數數相連
瑞士數學家歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783)
(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )
婚戒上的數字
我們先看一個例子，是約翰和瑪莉婚戒上的數字：
220 = (22)(5)(11)，284 = (22)(71)
220的真因子總和 (Sum of Aliquot Divisors) ：s(220) = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284
284的真因子總和：s(284) = 1+2+4+71+142 = 220
這對數字互相包含，正是數 A 的真因子 (Aliquot Divisor) 總和等於數 B ，數 B 的真因子總和恰好又是數 A 。這兩數便是一對「親和數」 (Amicable Pair)，這回不是「我心中有你，你心中有我」嗎？而上例正是最小的一對親和數了。用函數表示即
s(A) = B 及 s(B) = A
或
s(A) = s(B) = A + B
自古以來，親和數已吸引了不少數學家和業餘愛好者的垂青。從前，傑出的古代中東數學家塔別脫．本．科拉 (Thabit ibn Kurrah 836-901) 就建立了一個有名的親和數公式：
設 a = 3*2n-1 ， b = 3*2n-1-1 ， c = 9*22n-1-1，
這裡 n>1 及 a、b、c全是素數時，則 2nab 與 2c 就是一對親和數了。下表列出自 n = 2至 5的情況。
n |
a |
b |
c |
親和數 A |
親和數 B |
2 |
11 |
5 |
71 |
220 |
284 |
3 |
23 |
11 |
(287) |
c 不是素數
|
|
4 |
47 |
23 |
1151 |
17296 |
18416 |
5 |
(95) |
47 |
(4607) |
a 和 c 都不是素數
|
|
其中 n = 2 是我們引來的例子， n = 4 是由業餘數學王子費馬 (Pierre de Fermat 1601-1665) 發現的。
大家都注意到上式給出的親和數全是偶數，但事實卻不是這樣。
瑞士數學大師歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783) 也曾對親和數花了不少時間，並在1750年，一口氣拋出 60 對親和數，使人們大為吃驚。可是這卻窒礙了親和數的研究，人們以為大數學家也研究過，且有成果，研究空間也不大了，再也鑽探不到什麼好東西來。一百多年過去了，親和數似被人遺忘了，但突然又熱熾起來，1886年左右，一名16歲意大利少年巴格里尼 ( B. M. I. Paganini) 公開宣佈發現了一對比 220 和 284 稍大的親和數： 1184 和 1210 ，這是第二對親和數。原來當年歐拉發現了長大數十位的「天文數字」親和數，偏偏漏了近在身邊的一對，可以說是「遠在天邊，近在眼前。」
在美國耶魯大學的 IBM 7094計算機上，對一百萬以下的自然數進行徹底清查，找到 42 對親和數，當中也有未被發現的。現在尋找親和數的最佳方法是求出數 A 的真因子總和 B，再找出數 B的真因子總和，判斷是否一樣，一個一個的幹下去。
下面是部份的親和數：
| 220 與 284 | 1184 與 1210 | 2620 與 2924 | 5020 與 5564 |
| 6232 與 6368 | 10744 與 10856 | 12285 與 14595 | 17296 與 18416 |
| 63020 與 76084 | 66928 與 66992 | 67095 與 71145 | 69615 與 87633 |
| 79750 與 88730 | (欲看更多，這邊有請) |
其中第 7 、11 和 12 對是奇數。1968年布拉特雷 (P. Bratley) 和 麥凱 (J. McKay) 提出一個和奇親和數相關的猜想：所有奇親和數 (Odd Amicable Pair) 均可被 3 整除，且成為數論 (Number Theory) 中一未解的難題。直到1988年，巴蒂亞托 (S. Battiato) 和博厚 (Walter Borho) 利用電子計算機找到一例外，不能被 3 整除的奇親和數，從而推翻了布拉特雷猜想。其後他們還找到了15對例外，下是當中最小的一對奇親和數又不是 3 的倍數：
a = s * 140453 * 85857199
b = s* 56099 * 214955207
其中 s = (54)(73)(113)(172)(19)(612)(97)(107)，
若把其乘開，則有
a = 353804384422460183965044607821130625
b = 353808169683168273495496273894069375
它們全都是 36 位的大數，實不易找，會不會有更小的例外呢？會不會有只有一個是 3 的倍數的奇親和數呢？
到 1997年10月4日止，最大的一對親和數是由加西亞 (Mariano Garcia) 找到，這是一對有 4829 個數位的數字。
CM[(P+Q)P89-1] 和 CQ[(P-M)P89-1]
其中
| C = 211P89 |
| M= 287155430510003638403359267 |
| P= 574451143340278962374313859 |
| Q= 136272576607912041393307632916794623 |
當中的 P、Q、(P+Q)P89-1 和 (P-M)P89-1 全是素數。
另外李爾 (Elvin J. Lee) 發現判別形如 2npq 和 2nrs 的親和數的方法：
只要 p=3*2n-1-1 ，q=35*2n+1-29 ，r=7*2n-1-1 ，s=15*2n+1-13 ，且四數均為素數。但要此四數同為素數，似乎是難於登天。
看看親和數
印度數學家古巴達 (Shyam Sunde Gupta) 指出一些他對親和數的有趣觀測結果：
沒有任何親和數的成員是平方數。
有些親和數，如 (69615,
87633) ，它們的數位總和 (Sum of Digits) 是相同的：
Sp(69615) = 6 + 9 + 6 + 1 + 5 = 27
Sp(87633) = 8 + 7 + 6 + 3 + 3 = 27
其它的，符合這條件的親和數還有：
(100485, 124155) |
(1358595, 1486845) |
(9773505 ,11791935) |
(15938055, 17308665) |
(20308995, 20955645) |
(31536855, 32148585) |
(35115795, 43266285) |
(46271745, 49125375) |
(46521405, 53011395) |
(63560025, 65003175) |
(63717615, 66011985) |
(84521745, 107908335) |
(115259625, 123757335) |
(127924335, 148532625) |
(131118975, 132926625) |
(欲看更多，這邊有請) |
我們發現在首 5000 對親和數中，便有 427 對是數位總和相等的。
有些親和數，如 (2620,
2924)，它們均可整除各自的數位總和：
Sp(2620) = 2 + 6 + 2 + 0 = 10，2620 = 262 * 10
Sp(2924) = 2 + 9 + 2 + 4 = 17，2924 = 172 * 17
符合這條件的親和數我們稱為哈撒親和數 (Harshad Amicable Pairs) 其它的還有：
(10634085, 14084763) |
(23389695, 25132545) |
(34256222, 35997346) |
(46521405, 53011395) |
(63560025, 65003175) |
(80422335, 82977345) |
(120812175, 126671985) |
(190888155, 194594085) |
(256948065, 263110815) |
(281499435, 297034965) |
(291679245, 339731955) |
(311414355, 338659245) |
(347401035, 365917365) |
(388904355, 465418845) |
(405370035, 473836365) |
(欲看更多，這邊有請) |
我們發現在首 5000 對親和數中，便有 192 對哈撒親和數。
問問親和數
現在學者主要從兩方面研究親和數：
尋找新的親和數；
尋找親和數的公式；
斷定親和數是否有無限對；
是否存在一奇一偶的親和數；
是否存在一對互素
(Coprime) 的親和數。(有人估計，若真的存在，這也是大於 1023 的數組。)
上述問題，是源於親和數的本質以使其不出現奇偶性不同或互素的親和數，還是巧合，暫無人知。看來這「親和大使」未能親和奇偶，未能親和「陰陽」吧！這問題是歐拉提出的，200多年也沒有寸進，看來要發現一陰一陽，不比找到奇完全數 (Odd Perfect Number) 容易。
塔別脫．本．科拉數
注意到十世紀中東數學家塔別脫．本．科拉的發現，當中 a = 3 * 2n - 1 便成了塔別脫．本．科拉數 (Thabit ibn Kurrah Number)：
如 2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, ...... (OEIS A055010)。其中當 n = 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, ...... (OEIS A002235) 時會出現塔別脫．本．科拉素數 (Thabit ibn Kurrah Prime)，對應為 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, ...... (OEIS A007505)。現在知道最大的一個為 n = 164987。
參考文獻及網址：.
Gupta, S. S. "Harshad Amicable Pairs." From Number Recreations. http://www.shyamsundergupta.com/apharshad.htm.
Gupta, S. S. "Amicable Numbers." From Number Recreations. http://www.shyamsundergupta.com/amicable.htm.
Gupta, S. S. "Amicable Pairs With Numbers Having Same Sum Of Digits." From Number Recreations. http://www.shyamsundergupta.com/apsd.htm.
Guy, R. K. "Amicable Numbers." §B4 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 55-59, 1994.
Pedersen, J. M. "Known Amicable Pairs" http://amicable.homepage.dk/knwnc2.htm.
Weisstein, E. W. "Amicable Pair." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/AmicablePair.html.
