Introducci�n a las probabilidades
Algunos t�picos sobre Conjuntos.
La teor�a de conjuntos es de mucha utilidad en el desarrollo de las probabilidades, y es por ello que se debe revisar los conocimientos sobre las operaciones de conjuntos como lo son: la uni�n, la intersecci�n, el complemento de un conjunto, etc.
.- Consideraremos a W como el conjunto universal el cual posee todos los elementos posibles, as� el conjunto A es un subconjunto de W si todos los elementos de A son elementos de W, y se denota:
A � W si para todo x �A, x � W
.- Sean A y B dos conjuntos cuales quiera entonces:
la uni�n se define como: C = A � B = { x / x�A o x�B};
la intersecci�n se define como: C = A � B = { x / x�A y x�B};
el complemento se define como: Ac = { x � W / x � A },
El conjunto que no posee elementos se denomina conjunto vac�o y se denota por � . (Notemos que A � Ac = � )
Diremos que A y B son disjuntos o mutuamente excluyente si: A � B = �.
Para resolver algunos problemas de probabilidades es necesario conocer el numero de elementos que posee cierto conjunto y el conjunto universal, denominado, en probabilidades, espacio muestral, es por ello que se debe saber como determinar el n�mero de elementos de cualquier conjunto, tarea que puede ser algo complicado, sin embargo en algunos casos esto se puede realizar y por ello es que es importante el aprender a calcular este n�mero.
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Debes recordar la regla principal en las T�cnicas de Conteo como lo es la ley de multiplicaci�n:
Si se tienen n elementos de un tipo y m de otro, el n�mero de parejas que se pueden formar tomando un elemento de cada tipo es
mxn.
Las permutaciones, las variaciones y las combinaciones, resultan de la regla de multiplicaci�n.
| 1) Los
N�meros 1,2,3,...,n se alinean al azar, de manera que hay n! maneras de colocarlos.
Calcule el n�mero de parejas en las que los n�meros 1 y 2 aparezcan seguidos y en ese
orden.
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2) Un mazo de cartas contiene 52 barajas, divididas en cuatro pintas o figuras: diamante, coraz�n rojo, coraz�n negro y tr�bol; cada grupo contiene 13 cartas: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K. De un mazo de este tipo se extraen tres cartas en sucesi�n (una tras la otra) sin reemplazo. Encuentre el n�mero de tripletas (tres cartas) con la pinta de diamante que pueden ser extra�das. |
| 3)
�Cu�ntos n�meros impares y con cuatro d�gitos distintos existen entre el n�mero 1.000
y el 10.000?
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4) �Cu�ntos n�meros
impares existen mayores que 999 y menores que 9.999?
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| 5) Con las
letras de la palabra PROBLEMAS. �Cu�ntas palabras se pueden formar, si: a.- comienzan y finalizan en una vocal b.- comienzan por una vocal y terminan en una consonante? NOTA: Se entiende por palabra cualquier disposici�n de todas las letras que forman (tengan o no sentido).
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6) Nueve personas van a
realizar un paseo utilizando dos veh�culos, uno A de 5 personas y el otro B
de 4 puestos. Entre las nueve personas hay cuatro damas. a.- �De cu�ntas maneras diferentes se podr�n distribuir las nueve personas en los dos veh�culos?. b.- �De cu�ntas maneras diferentes pueden distribuirse las nueve personas de modo que s�lo dos damas ocupen el veh�culo B?. c.- Si se decide que una dama D y un hombre H viajen en el mismo veh�culo. �De cu�ntas maneras diferentes se podr�n distribuir las nueve personas en los dos veh�culos?. |
| 7) Si las
repeticiones no se permiten, a.- �cu�ntos n�meros se pueden formar con tres d�gitos con los seis d�gitos 2, 3, 5, 6, 7 y 9?; b.- �cu�ntos de estos n�meros son menores que 400 ?; c.- �cu�ntos de estos son pares?; �cu�ntos impares?; d.- �cu�ntos m�ltiplos de 5?. |
8) a.- �De cu�ntas maneras 3 ni�os y 2 ni�as se pueden sentar en una fila? b.- �De cu�ntas maneras se pueden sentar si no se mezclan? c.- �De cu�ntas maneras se pueden sentar si las 2 ni�as deben permanecer juntas?
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Una vez que sabes determinar el n�mero de elementos de un conjunto podr�s calcular las probabilidades de los eventos que se te pueden presentar, calculando el n�mero de eventos simples presentes en el espacio muestral y tomando el cociente entre los casos favorables y los posibles.
1) En una caja de una ferreter�a hay 30 bombillos de los cuales 8 son defectuosos. Se extraen al azar 5 bombillos. Calcular la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:
a.- Ninguno de los bombillos extra�dos es defectuoso.
b.- Entre los 5 bombillos extra�dos hay exactamente uno defectuoso.
c.- En la extracci�n por lo menos un bombillo es defectuoso.
2) Se escogen al azar cuatro zapatos de un conjunto de cinco pares. �Cu�l es la probabilidad de que formen por lo menos un par?.
3) En un sal�n asisten seis parejas de matrimonio.
a.- si se eligen dos personas al azar, hallar la probabilidad de que:
i.- sean casados.
ii.- Una sea hombre y la otra mujer.
b.- Si se eligen 4 personas al azar, hallar la probabilidad de que:
i.- se escojan 2 parejas de casados.
ii.- no exista una pareja de casados entre los cuatro.
iii.- se elija exactamente una pareja de casados entre los 4 elegidos.
4) Una urna A contiene cinco bolas negras y dos bolas rojas. Otra urna B, contiene tres bolas negras y dos bolas rojas. Se traslada una bola de la urna A a la urna B, y a continuaci�n se extrae una bola de la urna B. �Cu�l es la probabilidad de que la bola extra�da de la urna B, se una bola roja.
5) Un sombrero contiene 20 pedazos de papel de color blanco numerados del 1 al 20; 10 de color rojo numerados del 1 al 10; 40 de color amarillo numerados del 1 al 40 y 10 de color azul numerados del 1 al 10. Si se mezclan vigorosamente estos 80 pedazos de papel de manera que todos tengan la misma probabilidad de ser extra�do, determine la probabilidad de ser extra�do, determine las probabilidades de tomar un pedazo de papel que sea:
a.- azul o blanco;
b.- numerado 1, 2, 3, 4 o 5;
c.- rojo o amarillo y numerado 1, 2, 3, o 4;
d.- numerado 5, 15, 25 o 35;
e.- blanco y con numeraci�n mayor que 12 o amarillo y con numeraci�n mayor que 26.
6) En una peque�a ciudad, se clasific� a cada persona de acuerdo con su religi�n y su afiliaci�n a un partido pol�tico. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
| RELIGI�N \ PARTIDOS POLITICOS | Dem�crata | Republicano | Independiente | TOTAL |
| Protestante | 10.000 | 8.000 | 2.000 | 20.000 |
| Jud�o | 5.500 | 6.000 | 500 | 12.000 |
| Cat�lico | 8.500 | 9.500 | 1.500 | 19.500 |
| TOTAL | 24.000 | 23.500 | 4.000 | 51.500 |
Si se elige al azar una persona de la ciudad, �cu�l es la probabilidad de que la persona sea:
a.- republicana?
b.- cat�lica?
c.- protestante y republicana?
d.- cat�lica e independiente?
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En ciertos casos uno se puede encontrar con el deseo de multiplicar las probabilidades de dos eventos para encontrar la probabilidad de la intersecci�n de esos eventos, esto solo es posible si los eventos son independientes.
Sean A y B dos eventos cuales quiera, diremos que son independientes si se cumple que:
P(A � B)=P(A)P(B)
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La probabilidad de ciertos eventos se ven influenciado por la ocurrencia o no de otros eventos, para el c�lculo de estas probabilidades tenemos dos f�rmulas importantes:
La Probabilidad Total y El Teorema de Bayes
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Sea B un evento y consideremos a A1, A2, A3, ... , An "n" eventos tales que:
A1 � A2 � A3 � ... � An = �,
y adem�s,
A1 � A2 � A3� ... � An = W,
entonces:
P(B) = P(A1 �B) . P( A2 �B) . P(A3 �B) ... P(An�B)
Tomando las mismas condiciones anteriores, podemos determinar la probabilidad de un Ai para i = 1...n, dado un evento B, de la siguiente forma:
P(Ai / B) = P(Ai �B) / [P(A1 �B) . P( A2 �B) . P(A3 �B) ... P(An�B)]
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Ejercicios
Existen experimentos aleatorios ( o modelables aleatoriamente) que siguen ciertos esquemas, pero que cumplen con las mismas condiciones de otro experimentos, lo cual hace que existan distribuciones de probabilidad particulares que pueden ser utilizadas en diferentes experimentos.
Las distribuciones de probabilidad surgen del uso de una Variable Aleatoria (V.A.).
�Que es una Variable Aleatoria?.
Una Variable Aleatoria no es mas que una funci�n, la cual asocia cada evento del experimento que estemos realizando con un n�mero real, si el conjunto de n�meros que toma la variable es un subconjunto de los Racionales, diremos que la variable es discreta, y en tal caso tiene una Distribuci�n de Probabilidad Discreta asociada; pero si todos los valores que toma la Variable Aleatoria est�n dentro de intervalo, se dice que la Variable Aleatoria es continua y tiene asociada una Distribuci�n de Probabilidad Continua.
Si tienes alguna duda, pregunta o sugerencia env�ame un correo a la siguiente direcci�n:
