Un fractal es un objeto que exhibe recursividad, o autosemejanza a cualquier escala, es decir, tiene la propiedad de que una pequeña sección suya puede ser vista como una réplica a menor escala de todo el fractal.
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A partir de una superficie (dimensión 2)
Generación del Triángulo de Sierpinski hasta la 5ª iteración
Los fractales se obtienen mediante un proceso iterativo que consiste en la aplicación repetitiva de una o varias transformaciones geométricas o aplicando algunos algoritmos iterativos.
Las transformaciones geométricas que se aplican en el proceso iterativo de obtención de los fractales son: homotecia, giro y traslación. Estas transformaciones tienen carácter contractivo debido a que el factor de homotecia es siempre menor que 1.
La iteración de diversas transformaciones geométricas aplicadas a un objeto arbitrario conduce a figuras fractales similares a fotografías de objetos reales como nubes, helechos, montañas, paisajes.
Los fractales también se obtienen aplicando iteración mediante funciones matemáticas. El conjunto de Mandelbrot es un ejemplo de este tipo de fractales, que se obtienen aplicando una función iterativa sobre el conjunto de los números complejos.
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A partir de un segmento (dimensión 1): se muestran las primeras 6 iteraciones.
Curva de Koch
¡TOMA LÁPIZ Y PAPEL!
La medición de formas fractales (fronteras, poligonales, etc.) ha obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos geométricos clásicos. El concepto de longitud no está claramente definido. La longitud de la línea fractal depende de la longitud de instrumento, o de la unidad de medida que tomemos, la noción de longitud en estos casos, carece de sentido.
Para ello se ha ideado otro concepto: el de dimensión fractal, que sea una generalización de la dimensión euclídea.
Sabemos que en geometría clásica un segmento tiene dimensión uno, un círculo tiene dimensión dos, y una esfera tiene dimensión tres. Para que sea coherente con lo dicho una línea fractal tiene que tener dimensión menor que dos (no llena toda la porción de plano).
En general lo que sucede es que la longitud de la curva fractal es superior a la del segmento de recta que lo genera, y por lo tanto, en general la dimensión fractal será un número comprendido entre uno y dos.