由桃園結義到廿八宿
真因子圈或交際數
我們在《數數相連》的一章已談過親和數 (Amicable Pair) 的問題，其實這數圈不一定只限 2 個數，多些也可以，我們稱這更長的數鏈為真因子圈 (Aliquot Cycle) 或交際數 (Sociable Number)。
桃園結義
我們可以有 3 數 A、B 和 C 而 A 的因子總和恰好是 B 和 C 相加，B的因子總和剛剛是 C 和 A 相加，C 的因子總和回歸到 A 和 B上：這樣的三個數不是心心心相連嗎，像桃園中的劉、關、張，也像結義金蘭的好姐妹。
我們稱這小集團為「金蘭數」或正式的親和三重數 (Amicable Triple)。但理論可好，真實存在否？是有的，但也小。
下為一例，由美國數學家迪克森 (Leonard Eugene Dickson 1874-1954) 在 1913 至 1952 年間發現 8 組中最小的一組：
A = 123228768 = (25)(3)(13)(293)(337)，s(A) = 227355648 = 103340640+124015008
B = 103340640 = (25)(3)(5)(13)(16561)，s(B) = 247243776 = 124015008+123228768
C = 124015008 = (25)(3)(13)(99371)， s(C) = 226569408 = 1232286768+103340640
式中的 s(n) 為數 n 的因子總和。其實 A 和 B 的因子有 96 個，C 少一些，也有48 個：驗証是艱辛的工作，留給諸位好了。
迄今為至，我們對親和三重數的研究仍有限。多附一例，以供參考。
A = (214)(3)(5)(19)(31)(89)(151) = 1945330728960
B = (214)(5)(11)(19)(29)(31)(151) = 2324196638720
C = (214)(5)(19)(31)(151)(359) = 2615631953920
另外，我們亦可從真因子總和去定義親和三重數，也可從因子總和去作定義：
四進士
大家或會問，那麼有沒有親和四重數 (Amicable Quadruple) ，當然是有的。
若四數的真因子總和符合上式，那便是親和四重數了。
另外若 (a,b) 和 (c,d) 都是親和數，且
那 (a,b,c,d) 便是一親和四重數，因為：
而最小的一組是 (842448600, 936343800, 999426600, 1110817800)。
此外我們亦可用下列公式尋找較大的親和四重數：
式中
式中 Mn 為梅森素數 (Mersenne Prime) ，n 是特定素數且大於 3 。
廿八宿
我國古代天文學者把黃道諸星劃分為二十八個星區，以命廿八星宿：
角、亢、氐、房、心、尾、箕：屬東方青龍，
井、鬼、柳、星、張、翼、軫：屬南方朱雀，
奎、婁、胃、昴、畢、觜、參：屬西方白虎，
斗、牛、女、虛、危、室、壁：屬北方玄武 (蛇纏龜)。
這好比天將般鎮守天庭。
和親和數組相關的是真因子圈，即一數的真因子總和等於第二數，第二數的真因子總和等於第三數，如此下去。大家或會想這數鏈可有多長呢？
上面已告知大家了，是 28。
序號 |
自然數 |
素因子分解式 |
真因子個數 |
1 |
14316 |
(22)(3)(1193) |
11 |
2 |
19116 |
(22)(34)(59) |
29 |
3 |
31704 |
(23)(3)(1321) |
15 |
4 |
47616 |
(29)(3)(31) |
39 |
5 |
83328 |
(27)(3)(7)(31) |
63 |
6 |
177792 |
(27)(3)(463) |
31 |
7 |
295488 |
(26)(35)(19) |
83 |
8 |
629072 |
(24)(39317) |
9 |
9 |
589786 |
(2)(294893) |
3 |
10 |
294896 |
(24)(7)(2633) |
19 |
11 |
358336 |
(26)(11)(509) |
27 |
12 |
418904 |
(23)(52363) |
7 |
13 |
366556 |
(22)(91639) |
5 |
14 |
274924 |
(22)(13)(17)(311) |
23 |
15 |
275444 |
(22)(13)(5297) |
11 |
16 |
243760 |
(24)(5)(11)(277) |
39 |
17 |
376736 |
(25)(61)(193) |
23 |
18 |
381028 |
(22)(95257) |
5 |
19 |
285778 |
(2)(43)(3323) |
7 |
20 |
152990 |
(2)(5)(15299) |
7 |
21 |
122410 |
(2)(5)(12241) |
7 |
22 |
97946 |
(2)(48973) |
3 |
23 |
48976 |
(24)(3061) |
9 |
24 |
45946 |
(2)(22973) |
3 |
25 |
22976 |
(26)(359) |
13 |
26 |
22744 |
(23)(2843) |
7 |
27 |
19916 |
(22)(13)(383) |
11 |
28 |
17716 |
(22)(43)(103) |
11 |
29 |
14316 |
即第一個數 |
尋找更長的真因子圈是數學家的一種挑戰，說不定我們可為三十六計、梁山泊一百零八條好漢譜上數鏈。
六奇圈
我們不難從上例中發現他們全是偶數，大衛．摩爾斯 (David Moews) 和 保羅．摩爾斯 (Paul C. Moews) 找到了一組長度為 6 的奇真因子圈：
21548919483= |
(35)(72)(13)(17)(19)(431) |
23625285957= |
(35)(72)(13)(19)(29)(277) |
24825443643= |
(32)(72)(11)(13)(19)(20719) |
26762383557= |
(34)(72)(13)(19)(27299) |
25958284443= |
(32)(72)(13)(19)(167)(1427) |
23816997477= |
(32)(72)(13)(19)(218651) |
另外他們亦找到 3 個長度為 4 的數圈，起始數值分別為 15837081520 、17616303220 和 21669628904。
圈圈多問題
人們在親和數中面對的難題，即「奇偶性不同」和「互素 (Coprime)」，在這些真因子圈中一樣存在。人們猜想對每一個長度而言，有無限多個數圈，但現在這不過仍是一「猜想」而已。
參考文獻及網址：
Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, pp. 38-50, 2005.
Guy, R. K. "Aliquot Sequences." §B6 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 60-62, 1994.
Weisstein, E. W. "Amicable Quadruple." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/AmicableQuadruple.html.
Weisstein, E. W."Amicable Triple." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/AmicableTriple.html.
