Geometría plana
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ã, rama de la geometría elemental que estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el triángulo o el círculo. Esta parte de la geometría también se conoce como geometría euclídea, en honor al matemático griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado Elementos de geometría se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta la aparición de las llamadas geometrías no euclídeas en el siglo XIX.
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, en aritmética y geometría, relación especial entre un grupo de números o cantidades. Según la definición aritmética, proporción es la igualdad de dos razones. La razón es la relación entre dos números, definida como el cociente de un número por el otro. Así, la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o como 4, indica que 12 contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto, según la definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y 8, 2 están en proporción. Esta proporción se expresa como 12:3::8:2, que se lee "12 es a 3 como 8 es a 2". En una proporción válida, el producto del primer término por el último (conocidos como los extremos) es igual al producto del segundo por el tercero (conocidos como los medios); la regla de tres aritmética está basada directamente en esta propiedad. El objeto de esta regla es encontrar un cuarto número que es proporcional a tres números dados; este número se halla multiplicando el segundo número por el tercero y dividiendo el producto por el primero. La proporción continua es la propiedad de cada tres términos consecutivos o equidistantes de una progresión geométrica; por ejemplo, en la secuencia 2, 4, 8, 16, 32 ..., 2:4::4:8 y 4:8::8:16.
En la antigua Grecia, la teoría de números no era adecuada para describir aritméticamente las magnitudes geométricas. Por tanto, el astrónomo y matemático griego Eudoxo propuso una teoría separada para la proporción geométrica en el siglo IV a. C. Una descripción detallada de esta teoría, escrita por el matemático griego Euclides, se puede encontrar en los libros quinto y sexto de los Elementos de geometría.
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, rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.
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, rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades y relaciones de los números. Según esta amplia definición, la teoría de números incluye gran parte de las matemáticas, en particular del análisis matemático. Sin embargo, normalmente se limita al estudio de los números enteros y, en ocasiones, a otros conjuntos de números con propiedades similares al conjunto de los enteros.
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Si a, b y c son números enteros tales que a = bc, a es un múltiplo de b o de c, y b y c son submúltiplos o factores de a. Si c es distinto de ±1, entonces b se denomina submúltiplo propio de a. Los enteros pares son los múltiplos de 2 incluyendo el 0, como -4, 0, 2 y 10; un entero impar es aquél que no es par, por ejemplo, -5, 1, 3, 9. Un número perfecto es aquel entero positivo que es igual a la suma de todos sus submúltiplos propios positivos (partes alícuotas); por ejemplo, 6 (que es igual a 1 + 2 + 3) y 28 (que es igual a 1 + 2 + 4 + 7 + 14) son números perfectos. Un entero positivo que no es perfecto se denomina imperfecto y puede ser deficiente o superante según que la suma de sus submúltiplos propios positivos sea menor o mayor que él. Así, 9, cuyos submúltiplos son 1 y 3, es deficiente; y 12, cuyos factores son 1, 2, 3, 4 y 6, es superante.
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Gran parte de la teoría de números se dedica al estudio de los números primos. Un número p (p ¹ ±1) es primo si sus únicos factores son ±1 y ±p. Un número a se denomina compuesto o plano si a = bc, para b y c distintos de ±1. Los diez primeros números primos positivos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29; los diez primeros números compuestos positivos son 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 y 18. Un número compuesto se puede descomponer como producto de factores primos de forma única (sin considerar el orden de los factores). Por ejemplo, 9 = 3 × 3, 10 = 2 × 5 y 12 = 2 × 2 × 3.
El libro IX de Elementos de geometría del matemático griego Euclides contiene la demostración de que la cantidad de números primos es infinita, es decir, no existe un número primo máximo. La prueba es sencilla: sea p un número primo y q el producto de todos los enteros del 1 al p, más uno, es decir, q = (1 × 2 × 3 × … × p) + 1. El entero q es mayor que p y no es divisible por ningún entero del 2 al p, ambos inclusive. Cualquier submúltiplo de q distinto de 1, y por tanto cualquier submúltiplo primo, debe ser mayor que p, de donde se deduce que debe haber un número primo mayor que p.
Aunque hay infinitos números de primos, estos son cada vez más escasos a medida que se avanza hacia números más grandes. Se sabe que la cantidad de números primos entre 1 y n, para n bastante grande, es aproximadamente n dividido por el logaritmo neperiano de n. Un 25% de los números entre 1 y 100, un 17% de los números entre 1 y 1.000, y un 7% de los números entre 1 y 1.000.000 son primos.
Dos números primos cuya diferencia es 2 (por ejemplo, 5 y 7, 17 y 19, 101 y 103) se denominan primos gemelos. No se sabe si la cantidad de primos gemelos es infinita. Aunque todavía no se ha podido demostrar, se cree que todo número mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos números primos; por ejemplo, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 20 = 3 + 17 y 100 = 3 + 97.
El máximo común divisor de dos enteros a y b es el mayor entero positivo que divide a a y b con resto cero. Si el máximo común divisor de dos enteros es 1, se dice que los dos números son primos relativos o primos entre sí, o que uno de ellos es un número primo del otro. Si p, q, …, u son los distintos submúltiplos primos de un entero positivo n, el número de enteros positivos menores que n y primos de n está dado por
Si a, b y m son números enteros tales que a - b es un múltiplo de m —que es positivo— entonces se dice que a es congruente con b respecto al módulo m. Esto se escribe como
a - b (mod m)
Esta expresión se denomina congruencia. Las congruencias se comportan en muchos aspectos de manera similar a las ecuaciones. La teoría de la congruencia es una parte importante de la teoría de números. Una de las aplicaciones de la teoría de la congruencia es la resolución de los problemas conocidos como restos chinos. Un ejemplo ilustrativo de este tipo de problema es el siguiente: encontrar los dos primeros enteros positivos cuyos restos son 2, 3 y 2 al ser divididos por 3, 5 y 7 respectivamente. La respuesta, 23 y 128, fue obtenida por el matemático chino Sun-Tsù en el siglo I d.C.
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