Explicación

“Las coordenadas radiales son coordenadas esféricas en movimiento”

Este sistema de coordenadas no usa como base parámetros trigonométricos de unión con las coordenadas cartesianas (senos, cosenos, etc.) sino vectores de velocidad (angular) W y (lineal) V

Con lo cual estas coordenadas pueden definirse como matemática dinámica.

Las coordenadas radiales es un sistema de coordenadas esféricas que son usadas como conjunto al estar unidos y desarrollarse todos sus parámetros mediante un vector de tiempo.
Dicho vector de tiempo, tomado desde su inicio hasta su finalización, y el conjunto de fórmulas y parámetros que lleva unidos, nos puede expresar recorridos y figuras geométricas.
Para ello, las fórmulas de coordenadas radiales se aplican a una partícula P figurada que recorre y dibuja los elementos que deseemos construir.
En el dibujo se muestra este sistema, en el cual P es la imaginaria partícula que nos describirá y dibujará las figuras que queramos construir.
--C es el centro o punto de apoyo desde donde vamos a construir la figura o recorrido.
--R es el radio o distancia desde el centro C a la partícula P en cada momento del recorrido.
--O es coordenada radial en sentido horizontal. Dichas coordenada se mide en grados y en velocidad angular (Wo)
--H es la coordenada vertical medida desde la horizontal O. Se mide en grados y tiene su velocidad angular Wh.
--t es el tiempo que une a todas las fórmulas y que impulsa el movimiento en cada una de ellas.
Además de estos parámetros simplificados, puede existir sustitución de algunos de ellos por vectores de velocidad. Por ejemplo, la velocidad angular de H, (Wh) puede ser sustituida por un vector de desplazamiento ( v.t) del punto C hacia la vertical H.

Fórmulas

En este primer estudio de coordenadas radiales vamos a ver principalmente las fórmulas que usaremos para describir figuras y cuerpos geométricos en el espacio.
Como en este caso, lo que nos interesa no es la situación circunstancial de la partícula P que dibuja los cuerpos geométricos, sino la totalidad de la figura ya creada, pues usaremos la letra f que significará "figura que construye y describe la fórmula" con un prefijo que nos diga el nombre de la figura a construir, después el signo de igualdad = y la fórmula que construye ésta figura.
Sería como se detalla en dibujo siguiente:

Ejemplos de uso:

Ahora veremos algunos ejemplos muy simples de cómo pueden usarse las coordenadas radiales.
No obstante su uso es ilimitado y pueden construirse todo tipo de figuras y cuerpos geométricos, así como órbitas, recorridos, etc.

Circunferencias

La circunferencia podríamos considerarla como la figura más simple que se pueden construir o dibujar con las coordenadas radiales.
En este caso basta con situar un punto central C como centro de la circunferencia; un radio R que nos dará la amplitud de la circunferencia y un punto de partida P que será el lugar donde comenzaremos a construirla.
Veremos después que las circunferencias se pueden construir en cualquier dirección, según las coordenadas radiales a las que les apliquemos el movimiento.
La primera circunferencia a construir será una situada sobre la horizontal, tal como si lo hiciésemos con un compás sobre una hoja de papel situada sobre nuestra mesa.

Para ello podríamos imaginar que tomamos una hoja de dibujo y la situamos sobre nuestra mesa.
En el dibujo 2 vemos este ejemplo de construcción observando primero el papel sobre la mesa.
Sobre ese plano horizontal (que le llamaremos en adelante coordenada O) fijamos un punto central C que tomaremos como centro de la circunferencia. Así mismo medimos una distancia R hacia un punto de nuestro gusto P para fijar dónde comenzamos a construir la circunferencia.
Una vez preparados para dibujar la circunferencia, lo único que tenemos que hacer imprimir una velocidad angular Wo al punto P y hacerlo girar sobre el punto C o centro.
Es por tanto lo mismo que haríamos con un compás, pero esta vez construyendo una circunferencia imaginaria mediante una fórmula matemática.
Pues bien, para representar esta fórmula matemática utilizamos la fórmula general de las coordenadas radiales que se marcha en la Dibujo 1, que consta de una letra principal R que es el radio y unos índices y subíndices que representan cada una de las coordenadas radiales.
Este caso del dibujo de circunferencias sobre la coordenada horizontal O, la fórmula es la del dibujo 2. R y el subíndice O + Wo x t.
--El radio R es una constante que podemos escoger para darle amplitud a la circunferencia.
--La marca primera del subíndice ( O ) es el punto de la coordenada donde queremos empezar a construir la circunferencia.
--Wo es la velocidad angular de giro que le damos a esta coordenada O.
--Y t es el tiempo que durante el cual queremos que la circunferencia se esté construyéndose.
Ya veremos que este tiempo puede ser infinito, lo cual nos producirían una construcción constante de la circunferencia.

Circunferencia sobre la coordenada vertical H

Del mismo modo que construimos la circunferencia anterior sobre la coordenada horizontal O, también podemos hacerlo sobre la coordenada vertical H. Dibujo 3
En este caso fijamos también un punto central que coincide con el punto central de la coordenada O, y desde él medimos un radio en la dirección que deseemos y al final del radio estará el punto desde el cual vamos a empezar a construir la circunferencia en vertical.
De igual modo que en la anterior circunferencia, en esta vertical damos una velocidad angular Wh de giro sobre el punto C y obtendremos una circunferencia vertical.
La fórmula estará en este caso representada (dibujo 3) por el por el centro C; el Radio R de la circunferencia; por la velocidad angular Wh de la coordenada H, por el tiempo de ejecución y por la marcación en grados que tiene la coordenada O -que será una constante - para poder definir la situación de la circunferencia con respecto a esta coordenada O.

Espirales

Las espirales las podemos dibujar en cualquier posición igual que la circunferencia.
Si por ejemplo queremos hacerla sobre la horizontal o coordenada O (final del dibujo 3), marcamos el punto central C (u otro punto cualquiera de la coordenada O) y procedemos igual que con la circunferencia, es decir, dando una velocidad angular Wo al punto P (que en este caso puede coincidir con el centro) para hacerlo girar sobre el punto central C.
La gran diferencia con la construcción de la circunferencia, es que el radio R que era una constante en la circunferencia, en las espirales el radio R va aumentando de longitud al aplicarle una vector de movimiento v.t .
Así pues, en las espirales existe una velocidad angular Wo sobre el punto P y al mismo tiempo una velocidad v lineal hacia el exterior.
Estos dos tipos de movimiento sincronizados hacen que se construye la espiral.
La fórmula sería la que expresa el dibujo 3 con dos subíndices, uno para mostrar la velocidad angular, y otro para definir el aumento continuo del radio R.

“En las coordenadas radiales ha de existir al menos una coordenada que esté sometida a algún tipo de movimiento”.

“No obstante, en muchas circunstancias podemos usar la fórmula general de las coordenadas radiales describir parámetros inmóviles o conjuntos de ellos, y por tanto con características simples de coordenadas esféricas, pero usando nuestra fórmula de coordenadas radiales.”

Como ejemplo de ello puede ser la descripción de las direcciones de los enlaces en las moléculas esféricas, que a continuación de detalla en el dibujo:.

Ahora bien, como lo que veremos en este estudio son los coordenadas radiales en movimiento, pues no fijaremos en ellas casi exclusivamente y en la importancia que tiene en movimiento de las mismas.

Y esto se ve claramente incluso en las aplicaciones más sencillas, como por ejemplo, en la circunferencia:
Si en la construcción de una circunferencia, nosotros aplicamos una velocidad angular pequeña, por ejemplo de 10º por segundo, entonces veríamos perfectamente de girar al punto que describe la circunferencia. Pero si aplicamos una alta velocidad angular, p.e. 560º segundo, en este caso apenas si veríamos el punto y solo veríamos la circunferencia ya descrita.
Esto es importante para la construcción de figuras, a las cuales nos interese ver (o imaginarnos) las líneas y superficies de una manera compacta y sin fisuras, es decir, no ver el punto que se desplaza sino la figura ya descrita y dibujada por este punto que se desplaza al alta velocidad.
También es básico para la creación de figuras con la forma adecuada, ya que en la mayoría de los casos necesitamos que esté construida una parte de la figura, para después moverla y poder construir con esta base la totalidad de la figura.
Así ocurre en figuras tales como el cilindro, el cual necesita que la velocidad angular de la base o circunferencia (coordenada O) sea mucho mayor que la del desplazamiento de la coordenada H, porque sin o fuera así, en vez de una cilindro compacto nos daría un simple muelle con figuras entre sus espiras.
Por tanto, una de las esencias de las coordenadas radiales es saber manejar la relación de velocidades entre cada una de estas coordenadas.
Para ello, en las fórmulas utilizo la constante K que puede ser 360 u otro alto valor.
Así se puede hacer una coordenada mucho más veloz en comparación con otra de la fórmula.

Veamos por tanto, algunos ejemplos más de coordenadas radiales, aunque como dije al principio solo estamos tratando las formas simples para tener una idea básica, pero que su alcance es ilimitado, pudiéndose llegar a construir fórmulas con multitud de ecuaciones de este tipo de coordenadas de tal forma que se construyen muchas figuras a la vez y que se estén modificando, moviendo y relacionando las unas con las otras.
Además se pueden construir cualquier tipo de figuras, como polígonos, poliedros, etc.
Veamos estos ejemplos y algunos que puedan tener constantes K.

Muelles

En el ejemplo del muelle la construcción de su circunferencia viene dada por la velocidad Wo angular y el tiempo t, tal como veíamos en el ejemplo de la circunferencia.
La apertura de espira depende de la velocidad v que demos a la coordenada H.
En este ejemplo si mantenemos el radio constante tendremos un muelle regular. Si cambiamos el radio tendremos diferentes tipos de muelle.
Vemos así mismo que al punto C le hemos dado un movimiento hacia la coordenada H (hacia arriba) cuya velocidad es de v.t.
Este movimiento hacia arriba es el que hace que se creen la separación entre las espiras.
La fórmula ya la vemos en el dibujo.

Tubos y Cilindros

En este ejemplo vemos el cilindro para lo cual usamos los mismos parámetros que para el muelle, pero usando una constante K de alto valor para conseguir que la superficie del mismo sea compacta y no tenga claros como en el muelle.
Este es un ejemplo de la utilidad y relación de las constantes K entre coordenadas.
Hemos conseguido crear y mantener primero una circunferencia debido a la alta velocidad de la coordenada horizontal O, (K.W) y después hacer que esta circunferencia se desplace hacia arriba consiguiendo la figura del cilindro.

Cono

Las coordenadas radiales tienen la particularidad de una diversidad de posibilidades casi ilimitadas, lo cual permite que cada uno podamos escoger, adaptar o construir nuestras fórmulas particulares según las figuras, movimientos o trabajos que queramos describir.
En el caso de construir un cono existen diferentes posibilidades según la dirección, modo de construcción etc., que deseemos escoger.
En este caso yo expongo una fórmula para construir un cono comenzando por la base y en dirección a la coordenada H, pero podía haber sido de cualquier otro modo.
En el modo escogido, comenzamos dando al radio R las dimensiones que queramos que tenga la base del cono.
Seguidamente, damos una alta velocidad angular a la coordenada O para construir la circunferencia de la base y al mismo tiempo una velocidad lineal más lenta al movimiento que le damos a las coordenadas y punto C en la dirección vertical H.
A medida que las coordenadas van avanzando hacia arriba y para que se produzca la forma cónica en la figura, vamos acortando el radio R con relación - v.t .

Relojes

En el ejemplo del reloj no existe coordenada H porque las agujas solo giran sobre la coordenada O. En este caso hay tres coordenadas radiales (una para cada aguja) unidas por el factor tiempo. Como existe una relación de giro de 1, 12, 144 entre las agujas y un recorrido de 6 grados/segundo para el segundero, pues a las otras dos agujas solo hay que aplicarle sus relaciones de giro entre ellas.

Orbitales

Esfera

La construcción de la esfera es también bastante sencilla.
Solo hay que dar movimientos angulares a las coordenadas O y H.
Para ello escogemos un movimiento con alta velocidad angular de la coordenada O para que forme la circunferencia inicial y una estructura compacta de la esfera. Y damos una velocidad angular lenta a la coordenada H para que vaya completando el recorrido y construcción de la esfera.
En este caso concreto, hemos dado un valor inicial a la coordenada H de 90º para comenzar a construir la esfera por la parte de arriba. Pero existen muchos modos de construirla.
--Importante--- Recordemos que la coordenada H se mide siempre a partir de la situación de la coordenada O con objeto de que estén sincronizadas la una con la otra.---

Torno

El ejemplo del torno es interesante puesto que podemos construir todo tipo de piezas torneadas con estas fórmulas de coordenadas radiales.
Así la velocidad de corte nos vendrá dada por el movimiento (v. t) del punto C junto a su radio en cada momento, hacia arriba (coordenada H ).
La forma del torneado será la que nos de las funciones f(x) del radio, es decir, el aumento o disminución del radio en cada momento del corte o torneado.
Los tiempos t1, t2, t3. nos dicen el periodo en que se aplica cada función f(x) o (f(v). La suma de todos estos periodo nos dará el tiempo total t.
En la figura, vemos que en el primer tramo la f (x) es solo constante, pues el radio no varía.
En el segundo tramo, el radio va variando con relación a f (x)’ y con ello crea la forma superior de la figura.
Se usa la constante K para poder definir bien la estructura de la pieza, como hemos visto anteriormente con el cilindro.

Burbuja o Big-bang

La fórmula para una burbuja que comenzando por un punto pueda ir aumentando indefinidamente, -mientras dure el tiempo aplicado- es también aplicable a ese posible desarrollo de Big-bang.
En esta fórmula tenemos primeramente el desarrollo de la coordenada horizontal O que con su velocidad angular Wo y el tiempo nos define una circunferencia.
La coordenada H con su velocidad angular Wh en conjunción con la coordenada O nos define una esfera.
Y la velocidad v por el tiempo t aplicada al radio R no va aumentando indefinidamente este radio, y por tanto la esfera, burbuja o Big-bang.
Las constantes K y K2 como siempre nos ayudan a definir las figuras de forma equilibrada y sin fisuras entre líneas.

Hasta aquí una muestra de formas simple de utilización de las coordenadas radiales con objeto de que se vayan conociendo.
Ya tendremos tiempo de ampliar sus posibilidades, con figuras tales como polígonos, poliedros, tornillos, movimiento, orbitales, etc.
Por el momento y como ejemplo práctico, aunque bastante simple, pondré un problema imaginario de aplicación.

Problem: Construcción de un oleoducto Málaga-Madrid.

Supongamos que quiero hacer (imaginativamente, claro) un oleoducto entre el puerto de mi ciudad (Málaga) y el centro del país, Madrid.
La distancia es de unos 504 kilómetros.
Así que decido que el oleoducto tendrá 2,6 metros de diámetro.
Para ello uso la coordenada H vertical para crear la amplitud o circunferencia de la tubería del oleoducto, con un radio R de 1,3 metros.
Para que se marque bien la circunferencia doy alta velocidad angular a la coordenada H, digamos de 1000 revoluciones por segundo.
Entonces doy una velocidad de desplazamiento del punto C de las coordenadas con dirección a Madrid. Esta velocidad puede ser de 1 metro/segundo o 3,6 kilómetros/hora.
Pues bien, si no me equivoco en los cálculos, 140 horas después de comenzar la construcción del oleoducto, este habrá llegado a su destino, Madrid.
Pero además, y esto es un característica de las coordenadas radiales, puedo en cada momento averiguar por dónde se va desarrollando la construcción el oleoducto con solo aplicar el tiempo transcurrido desde su inicio. Así mismo aplicando también el parámetro tiempo t puedo averiguar por dónde iba construyéndose en un momento determinado o por donde se irá construyendo en un momento posterior.
Por supuesto que todo esto es imaginación, pero también son matemáticas del espacio y movimiento.

En este caso, una forma de aplicación de estas coordenadas radiales para mediciones podría ser la obtención del volumen del oleoducto: V= S. ( v.t ) donde S es la superficie o apertura del oleoducto y (v.t) la longitud en cada momento.

Oscilación Radial

Aunque es un tema que no vamos a tratar con extensión en esta simple explicación, es interesante exponer su existencia porque puede ser importante para construir muchos tipos de figuras y cuerpos geométricos. Por ejemplo, estrellas, tornillos, etc.
La oscilación radial es simplemente un entorno de una sucesión numérica que escogemos para aplicarlo a cualquier parámetro o coordenada radial.
Se llama oscilación porque s valores que tomamos de ese entorno oscilan entre el máximo y el mínimo de una forma continuada.
Por ejemplo, si el entorno de valores va del 1 al 5, nosotros aplicaríamos primero el valor 1, después el 2, 3, 4 y 5 y al llegar a éste valor (5) volveríamos hacia abajo en sentido contrario hasta el 1 donde volveríamos a subir.
Por tanto una sucesión de este tipo sería 1,2, 3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1,2, ….etc.
Como vemos esto método de aplicación de valores formaría una onda en un dibujo de coordenadas. Para expresar un entorno podemos añadir un índice con el máximo y un subíndice con el mínimo valor del entorno.
En el dibujo podemos ver un ejemplo de entorno oscilante que va del 0 al 8 y del 8 al 0.
También vemos una forma de expresar un entorno oscilante.

Polígonos, poliedros, tornillos, estrellas.

Una de las aplicaciones de la función oscilante es la de construir polígonos. Y ampliando un poco la fórmula, la de conseguir o dibujar otros tipos de figuras como poliedros, tornillos, estrellas, etc.
Para ello vamos a poner una fórmula simple de aplicación en la construcción de polígonos, a la cual se le podrán añadir todo tipo de parámetros para conseguir las otras figuras.
Como esto es una explicación simple, pues veamos la fórmula básica.

En esta fórmula vemos que existe una relación directa entre la velocidad angular Wo de la coordenada O horizontal y el aumento del radio, cosa lógica y necesaria para que el radio dibujar en cada momento el polígono deseado.
De este modo es independiente la velocidad Wo que le demos a las coordenadas.
Explicación de los parámetros de la fórmula.
---Ya conocemos y sabemos como funciona la coordenada horizontal O y su velocidad angular Wo de otras fórmulas.
--- El aumento adecuado de radio, en coordinación con la coordenada horizontal O de rotación, se da por el parámetro R x (secante Wo.t) 360º /2n a 0º.
Esto significa que a la marcación en cada momento del ángulo que va adquiriendo la coordenada O con el tiempo t, la hemos convertido en un vector o entorno oscilante de tal manera que cuando el valor del ángulo de la coordenada O llegue a 45º, comienza a bajar en la misma proporción y velocidad hasta los 0º, donde vuelve a subir a los 45º y así sucesivamente como una onda de oscilación.
Es similar a lo que hacemos con en trigonometría con las vueltas completas, es decir, que cuando llegamos a 360º el valor vuelve a cero y comienza otra marcación.
En este caso no repetitiva sino oscilante la marcación y definida en amplitud según el ángulo o número de caras del polígono que deseemos construir.

Poliedros, estrellas, tornillos

Con fórmulas semejantes a las usamos para construir polígonos, podemos construir también otros tipos de figuras como son las figuras en forma de estrella, los poliedros, tipos de tornillos, etc.
Como vemos (dibujo 14) la construcción en forma de estrellas es casi la misma que para polígonos regulares, pero usando una constante C para poder conseguir el pico de las estrella a nuestro gusto, es decir, lo largo que deseemos. De esta forma podemos hacer picos más cortos que en los polígonos, o si queremos infinitamente más largos.

Poliedros
Para la construcción de poliedros usamos la coordenada H como vector de movimiento para darle una proyección y movimiento a la base (que es un polígono, estrella u otra figura) y conseguir como en los ejemplos del cilindro, cono, etc. que se forme una figura tridimensional.
Como sabemos, a la coordenada horizontal O le damos alta velocidad y a la coordenada H vertical le damos baja velocidad para conseguir que las figuras sean compactas.

Tornillos
La forma de tornillo la conseguimos haciendo que la suma de los ángulos del polígono o estrellas de la base no coincida con los 360º de giro de la coordenada O, con lo cual se produce un desfase y torsión de la figura en forma de tornillo a medida que la coordenada H va avanzando hacia arriba.

Amplitud de función m => n

Como se ha explicado las coordenadas radiales son coordenadas en movimiento con lo cual necesitan de un periodo de tiempo para ejecutar la función que las determina.
Pues bien, a este periodo de tiempo en el cual se desarrolla la función que nos dibujará la figura que deseemos es a lo que llamamos amplitud de función.
Para ello usamos el parámetro m => n que nos dice mediante m cuándo o dónde comienza a desarrollarse la función, y mediante n cuándo o donde termina de desarrollarse ésta.
El parámetro de amplitud de función se colocará directamente encima del parámetro sobre el que actuará, de tal modo que el parámetro donde se coloque se transformará en parámetro director de la función.
Ello quiere decir, que el parámetro o coordenada que lleve sobre él a la amplitud de función, será el que determine cuándo o dónde comienza la función y cuándo o dónde termina.
Esto se puede ver y comprender mejor en el dibujo siguiente.

En este dibujo vemos como se puede colocar la amplitud de función sobre cualquier otro parámetro o coordenada de la fórmula de coordenadas radiales.
-- Sobre f que nos dirá que el tiempo de ejecución de la función comenzará en m y terminará en n.
-- Sobre el radio R (p.e. en el cono) que nos dirá que la función termina cuando el radio R sea igual a cero, es decir, cuando el cono esté terminado.
-- Sobre la coordenada H=c , (p.e. en el cilindro) que igualmente nos dará la altura (v.t) del cilindro.
-- Sobre la coordenada H (p.e. la esfera) donde nos dirá que la esfera comienza a desarrollarse a partir de 90º de H y termina en el valor de 180º de H.
etc.

El Cosmos y sus coordenadas radiales

La teoría y propuestas de este sistema de coordenadas radiales provienen de una necesidad que tuve de encontrar el modo adecuado de solucionar el problema de situación de electrones en los átomos y de planetas en las estrellas, según mis propuestas y modelo de Cosmos de 1975.
Parafraseando un poco podría decir que según mi visión del tema se podría considerar que:
”Los humanos tenemos la mente cuadriculada y utilizamos las coordenadas cartesianas, mientras que el Cosmos tiene una mente esférica y usa las coordenadas radiales”.
Y así parece ser pues todas sus creaciones tratan de tomar forma espiral, esférica, helicoidal, simétrica, de movimientos fractales, etc.
Mientras que para nosotros todo debería ser cuadrado, como nuestro modo de pensar.
Pues bien, una de las erróneas consecuencias -muy moderna por cierto- de esta cuadriculación ha sido la de usar coordenadas cartesianas para ubicar a los electrones en su órbitas de tal manera que parecerían uvas colgando de un racimo.
Y no importa si para ello tenemos que olvidar todos los conocimientos físicos que no dicen que las fuerzas de los átomos por ejemplo, tiene campos gravitatorios centrales, sus campos magnéticos y electromagnéticos también centrales, que es necesario campos de fuerzas atrayentes e inercias centrífugas compensadoras de estos campos, etc.
Así que para eso propuse las coordenadas radiales que se exponen en esta explicación y con anterioridad en mi web de 2003.
Saludos a todos. F.M.R.