Partamos de la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad.
| ¿Cómo se construyen los fractales? | ||
| Curva de Koch | ||
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Consideramos un segmento de longitud unidad |
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Primer paso: Dividimos en 3
partes iguales el segmento anterior. Se construye un triángulo
equilátero sobre el segmento central y se suprime la base.
Queda la primera poligonal que representamos por K1 y cuya longitud es cuatro veces un tercio de la unidad, es decir, L(K1) = 4.(1/3) |
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Segundo paso: Sobre cada uno
de los 4 lados anteriores, repetimos el primer paso. Queda la poligonal K2, siendo la longitud de cada lado un tercio de cada tercio anterior y esto repetido 4 veces por cada 4 lados de K1, así que: L(K2) = 42 (1/3)2 |
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Tercer paso: idem el
anterior. Queda la poligonal K3 , de 64 lados (ó 43 lados) y de longitud: L(K3) = 43 (1 / 3)3 = (4 / 3)3
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Al llegar al paso n tenemos una poligonal Kn de 4n lados y longitud total L(Kn) = (4/3)n | |
| Isla de Koch (también denominada copo de nieve) | ||
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Si lo que hemos hecho, en la curva de Koch, a partir del segmento de longitud unidad, se hace sobre cada lado de un triángulo equilátero, se obtiene un triángulo limitado por tres curvas de Koch. ¿Cuál será el perímetro en el paso 3 si el perímetro del triángulo original es de 9 cm?
¿Cuál será el perímetro en el paso n sabiendo que el perímetro del triángulo de partida es P?
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| Triángulo de Sierpinski | ||
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Seguidamente tomemos los puntos medios de cada lado y construyamos a
partir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado 1/2. Lo
recortamos.
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Ahora repetimos el proceso con cada uno de
los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Los triángulos a recortar son los de lado (1/2).(1/2) = 1/4. El proceso se repite hasta obtener un triángulo de Sierpinski tan detallado como se desee.
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| Alfombra de Sierpinski | ||
| ¿Cuál será la ley de recurrencia para obtener las figuras de la sucesión de la derecha?
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| Dragón | ||
| Escribe las reglas
para construir el dragón usando fractales.
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| Conjunto de Mandelbrot | ||
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La función matemática que define al conjunto de Mandelbrot puede expresarse como el conjunto de todos los valores posibles de c (siendo c un número complejo) tal que la ley de recurrencia sea:
Zn = Zn-1 2 + c
No podemos dejar de recomendarles esta página donde analiza con detalle al conjunto de Mandelbrot: http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo5/frames.htm
Para observar la autosemejanza de este fractal te recomendamos bajes el programa Xaos.exe desde aquí "XaoS Windows 98 version 3.1" (si no funciona, intenta aquí http://www.rupert.id.au/fractals/index.php )
Una vez abierto el programa, con solo clickear con el botón izquierdo o el derecho del mouse, la imagen se acerca o aleja. |
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