庫默爾的證明

德國數學家庫默爾 (Ernst Eduard Kummer 1810-1893)

(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

庫默爾的證明

本文已有文章提及歐幾里德 (Euclid 約前325 - 約前265) 如何證明存在無限多個素數。 (可參考《天下素數有多少》一文)

但證明之法又何止一個，上文同時言及另一數學家歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783) 的證明，但由於內容比較艱深，故只略為短介而已。現在本文為大家介紹另一個證明。這證明來自生於歐幾里德死後二千多年的一位德國數學家庫默爾 (Ernst Eduard Kummer 1810-1893) ：

庫默爾假設存在有限個素數，且把它們順序列出，即 2 < p₁ < p₂ < ...... < p_r ，

且考慮下正整數 N = (2)*( p₁)*(p₂)*......*(p_r) >2，

N-1 是一合數 (由於 N-1 不等於上述任何一個素數)，故 N-1 必是上述其中一個素數 p_j (j 介乎 1 至 r 之間) 的倍數。

故 p_j 整除 N 及 (N-1) ，即 p_j 整除 N-(N-1) = 1，矛盾。

乍看之下，這庫默爾的證明和歐幾里德的證明大同小異，只不過一個利用了 N+1 ，而另一個選用了 N-1 而已，但這卻已是二千多年後的發現。我們不禁要問出生於兩人之間的數學家們是不是太不小心了。

素數三兄弟

自歐幾里德和庫默爾的證明中，數學家產生了靈惑，找來了三類素數：階乘素數 (Factorial Prime) 、素連乘素數 (Primorial Prime) 和合乘素數 (Compositoral Prime)。這相信連歐幾里德本人也始料未及。

所謂階乘素數是形如 n!±1 的素數，而素連乘素數則是形如 p#±1 的素數，而合連乘素數即是指把某一數以內的合數全相乘再加或減 1，記為 n!/n#±1。

n!+1	的素數有 n = 1、2、3、11、27、37、41、73、77、,,,,,,	(OEISA002981)
n!-1	的素數有 n = 3、4、6、7、12、14、30、32、33、38、94、,,,,,,	(OEISA002982)
p#+1	的素數有 p = 2、3、5、7、11、31、......	(OEISA005234)
p#-1	的素數有 p = 3、5、11、41、89、......	(OEISA006794)

上表只列出 n 或 p 在 100 以內的素數，當然未能滿足欲窺巨大素數的網友吧！放心，本章之後數篇文章會為大家詳細介紹相關素數之現今發展，當然不乏巨大素數介紹。