276 |
5n(n+1)/2+1 |
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中心六邊形數 |
1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271 |
3n(n+1)+1 |
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上表中列出各類中心多邊形數的通項公式 (General Term Formula) 及生成函數 (Generating Function)。
看罷上表以後，大家不難找出當中不乏素數，如
中心三角形數中的 19, 31, 109，以後的如 199, 409, 571, 631 和 829 等也是素數，我們稱為中心三角形素數 (Centered Triangular Prime)；
中心正方形數中的 5, 13, 41, 61, 113, 181，以後的如 313, 421, 613, 和 761 等也是素數，我們稱為中心正方形素數 (Centered Square Prime)；
中心五邊形數中的 31, 181，以後的如 331 和 601 等也是素數，我們稱為中心五邊形素數 (Centered Pentagonal Prime)；
中心六邊形數中的 7, 19, 37, 61, 127, 271，以後的如 331, 397, 547, 631 和 919 等也是素數，我們稱為中心六邊形素數 (Centered Hexagonal Prime)。若看過另文《古巴人的素數》的朋友們，不難發現這中心六邊形素數和立方差素數 (Cuban Prime) 要是相同。你沒看錯，它們真的一樣。至於為何，也不難解釋，因為我們把首 N 項的中心六邊形數加起來便是 N3 ，自然地每一個中心六邊形數也可寫成兩相鄰的立方數 (Cubic Number) 之差了。
參考文獻及網址：
Weisstein, E. W. "Hex Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HexNumber.html.
Weisstein, E. W. "Centered Pentagonal Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/CenteredPentagonalNumber.html.
Weisstein, E. W. "Centered Polygonal Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/CenteredPolygonalNumber.html.
Weisstein, E. W. "Centered Square Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/CenteredSquareNumber.html.
Weisstein, E. W. "Centered Triangular Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/CenteredTriangularNumber.html.
