Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras). La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro Los elementos. El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.

Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales. Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.

Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.

Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional. Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.

También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones. En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.

Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.

Un ángulo A es agudo si 0° < A < 90°, el ángulo es recto si A = 90°, y es obtuso si 90° < A < 180°. Como la suma total de los tres ángulos de un triángulo es 180°, un triángulo puede tener un ángulo mayor o igual que 90°. Un triángulo es acutángulo si sus tres ángulos son agudos, como el de la figura 1; es rectángulo si tiene un ángulo recto, como el de la figura 3, y es obtusángulo si tiene un ángulo obtuso, como el de la figura 2.

Un triángulo es escaleno si ninguno de sus lados es de igual longitud que otro, como el de la figura 1; es isósceles si tiene dos lados iguales entre sí, como el de la figura 4, y es equilátero si sus tres lados son iguales, como el de la figura 5. El lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo, como HK en la figura 3, se denomina hipotenusa, y los otros dos lados se llaman catetos. Los dos lados iguales de un triángulo isósceles son también llamados catetos algunas veces, y el ángulo formado por ellos es el ángulo del vértice. El tercer lado se conoce como base y sus dos ángulos adyacentes son los ángulos de la base.

Si dos lados de un triángulo son desiguales, los ángulos opuestos son también desiguales, siendo el lado mayor el opuesto al ángulo mayor. Del mismo modo si dos ángulos son desiguales sus lados opuestos son también desiguales. Por tanto, los tres ángulos de un triángulo escaleno son desiguales, los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales entre sí y los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales. El lado opuesto a un ángulo recto o a un ángulo obtuso es el lado mayor del triángulo. En un triángulo cualquiera, una altura es un segmento rectilíneo que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto o su prolongación, por ejemplo DX en la figura 6a y DZ en la 6b. Una mediana es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, como AN en la figura 7. Una bisectriz interior es la recta que pasa por un vértice y divide al ángulo interior en dicho vértice en dos partes iguales, como AR en la figura 8; de la misma manera, una bisectriz exterior divide en dos partes iguales al ángulo exterior en dicho vértice, como AV en la figura 8. Una mediatriz es una recta perpendicular a un lado en su punto medio, como HK en la figura 9. Los términos bisectriz y mediatriz también se usan para designar a los segmentos rectilíneos correspondientes contenidos dentro del triángulo.

Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto común denominado ortocentro, (O en las figuras 6a y 6b). Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro (M en la figura 7). El baricentro divide a las medianas en dos segmentos, siendo el que corta al vértice de longitud doble que el otro. Las tres bisectrices internas se cortan en un punto denominado incentro (I en la figura 8) y las tres bisectrices externas se cortan en tres puntos llamados excentros (como U, V y W en la figura 8.) El incentro y los tres excentros son los centros de circunferencias tangentes a los lados de un triángulo o sus prolongaciones. Las tres mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro (como H en la figura 9) que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

Muchas de las propiedades de los triángulos planos son análogas en los triángulos esféricos; sin embargo, hay diferencias importantes entre los dos tipos. Por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo esférico puede ser cualquier valor entre 180° y 540°, dependiendo del tamaño y la forma del triángulo. Un triángulo esférico con uno, dos o tres ángulos rectos se denomina rectángulo, birrectángulo o trirrectángulo respectivamente. Un triángulo esférico en que uno, dos o tres lados son cuadrantes (cuarto de circunferencia máxima de la esfera) se denomina triángulo cuadrantal, bicuadrantal o tricuadrantal.