FORMULAZIONE ASSIOMATICA DELLE TEORIE SCIENTIFICHE

di Davide Pioggia

L’esposizione tradizionale delle teorie scientifiche

Le teorie scientifiche vengono solitamente esposte suddividendo il materiale in tre sezioni rigorosamente propedeutiche fra loro, le quali, seguendo una tradizione che risale ai Greci, si dicono definizioni, assiomi (o postulati, i due termini non sono, nella tradizione filosofica, perfettamente equivalenti, ma su questo punto si tornerà fra poco) e problemi.

Non sempre si riesce a seguire questo schema in modo rigoroso. Tuttavia esso viene normalmente considerato il limite ideale a cui tendere, e una teoria scientifica si intende interamente compiuta quando il materiale disponibile è sufficientemente sviluppato da poter essere collocato in una simile struttura.

I due testi classici che maggiormente si considerano compiuti da questo punto di vista sono gli Elementi di Euclide ed i Principia di Newton (1687).

E’ noto che Newton aveva una grande ammirazione per Euclide e che abbia impostato la propria opera con l’esplicita intenzione di fornire ad essa la stessa struttura degli Elementi. In questo egli è molto rigoroso: l’unico punto in cui si discosta dal Greco è puramente formale, in quanto consiste nel definire assiomi, o leggi del moto, quelli che avrebbero dovuto più propriamente essere definiti dei postulati. La logica moderna per altro ha abbandonato la distinzione fra assioma e postulato, ci si può quindi limitare a considerare il termine “legge”. Il fatto di aver introdotto tale concetto in sostituzione di quello di postulato, se vogliamo ha irrigidito ulteriormente lo schema classico, in quanto nel termine “postulato” (se non altro perché è un participio passato) resta traccia del fatto che esiste un’ipotesi di lavoro - formulata da una mente umana - da cui si procede per deduzione a ricavare altre asserzioni, quando invece parlare di legge fisica può creare qualche problema filosofico in merito alle ragioni per cui i fatti dovrebbero accadere secondo delle leggi, e cosa quindi debba precisamente intendersi con questo termine. Poiché sarebbe forse pedante e fuorviante insistere sull’aspetto sostanziale di questo punto, lo si può considerare una questione puramente formale e considerarlo (almeno in questo contesto) trascurabile.

Quanto ad Euclide, esso trae l’impostazione della propria opera direttamente da Aristotele, il quale negli Analitici (più precisamente nei Secondi analitici, essendo i Primi analitici dedicati quasi esclusivamente alla logica) stabilisce quale sia il modo in cui debbano essere impostate le scienze teoriche e propone uno schema che di fatto è quello degli Elementi.

Limiti dello schema classico

E’ di una qualche utilità lo schema classico per l’esposizione delle teorie scientifiche ?

Sia nel caso di Newton che nel caso di Euclide noi ci troviamo palesemente di fronte a due geni. Tale genio tuttavia si mostra prepotentemente nel modo in cui vengono affrontati e risolti i problemi e le applicazioni. Se invece si considera, per entrambi i testi, il modo in cui vengono introdotte le definizioni e gli assiomi troviamo che nel loro complesso in qualche modo “funzionano”, ma se sottoposte ad un esame dettagliato e particolareggiato mostrano una debolezza logica ed una inconsistenza sorprendenti.

Cominciamo subito col prendere in considerazione alcune delle Definizioni contenute nel Libro I degli Elementi di Euclide:

«Definizione 1: Punto è ciò che non ha parti.»

«Definizione 2: Linea è una lunghezza senza larghezza.»

«Definizione 4: Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa [= ai suoi punti]»

«Definizione 5: Superficie è ciò che ha solo lunghezza e larghezza.»

Sono di una qualche utilità “concreta” queste definizioni? E sia chiaro che qui per utilità concreta non si intende il fatto di poterle impiegare per risolvere i problemi della vita di tutti i giorni, ma piuttosto alla possibilità di impiegarle nell’ambito di costruzioni, algoritmi, ma soprattutto (e questo è quello che interessa qui) nello sviluppo di ragionamenti logico-deduttivi. In questo senso possiamo dire che una definizione è utile se permette di “riconoscere” un oggetto o di fornire delle asserzioni da cui trarre delle conclusioni logiche.

Ora, supponiamo di avere un problema in cui viene definita in un certo modo una linea e si deve dimostrare che essa è una retta, ad esempio si potrebbe ipotizzare che la linea data sia la più breve fra quelle che uniscono due punti. Dovremmo cercare di immaginare una successione di ragionamenti che partono dall’ipotesi e terminano pressappoco nel modo seguente: «... e poiché la curva data “giace ugualmente rispetto ai suoi punti” essa, per definizione, è una retta.»

Ovviamente non è possibile arrivare ad una simile conclusione. Né la definizione di retta può esserci utile come punto di partenza per i svolgere dei ragionamenti. Lo stesso accade per le altre definizioni che, pur apparendo in qualche modo sensate, non sono utilizzabili.

La miglior dimostrazione che tali definizioni sono assolutamente inutili è il fatto che lo stesso Euclide non ne fa mai uso!

Questo comportamento “bizzarro” di Euclide non può certamente essere spiegato come un suo limite intellettuale: se così fosse stato avrebbe cercato di usare le definizioni e gli Elementi non sarebbero quell’opera perfetta che sono dal punto di vista deduttivo.

D’altra parte nella geometria greca a lui anteriore non sono queste le definizioni di punto, linea e superficie. Ognuno di questi oggetti veniva invece definito come “limite” (oggi diremmo “frontiera”) di quello successivo. Queste sono fra l’altro le definizioni che Euclide usa poi nei problemi di geometria.

Il motivo di quelle strane definizioni iniziali deve essere ricercato nel fatto che Aristotele si era espresso molto negativamente su di esse. Nella quarta parte del sesto libro dei Topici, egli aveva innanzi tutto impostato dei criteri generali a cui avrebbero dovuto soddisfare le definizioni: «Poiché infatti la definizione viene fornita allo scopo di render noto l’oggetto nominato, e poiché noi giungiamo ad ampliare la conoscenza partendo non già da elementi casuali, bensì da elementi anteriori e più noti (tali invero sono le condizioni di ogni insegnamento e di ogni apprendimento), risulterà allora evidente che chi nel definire non si sia servito di tali strumenti in realtà non ha definito.» [Aristotele, Topici, VI, 4, 141a] Poche righe più avanti, facendo degli esempi, egli nomina esplicitamente la questione geometrica: «Più noto in linea assoluta, da un lato risulta ciò che è anteriore, ad esempio il punto rispetto alla linea, la linea rispetto alla superficie, la superficie rispetto al solido» [ibidem, VI, 4, 141b] Ed infine squalifica la definizione tradizionale degli enti geometrici come una definizione buona per menti inferiori: «Tuttavia è forse necessario, di fronte a coloro che non sono in grado di giungere alla conoscenza con mezzi consimili, di costruire il discorso con elementi noti a loro. Certamente di questa natura sono le definizioni del punto della linea e della superficie, dato che tutte quante chiariscono gli elementi anteriori attraverso quelli posteriori. Nel primo caso si dice infatti che il punto è il limite della linea, nel secondo che la linea è il limite della superficie, nel terzo che la superficie è il limite del solido. Non deve però sfuggirci un’osservazione. Coloro che definiscono a questo modo non possono rivelare l’essenza individuale [...] E’ dunque chiaro che non bisogna definire per mezzo di elementi cosiffatti, ed occorre invece servirsi di elementi più noti in linea assoluta» [ibidem, VI, 4, 141b-142a]

Aristotele si guarda bene dallo spiegare quali siano le definizioni “giuste” di punto, linea e superficie, sicché lascia in eredità una critica che è tanto decostruttiva quanto autorevole. Euclide probabilmente recepisce questa critica e paga un pesante tributo ad Aristotele con il compromesso che si è illustrato: pone delle definizioni “vuote” nell’ordine “giusto” e poi impiega quelle tradizionali nell’ambito dei problemi. Il fatto che Euclide in qualche modo ne esca potrebbe far pensare che l’ipoteca che pesa su quest’opera pesi non sia poi così grave. Vediamo allora quali ripercussioni essa produce nel caso dei Principia.

Nella parte delle Definizioni Newton dà per acquisite le grandezze cinematiche (anche se più avanti discuterà il problema del moto relativo e del moto assoluto e cosa si debba intendere per spazio e tempo) ed introduce in modo esplicito una serie di grandezze fisiche, come quantità di materia (= massa), quantità di moto, forza innata (= forza d’inerzia), forza impressa (= forza per contatto), forza centripeta (= forza a distanza), quantità di forza (= intensità), ecc.

Nella parte degli Assiomi egli introduce come postulati le relazioni matematiche fra le grandezze fisiche introdotte, dopodiché nella parte dei Problemi ne mostra le applicazioni a dei casi pratici.

Dal punto di vista dell’impianto generale dell’opera, i Principia sono perfettamente logici e coerenti, tuttavia – come si diceva poco fa - se si scende nei dettagli ci si rende conto che Newton fa degli sforzi notevoli per evitare le contraddizioni e le tautologie, ed a volte ci riesce soltanto esprimendosi in modo estremamente ambiguo e paludoso.

Anche nel caso di Newton bisogna ricordare, come per Euclide, che secoli di lavoro non hanno scalfito i risultati fondamentali da lui ottenuti, sicché dobbiamo supporre che egli, più o meno consciamente, sapesse quale fosse il modo “giusto” di procedere con una teoria scientifica, e che le incongruenze cui si è accennato debbano essere attribuite più ad un desiderio di seguire a tutti i costi uno schema prestabilito piuttosto che una incapacità di cogliere le difficoltà implicite in un certo modo di procedere. Questa capacità di procedere nella direzione giusta pur con il pesante fardello di una tradizione culturale che rende incapaci di liberarsi da certi pregiudizi è il tratto distintivo fondamentale di molti scienziati geniali, e lo ritroveremo in seguito molto diffuso fra i fondatori della meccanica quantistica.

Fatti i dovuti riconoscimenti al genio di Newton, si può tornare alla lettera della sua opera.

Consideriamo innanzi tutto la Legge II, che è quella fondamentale. Egli la enuncia affermando che esiste una relazione di proporzionalità fra la variazione della quantità di moto e l’intensità della forza:

«Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza motrice impressa, ed avviene lungo la linea retta secondo la quale la forza è stata impressa.» [Isaac Newton (a cura di Alberto Pala), Principi matematici della filosofia naturale, Torino: UTET, 1965]

Ci si aspetterebbe, allora, di trovare, fra le Definizioni della sezione precedente, due definizioni operative indipendenti per la quantità di moto e la forza motrice impressa. Invece ci si trova di fronte ad una totale ambiguità.

Innanzi tutto, se si va a vedere quale sia la definizione di “forza motrice impressa” non si riesce a trovarla in modo esplicito. L’autore si limita a dire, parlando della “forza centripeta”, che «La quantità di questa forza centripeta è, inoltre, di tre generi; assoluta, acceleratrice, motrice» (Definizione V) e che «La quantità motrice di una forza centripeta è la misura della medesima ed è proporzionale al moto che, in un dato tempo, essa genera.» (Definizione VIII). Infine afferma che «Queste quantità delle forze possiamo, per brevità, chiamarle coi nomi di forze motrici, accelerative ed assolute.» L’unica conclusione sensata è che, sebbene la “quantità motrice” di una forza venga definita solo per la forza centripeta, essa sia estensibile anche alle forze impresse e che pertanto la “forza motrice impressa” di cui si parla nella Legge II sia la “quantità motrice” della forza impressa.

Così, una volta dipanate le ambiguità troviamo che alla fin fine la “forza motrice impressa” risulta essere proporzionale - per definizione! - alla «[quantità di] moto che essa genera in un tempo dato», proposizione che coincide esattamente con l’inversa della Legge II, la quale diviene così una semplice tautologia, per lo più del tipo più semplice, trattandosi dello scambio dei termini di una definizione.

Una tautologia del tutto analoga la si ottiene se si confronta la definizione di “forza d’inerzia” con la Legge I della dinamica.

Infine è forse il caso di dare un’occhiata alla definizione della massa di un corpo: «La quantità di materia è la misura della medesima, ricavata dal prodotto dalla sua densità per il volume.» (Definizione I). Newton non dice come ottenere la densità di un corpo. E’ ovvio che se si volesse utilizzare la definizione corrente, che è quella di rapporto fra la massa ed il volume, ci troveremmo di fronte ad una definizione che è in sé tautologica. Qualunque altro mezzo per definire la densità (sospensione nei liquidi, ecc.) richiede l’impiego delle leggi della meccanica, le quali a rigore non potrebbero essere date per acquisite senza incorrere in una petitio principii.

Come aveva dovuto fare Euclide, anche Newton per mantenersi aderente allo schema classico è costretto ad usare dei compromessi e stratagemmi. Nel suo caso si limita a porre le definizioni in forma tautologica rispetto a se stesse ed alle leggi del mondo, il che lo lascia relativamente libero di scrivere poi nei Problemi le equazioni “giuste”.

Già da questi due semplici esempi vediamo che questo desiderio di rimanere fedeli ad uno schema prestabilito costituisce un tributo notevole che la scienza paga alla tradizione filosofica. Ci si chiede allora se questo sia l’unico schema possibile, o comunque il migliore, o se invece possa essere modificato e come.

La nozione di definizione nella tradizione filosofica

Arrivati al punto di dover analizzare lo schema di esposizione classico, è opportuno vederlo anche nella sua collocazione storica. Innanzi tutto, sebbene fin qui lo si sia riferito ad Aristotele, non si può dire comunque che la paternità sia da attribuire completamente al grande filosofo, in quanto tutta la filosofia greca è permeata dal bisogno ossessivo di far precedere qualunque discussione dalla definizione dei termini adottati. Aristotele trova dei precedenti espliciti in Platone, che a sua volta si rifà a Socrate quando gli fa dire, nel corso di una discussione con Menone, queste parole: «Mentre ti pregavo di definire la virtù intera, tu ti guardi bene dal dirmi che cosa essa sia ed affermi che ogni azione è virtù se è fatta con una parte di virtù, quasi che tu avessi già detto che cosa è la virtù nella sua interezza e io la dovessi riconoscere anche dopo che l’hai ridotta in frantumi» [Platone, Menone, 79b; i corsivi sono ovviamente i miei]. La citazione di questo passo è particolarmente utile in quanto mostra chiaramente che Platone (e probabilmente anche Socrate) intendeva per “definizione” la risposta alla domanda «Che cosa è?» Aristotele su questo punto non si discosta affatto da Platone. Se si decide di chiamare essenza di una cosa ciò che quella cosa è, allora si può dire che per la filosofia greca la definizione è la dichiarazione dell’essenza.

Aristotele riteneva che nell’esprimere l’essenza di una cosa, alcuni attributi fossero necessari, ed altri accessori. L’insieme degli attributi necessari Aristotele lo chiamava essenza necessaria o sostanza di una cosa. Egli considerava come definizione “reale” di una cosa solo la dichiarazione della sua essenza necessaria (sostanza), mentre indicava come definizione “nominale” tutte le altre dichiarazioni subordinate, compresa la dichiarazione del significato. In proposito egli scrive questo: «E poiché la definizione è la dichiarazione dell’essenza, ci sarà anche la dichiarazione di ciò che il nome significa o altra dichiarazione nominale» [Secondi analitici, II, 10] In questo passo si vede anche che Aristotele usa spesso ambiguamente il termine essenza anche per indicare l’essenza necessaria, tuttavia il contesto è sempre abbastanza chiaro, anche perché egli - come tutta la tradizione filosofica occidentale e come anche mostra il modo in cui i termini “essenza”, “essenziale” si sono sedimentati nel linguaggio comune - considera il significato sostanziale dell’essenza quello principale.

E’ opportuno notare che per Aristotele conoscere la sostanza delle cose coincideva anche col conoscerne il perché, la ragione ultima e in definitiva quella che Platone e Aristotele chiamavano causa “prima” o “razionale”. Si vede quindi che il concetto di “sostanza” è strettamente legato a quello di “causa”, e tale correlazione concettuale avrà delle pesanti ricadute su tutto il pensiero occidentale.

Le cose sarebbero andate forse diversamente se i primi filosofi, anziché chiedersi «Che cosa è x?» si fossero chiesti: «Che cosa significa la parola “x”?». In questo modo anziché avere un approccio “ontologico” al problema delle definizioni avremmo forse avuto già nell’antichità un approccio “linguistico”, o meglio – come diremmo oggi – “semiotico”. E anziché dire che la definizione è la dichiarazione della essenza (dell’oggetto designato dal segno) si sarebbe detto che la definizione è la dichiarazione del significato (del segno stesso).

Questo è ovviamente un puro esercizio di fanta-filosofia, perché come è noto nell’antichità classica non esistevano i presupposti per alcuna “svolta linguistica” ante litteram, tant’è che nel pensiero greco questo approccio appare decisamente trascurato o comunque posto in subordine. Per trovare, nella storia della filosofia, la dichiarazione del significato intesa come definizione per eccellenza o comunque equivalente a quella essenziale, bisogna attendere le riflessioni dei filosofi stoici, che la collocarono nell’ambito della loro teoria dei segni. Furono gli stoici a definire logica l’insieme dei problemi che in Aristotele vengono discussi nelle opere raccolte sotto il nome collettivo di Organon ed a fornire le basi per la logica medievale, sicché si può affermare che questo secondo modo di intendere la definizione è decisamente più moderno di quello sostanziale.

Si è già detto che alla nozione di definizione sostanziale è strettamente connessa quella di causa razionale. Invece nella tradizione filosofica che sostituisce la definizione nominale a quella sostanziale, troviamo spesso (e possiamo citare in particolare Ockham) delle nette anticipazioni della formulazione empirica del concetto di causa, cioè come previsione temporale più o meno certa, data da Hume.

Tutte queste considerazioni sono importanti se si tiene presente che l’opera di Newton deve essere collocata, dal punto di vista filosofico, interamente nella tradizione antica. E come sarà mostrato meglio in seguito, le definizioni di Newton sono (o meglio tentano di essere) di natura sostanziale ed il concetto di forza non può che essere inteso come causa prima del moto.

E sarà poi particolarmente importante stabilire quanto della tradizione filosofica antica permane, attraverso Newton e non solo lui, nella scienza moderna nonostante i successivi sviluppi della filosofia della scienza.

Metodo ed intuizione nella ricerca scientifica

Tutta questa argomentazione si presta comunque ad un legittimo dubbio di fondo: se sia opportuno per la scienza confrontarsi continuamente con la filosofia in merito ai propri metodi.

In fondo la scienza vera e propria è fatta principalmente dall’intuito geniale di persone che riescono a trovare quasi “miracolosamente” un insieme di equazioni da cui estrarre secondo opportuni algoritmi le grandezze che si ottengono nel corso degli esperimenti e le osservazioni. Per esempio l’equazione di Schrödinger consente di ricavare i livelli energetici di un sistema fisico che mostra proprietà quantiche, a partire dalla descrizione classica del medesimo sistema. Qualunque osservazione si faccia sul “significato filosofico profondo” della meccanica quantistica, non si possono assolutamente discutere alcuni punti fermi: 1) che l’equazione di Schrödinger funzioni, cioè possa essere utilizzata in tutti i problemi formulati correttamente e fornisca i risultati sperimentali corretti (a meno di tutte le correzzioni relativistiche ecc. introdotte negli ultimi settant’anni, ma questo ovviamente non è essenziale); 2) che essa sia stata trovata in virtù di una intuizione geniale che all’inizio si è probabilmente presentata alla mente del suo autore come l’intuizione di un nesso fra le equazioni della meccanica classica e quelle delle “onde pilota” già intuite da De Broglie; 3) che la capacità di cogliere in modo intuitivo questi nessi sfugge non solo alle considerazioni razionali dell’autore, ma spesso anche alla sua consapevolezza.

Quest’ultima osservazione è suffragata da diverse vicende e memorie dei grandi scienziati.

Si può innanzi tutto considerare il caso dello stesso Schrödinger, che non è mai riuscito né a fornire una interpretazione fisica delle onde che compaiono nella sua equazione né ad accettare pienamente quelle proposte da altri, il che mostra chiaramente che non c’è un nesso diretto fra la capacità creativa e le convinzioni personali né tanto meno la cultura filosofica di uno scienziato. Oppure ricordare Poincaré, che nelle sue memorie descrive molto bene, attraverso sulla propria esperienza personale, il fatto che i momenti particolarmente creativi nella vita di uno scienziato richiedono dei periodi di “incubazione” di apparente improduttività seguiti da intuizioni profonde e inspiegabilmente repentine, come se si svolgesse un lavoro inconsci o preconscio di “assimilazione” di un problema. Egli era convinto anche che spesso la profondità critica può essere non solo inutile alla scoperta, ma addirittura di ostacolo: «Questo ci mostra che la logica non basta, che la scienza della dimostrazione non è la logica tutta quanta e che l’intuizione deve conservare il suo ufficio come complemento e vorrei dire come contrappeso o come antidoto della logica.» (H. Poincaré, Il valore della scienza, La Nuova Italia Editrice 1994; p. 20; i corsivi sono i miei)

Ci troviamo così a fare i conti col fatto che la capacità creativa di un autore per un verso esula dalla sua cultura e per un altro verso, quando essa è feconda, non c’è nessuna disquisizione filosofica che possa far ombra sul fatto che “funzioni”. Così vediamo che quando Einstein si mise a lavorare alla teoria del campo unificato, le sue conoscenze sulla filosofia della scienza si erano fatte molto più mature ed evolute di quelle che possedeva quarant’anni prima. Tuttavia non si può fare a meno di vedere che in questa fase egli era solo un uomo molto intelligente alle prese con un problema troppo difficile, mentre l’articolo del 1905 sull’elettrodinamica dei corpi in movimento mostra una capacità creativa assoluta, del tutto svincolata dalla cultura filosofica dell’autore.

Non è il caso di approfondire qui delle questioni di psicologia della ricerca, tuttavia talvolta è difficile sottrarsi alla impressione che l’eccesso di pensosità e di consapevolezza possa mostrarsi deleterio per la creatività, come anche si vede nella inspiegabile sterilità che affligge le persone dotate di uno spiccato acume critico, soprattutto nel campo artistico. Fa sempre una certa impressione rendersi conto che negli anni sessanta la musica europea per rinnovarsi abbia dovuto affidarsi al lavoro di un gruppo di ragazzi che conoscevano una decina di accordi, quando invece gli eredi della grande tradizione classica, nonostante potessero avvalersi di quel profondo lavoro di destrutturazione e ristrutturazione dell’armonia che fu la musica dodecafonica, si mostravano assolutamente incapaci di definire un linguaggio capace di raggiungere un interlocutore fuori dai circoli culturali esclusivi ed impolverati.

Per uno schema più razionale: impostazione del problema

Come dovrebbe essere modificato lo schema greco-aristotelico per poter essere impiegato in modo chiaro nelle scienze? Sarebbe estremamente pericoloso fare lo stesso errore di Aristotele, tentando di rispondere a questa domanda a partire da considerazioni puramente aprioristiche e speculative. E’ invece più utile procedere in modo “sperimentale”, pur sapendo dalla lezione di Mach e di Kuhn che anche questo metodo contiene ampi margini di soggettività.

Cercheremo dunque di rispondere alle seguenti domande: 1) è possibile esporre i fondamenti della meccanica in modo “razionale” senza lasciare definizioni ambigue, tautologie, ed altri elementi irrazionali? 2) se sì, è possibile collocare questa esposizione in una forma classica o quest’ultima deve essere modificata in modo opportuno?

Cominciamo dalla prima domanda, poiché gli sviluppi della meccanica successivi a Newton hanno prodotto buona parte del materiale necessario a fornire una risposta esplicita.

Diciamo subito che, benché esistano formulazioni della meccanica che impiegano strumenti matematici e formulazioni più evoluti di quelli newtoniani (principi variazionali, meccanica lagrangiana), tuttavia è qui più opportuno usare semplicemente i risultati ben noti anche a Newton, onde comprendere meglio quali siano stati gli scogli culturali che gli hanno impedito di formulare la sua teoria in modo diverso.

E aggiungiamo che piuttosto che dividere il materiale in una sezione di definizioni ed un’altra di assiomi è più opportuno fare una prima distinzione fra cinematica (in cui compaiono solo grandezze ricavabili più o meno direttamente da misure spaziali di distanze, come la posizione, la velocità, ecc.) e dinamica (in cui compaiono tutte le altre grandezze, connesse alla massa ed alla forza, e gli assiomi). Il motivo di questa separazione lo si comprenderà meglio fra poco.

Per ora daremo per scontato quanto si ammette tacitamente in tutti i testi introduttivi, e cioè che le grandezze cinematiche possano essere definite operativamente in modo non ambiguo senza ricorrere ad alcuna legge fisica. Sappiamo che questo equivale ad ammettere l’esistenza di uno spazio assoluto e di un tempo assoluto. Ma non è questo il punto che ci interessa. Nella meccanica relativistica ristretta è lo spazio-tempo (cronotopo) ad essere considerato assoluto ed i punti materiali sono sostituiti da eventi. Ciò che ci interessa è il fatto che si ammetta la possibilità di avere una sviluppato inizialmente una cinematica costituita esclusivamente da definizioni operative, a prescindere dal fatto che esse conducano a nozioni di simultaneità e persino metriche spazio-temporali relative e/o assolute. E’ questo ammettere la possibilità di formulare la cinematica prima di qualunque legge fisica che ci interessa qui. Per il momento accetteremo questo presupposto.

Tralasceremo per il momento anche i complessi problemi legati al principio d’inerzia, limitandoci ad osservare che, ammettendo che sia possibile dare una definizione operativa di sistema isolato, quello che normalmente viene definito principio di inerzia, ovvero la Legge I di Newton, in realtà è la definizione di sistema inerziale. Per ora non svilupperemo neppure questo punto, riservandoci di riprenderlo in un secondo momento.

La dinamica

Dopo aver deciso di accettare acriticamente tutti gli elementi or ora elencati, veniamo dunque alla dinamica vera e propria.

Se volessimo seguire lo schema classico dovremmo dare una definizione operativa di massa e di forza indipendenti e definire poi, utilizzando le variabili cinematiche, tutte le variabili dinamiche (quantità di moto, lavoro, energia, ecc.), per poi enunciare – alla fine - le leggi fisiche, ovvero le relazioni fra tali variabili dinamiche appena definite.

Non solo, ma se si vuole restare aderenti in modo rigoroso allo schema classico occorre prima esporre le leggi relative ai sistemi elementari (nel nostro caso il punto materiale) e solo in seguito enunciare quelle per i sistemi.

Il mantenimento di queste propedeuticità (definizioni prima delle leggi del punto materiale, leggi del punto materiale prima delle leggi dei sistemi complessi) non è tuttavia possibile. Non esiste alcun modo di definire né la massa né la forza se non si parte direttamente dallo studio dell’interazione fra due corpi, cioè quello che per Aristotele avrebbe dovuto costituire il punto di arrivo dello schema espositivo.

Che le cose stiano così è abbastanza noto ai fisici, anche se non viene detto apertamente e molti manuali continuano ad esporre le leggi della dinamica in forma aristotelica, con stratagemmi, artifici e compromessi non meno ingegnosi di quelli di Newton. Gli autori che sanno come procedere si limitano a farlo, senza muovere apertamente delle critiche alla esposizione tradizionale, forse perché così facendo si muoverebbe una critica allo stesso Newton.

A noi interessa qui principalmente il fatto che le variabili dinamiche devono essere introdotte tutte assieme e contestualmente alla enunciazione delle leggi del moto, e non tanto come ciò possa essere fatto nei dettagli matematici. Tuttavia ci può essere utile trattare tali dettagli allo scopo di mostrare come Newton avesse tutte conoscenze necessarie per procedere con grande semplicità nel modo più razionale e abbia invece scelto di seguire faticosamente lo schema archimedeo.

Già nel 1668, su incarico della Royal Society di Londra, John Wallis, Christopher Wren e Christian Huygens avevano fatto una serie di ricerche circa il principio generale secondo cui un oggetto può variare la propria velocità solo interagendo con qualche altro oggetto in moto, il quale a sua volta modifica il suo stato di moto. Basandosi su queste ricerche Newton (proprio lui!) era giunto a formulare un “principio d’interazione” secondo cui in ogni interazione fra due punti materiali isolati le rispettive variazioni di velocità hanno verso opposto ed il rapporto dei loro moduli ha sempre lo stesso valore (nel senso che dipende solo dai due corpi che si fanno interagire e non dipende dalla durata dell’interazione o dalle condizioni iniziali), sicché tale rapporto definisce una sorta di “costante di accoppiamento”. Proiettando le variazioni di velocità Δv[1] e Δv[2] in una direzione qualunque, onde evitare la pesante notazione vettoriale, si ha quindi:

Δv[1] / Δv[2] = -α[12]

dove α[12] è la “costante di accoppiamento” (sempre positiva). (Si osservi anche che α[12] = - α[21])

Dal momento che per due corpi dati la costante di accoppiamento è sempre la stessa, ci si chiede cosa si ottiene se si fa interagire un corpo diversi corpi. L’esperimento più semplice che consente di rispondere a questa domanda è un esperimento con tre corpi materiali, in cui ognuno dei tre viene fatto interagire con gli atri due. Sappiamo già che in questo modo restano definite tre costanti di accoppiamento: α[12], α[23] e α[13]. Quel che non sappiamo è se esiste una relazione fra queste costanti e quale sia. Ebbene, l’esito empirico mostra che fra di esse sussiste sempre la seguente “legge di combinazione”:

α[12] · α[23] = α[13]

che è banalmente generalizzabile al caso in cui si abbiano N corpi, nella forma:

α[mn] · α[np] = α[mp] m,n,p = 1, 2, … N

Se ora eleviamo la regola osservata a principio, possiamo contestualmente definire una proprietà dei corpi materiali ed enunciare un principio in cui compare quella proprietà (assieme ad altre proprietà precedentemente definite).

Osserviamo infatti che in virtù del suddetto principio di combinazione, non occorre conosce la “costante di accoppiamento” fra tutte le possibili coppie di corpi. Sarà infatti sufficiente fissare un corpo di riferimento (che può anche essere un cilindro di platino-iridio conservato presso l’Ufficio Internazionale Pesi e Misure) detto “zero” ed associare ad ogni corpo materiale k una costante α[k] pari alla “costante di accoppiamento” di k con il corpo di riferimento 0, così:

α[k] ≡ α[k0]

E’ ovvio infatti che a questo punto per conoscere la “costante di accoppiamento” di una qualunque coppia di corpi materiali sarà sufficiente calcolare il rapporto fra le costanti associate ai due corpi:

α[pq] = α[p0] · α[0q] = - α[p] / α[q]

Possiamo chiamare la costante adimensionale α[k] “quantità di materia” del corpo k-mo, oppure possiamo introdurre una costante dimensionali m[k], che chiameremo massa del corpo k-mo, il cui valore numerico coincida con quello della costante adimensionale, sicché è ancora:

α[pq] = - m[p] / m[q].

Il vantaggio di usare delle grandezze dimensionali è quello di potere, di volta in volta, specificare qual è il corpo “zero” di riferimento. E una volta fissato tale corpo la misura di m[k] (o α[k]) è estremamente semplice: è sufficiente far interagire in qualunque modo (compreso quello di metterli su due piatti di una bilancia) il corpo k-mo con il corpo campione o altro corpo avente la stessa massa del corpo campione.

Avendo introdotto questa nuova proprietà dei corpi materiali il principio di interazione fra due corpi p e q diviene allora:

m[p] · Δv[p] = - m[q] · Δv[q]

A questo punto possiamo anche introdurre la definizione di quantità di moto nello stesso modo in cui la definisce Newton, dopodiché il principio di interazione si riduce a quello che ci è noto come principio di conservazione della quantità di moto.

Possiamo ora dividere per il tempo di interazione ed introdurre la definizione di forza esercitata dal corpo p-mo sul corpo q-mo per avere una equazione in cui compare un solo corpo alla volta, mentre tutti gli altri appaiono come forze (Legge II) oppure una equazione in cui compaiono le due forze che costituiscono l’interazione (Legge III). Si può poi procedere a dimostrare che la forza può dipendere solo dalla posizione e velocità dei corpi, sicché in pochi passaggi troviamo una formulazione completa della meccanica classica.

Questa esposizione è perfettamente chiara, razionale e priva di ambiguità, tuttavia essa richiede una simile sequenza: 1. legge (ovvero assioma, meglio ancora postulato) fondamentale dell’interazione fra due corpi e legge di composizione delle costanti di accoppiamento; 2. definizioni di massa, di quantità di moto e di forza; 3. seconda e terza legge della dinamica (postulati espressi in termini delle nuove grandezze introdotte). Si tratta evidentemente di uno schema inaccettabile dal punto di vista della filosofia delle “sostanze prime” e come tale mai adottato da Newton.

Va anche detto che Newton ha esitato parecchi anni a pubblicare questo testo, in quanto soffriva di notevoli disturbi caratteriali che lo spingevano a reagire con grandi sofferenze alle critiche (insomma, era piuttosto paranoico, o quanto meno molto permaloso). Inoltre Newton era tormentato da problemi economici più o meno reali (al fatto che non fosse ricco si sommava l’angoscia ossessiva di non avere di che sostenersi e di trovarsi nella necessità di lavorare). Mettendo assieme questi due aspetti è piuttosto comprensibile che per Newton sia stato di estrema importanza scrivere un’opera che potesse essere accettata col massimo favore possibile dai contemporanei, e bisogna ammettere che infrangere lo schema classico nel XVII secolo avrebbe probabilmente fatto di Newton uno di quegli scienziati destinati a non essere compresi in vita. D’altro canto non sembra che Newton aspirasse a godersi in modo “postumo” il successo, l’approvazione e la totale indipendenza economica che egli riteneva di meritare e che effettivamente la sua opera gli consentì di ottenere fra i contemporanei. O forse la sua ammirazione per Euclide ed il pensiero greco era davvero talmente grande da renderlo incapace di tanta spregiudicatezza, a prescindere da queste valutazioni tattiche. Non è facile stabilirlo.

I sistemi di riferimento inerziali

Ora che ci siamo resi conto di quale fosse l’ostacolo, possiamo anche tornare con maggiore consapevolezza sul principio d’inerzia, che avevamo deciso di prendere per buono per poter discutere subito la Legge II.

Si era detto che trattandolo come un principio si otteneva di fatto una tautologia rispetto alla definizione di forza d’inerzia. Ci sono anche altre difficoltà, legate al fatto che come abbiamo visto non si possono introdurre le forze in una sezione iniziale di sole definizioni, e che comunque quella inerziale non è una vera e propria forza (ma qui bisognerebbe tirare in ballo Mach e la discussione si farebbe troppo lunga). Per tutti questi motivi si era deciso di metterlo momentaneamente da parte.

La nostra scelta di trattare la Legge I di Newton come definizione consiste sostanzialmente nell’affermare che si dicono sistemi di riferimento inerziali quelli in cui un corpo isolato persevera nel suo stato di moto (abbiamo già detto che ci sono delle difficoltà a dare una definizione operativa rigorosa di un sistema isolato) e nel dare per scontato, se non altrimenti detto, che le leggi della fisica in seguito enunciate sono da riferirsi ad un siffatto sistema.

Tuttavia il fatto di aver sostituito una definizione ad un assioma ci fa capire che qualcosa deve essere andato perso. In realtà infatti il primo principio qualcosa ci dice, ed è il fatto che i sistemi inerziali esistono. Più precisamente è sufficiente affermare che ne esiste almeno uno, poiché si ricava immediatamente che tutti i sistemi che si muovono con velocità uniforme rispetto ad esso sono anch’essi sistemi inerziali. Il fatto poi che le leggi della fisica siano valide in un qualunque sistema di riferimento inerziale costituisce il contenuto del principio di relatività galileiano, che comunque può anche essere ricavato dalla Legge II di Newton purché si intenda che essa vale per un particolare sistema di riferimento inerziale.

Vediamo allora che anche in questo caso una definizione (quella di sistema inerziale) ed un assioma (il principio d’inerzia) non possono che essere dati contestualmente. Il principio può essere formulato affermando che esiste almeno un sistema (diciamo quello delle “stelle fisse”) in cui un corpo isolato persevera nel suo stato di moto. Si dimostra poi che di siffatti sistemi ne devono esistere infiniti, e infine si definiscono inerziali tali sistemi. Lo schema in questo caso è ancora più complesso: si parte da un assioma, si procede con una dimostrazione ed infine si passa ad una definizione. Fatto questo si può passare ad enunciare il “principio di interazione”, già trattato precedentemente, dal quale ricavare le definizioni di massa e di forza e le altre due leggi di Newton. Uno schema del tutto logico e razionale, ma assolutamente al di fuori da quello Aristotelico.

La cinematica

Infine dobbiamo tornare anche sulla cinematica, che avevamo momentaneamente messo da parte.

Come si è detto Newton aveva liquidato la questione con l’introduzione di uno spazio ed un tempo assoluti in opposizione allo spazio ed al tempo relativi, quelli misurabili. Al solito le definizioni sono talmente vaghe e/o tautologiche da poter essere usate in modo arbitrario: «Il tempo assoluto, vero, matematico, in sé e per sua stessa natura senza relazione ad alcunché di esterno, scorre uniformemente e con un altro nome è chiamato durata». Oppure: «Lo spazio assoluto, per sua stessa natura senza relazione ad alcunché di esterno, rimane sempre uguale ed immobile».

Ovviamente non è in questo modo che si può sperare di cavarsela. Per il momento abbiamo più semplicemente dato per scontato che la cinematica possa essere costituita esclusivamente da definizioni operative.

Se si analizzano tali definizioni si trova che essere consistono nella misura di distanze spaziali e intervalli temporali. La misura delle distanze può essere ricondotta alla geometria dello spazio, e ne parleremo più approfonditamente fra poco trattando della geometria euclidea. Invece quella degli intervalli temporali richiede l’introduzione di sistemi detti orologi e della nozione operativa di simultaneità.

Comunque, anche ammesso che tali definizioni siano corrette e non contraddittorie, il fatto che fra due eventi esista una distanza spaziale ed un intervallo temporale non sembra essere così chiaramente correlato alla affermazione secondo cui un punto materiale in ogni istante di tempo ha una posizione nello spazio. In altri termini, abbiamo due definizioni che, dati due eventi, ci forniscono due numeri (che almeno in teoria sono numeri reali), che noi chiamiamo distanza (spaziale) ed intervallo (temporale). Come si fa da questo semplice fatto a dedurre: 1) l’esistenza di due “enti” fisici detti “spazio e tempo”?; 2) la possibilità di attribuire ad un punto materiale una “posizione nello spazio e nel tempo”?

Potremmo anche adottare dei compromessi dicendo che lo spazio ed il tempo sono rispettivamente l’insieme delle possibili posizioni di un corpo e dei possibili istanti (o posizioni temporali), dopodiché resta il problema di definire la posizione spaziale e temporale - nozioni che esprimono proprietà attribuite ai singoli corpi, indipendentemente dagli altri - a partire dalla definizione di intervallo spaziale e temporale - nozioni attinenti sempre ad una coppia di eventi.

Anche qui occorre dire chiaramente che questo passaggio non è possibile se non individuando delle “leggi fisiche”, che a loro volta esprimono le proprietà delle distanze e degli intervalli temporali.

E la proprietà fondamentale degli intervalli è quella additiva: dati tre eventi A, B e C, e detto I(X,Y) l’intervallo fra l’evento X e l’evento Y, si ha che:

I(A,C) = I(A,B)+I(B,C).

Così come il “principio di interazione” partendo da quantità descriventi le interazioni fra corpi consentiva di introdurre la nozione di massa come proprietà dei singoli corpi (a meno di una massa campione), così il principio di additività degli intervalli ci consente di introdurre una quantità temporale riferita ai singoli corpi, che chiameremo istante (di tempo).

E’ sufficiente fissare una volta per tutte un evento “zero” (O) detto anche “origine”, ed osservare che per la legge di additività, dati due eventi qualunque A e B si ha:

I(A,B) = I(B,O)-I(A,O).

Si vede allora che non è necessario conoscere l’intervallo temporale fra tutte le coppie di eventi possibili, ma solo l’intervallo temporale fra i singoli eventi e l’evento di riferimento. Questa quantità può essere a tutti gli effetti considerata una proprietà intrinseca dei singoli corpi e, come si è detto, si può anche chiamare tempo l’insieme di tutti gli istanti possibili. Ciò che qui conta comunque è il fatto che sia la definizione che la proprietà intrinseca si basano su una legge fisica empirica che descrive una proprietà in forma di “legge di combinazione” dell’unica cosa che è osservabile direttamente: l’intervallo temporale.

Per quel che riguarda le distanze, se ci si limita a considerare eventi relativi a punti materiali che avvengono su una stessa retta, allora si ha un “legge fisica” di additività del tutto analoga a quella già vista per gli intervalli temporali.

Se invece più generalmente si considerano due punti qualunque si trova che per ricavarne la mutua distanza occorre conoscere la loro rispettiva distanza da tre punti di riferimento non allineati, oltre che un “segno” indicante da quale parte del piano individuato dai tre punti si trovi il punto materiale in questione. E’ chiaro allora che le cose diventano formalmente assai più complicate, inoltre per esprimere delle relazioni lineari occorre usare i quadrati delle distanze, introdurre il concetto di angolo a partire da quello di distanza e così via. Ma alla fine si ottengono delle relazioni simili a quelle ottenute fino ad ora, ovvero delle relazioni che ci dicono che per conoscere tutte le distanze fra tutti i punti ci basta conoscere per ogni punto solo tre numeri reali (oltre al solito segno), legati più o meno direttamente alla distanza del punto in questione da tre punti dati. Chiameremo tali parametri posizione del punto materiale, e avendo definito il concetto di posizione senza usare direttamente il concetto di spazio possiamo anche recuperare la proposta di definire lo spazio come insieme delle possibili posizioni di un corpo. Che poi questo non corrisponda all’intuizione (secondo la quale la possibilità di occupare una posizione è subordinata al fatto che esiste lo spazio ed i corpi ci sono immersi) non è cosa che possa influire sul problema di procedere nelle definizioni in modo rigoroso. Anche il fatto di definire i colori in funzione della frequenza della luce non ha nulla a che vedere con la nostra intuizione di colore, eppure sappiamo che questa definizione, oltre ad essere chiara e corretta, conduce ad una nozione di “colore” che di fatto possiede tutte le proprietà fisiche di ciò che in modo intuitivo intendiamo per esso.

Diremo anche che lo spazio è tridimensionale per mettere in evidenza il fatto che la posizione è definita da tre numeri reali positivi più un segno. Normalmente la posizione non viene data in questo modo, ma come distanza o “proiezione” - espressa da numeri reali positivi o negativi - da tre rette date. E’ evidente tuttavia che queste sono semplicemente formulazioni alternative ed equivalenti della nozione di posizione.

Riepilogo e generalizzazione dei risultati

Proviamo ora a riepilogare quanto detto fin qui ed a trarne le debite conclusioni.

Abbiamo detto che per la filosofia antica la “presentazione ideale” di una teoria scientifica sarebbe la seguente:

1) definizione degli oggetti elementari (es. “punto materiale”);

2) definizione di oggetti composti (es. “sistema di punti materiali”, o “corpo esteso”);

3) definizione delle proprietà associate agli oggetti elementari e composti (es. “posizione”, “massa”);

4) definizione delle cause che possono modificare o determinare le proprietà degli oggetti elementari (es. “forza”);

5) enunciazione dei postulati che esprimono il legame fra le cause e le proprietà degli oggetti elementari (es. “seconda legge della dinamica”);

6) enunciazione dei postulati che esprimono il legame fra le cause e le proprietà degli oggetti composti (es. “terza legge della dinamica”).

Ma abbiamo anche visto che questo schema non può essere assolutamente portato avanti se non in modo tautologico e lasciando di fatto le definizioni… indefinite. Infatti la possibilità di definire una proprietà di un oggetto elementare, come è la massa, ci viene proprio dalla conoscenza di un principio di interazione fra più punti materiali, sicché alla fine il nostro schema viene interamente ribaltato (o quanto meno fortemente “rimescolato”) dalla realtà delle cose.

In altri termini (e a costo di ripetermi) è importante tener ben presente che:

a) se non avessimo trovato, per via sperimentale, una “legge di combinazione”, non avremmo mai potuto definire la massa associata ad un corpo, e se anche l’avessimo definita in qualche modo essa sarebbe stata completamente inutile per descrivere l’interazione fra due corpi materiali qualunque;

b) è solo dopo aver introdotto la massa che la “legge di interazione” diviene a tutti gli effetti la Legge II di Newton.

E’ chiaro allora che non si può partire “dal basso” (ovvero da un corpo elementare ed isolato) per costruire una teoria fisica. Occorre invece prendere in considerazione un caso complesso, come quello dell’interazione di più oggetti materiali fra di loro e procedere per via sperimentale onde determinare quelle regolarità che ci consentano di operare una “riduzione” dal sistema ai suoi componenti. E’ la fisica del sistema che ci dice se e come possiamo operare un “taglio riduzionista” sul sistema, e non possiamo pretende di scegliere a priori come e dove effettuare quel “taglio”.

Occorre quindi rendersi conto che non sempre ha senso costruirsi un modello mentale in cui ci sono certi oggetti che hanno certe proprietà e poi chiedersi quali sono le “leggi” che si applicano a quel modello. Infatti sono proprio quelle “leggi” a stabilire quali siano le proprietà di quegli oggetti.

Certo, di solito la cosa va a buon fine perché fin dall’inizio siamo in grado di stabilire, in modo intuitivo, quali sono più o meno le proprietà che possono servirci per formulare delle leggi, e così riusciamo a concepire le proprietà prima ancora di conoscere esplicitamente le leggi. Ci basterà dare delle pseudo-definizioni per quelle proprietà e poi andare a scrivere gli assiomi (che però rispetto alle definizioni appariranno come pure tautologie).

Ma se questo vale per le grandezze meccaniche (di cui abbiamo certamente delle precognizioni intuitive, altrimenti non potremmo vivere nel mondo) quando siamo alle prese con qualcosa di meno intuitivo la pretesa di definire le proprietà fin dall’inizio e non contestualmente alla espressione degli assiomi non può far altro che produrre degli schemi concettuali inconsistenti, se non addirittura contraddittori.

E’ ciò che capita, ad esempio, nel caso della meccanica quantistica, dove – nonostante tutte le evidenze contrarie – si pretende di associare delle proprietà “cinetiche” (ovvero una posizione nello spazio e nel tempo, o qualche altra proprietà analoga) ai quanti, e poi procedere alla ricerca di “principi meccanici” basati su quelle proprietà. Quando invece: 1) tutti quei principi mostrano che per un quanto non è possibile definire una posizione nello spazio e nel tempo; 2) quegli stessi principi che si mostrano incompatibili con le “proprietà cinetiche” hanno una “forma combinatoria” (si pensi ad esempio alle “leggi di combinazione di Ritz”) del tutto analoga ai principi che ci hanno consentito fino a qui di definire una massa o una cinetica per i punti materiali. Pertanto quei principi non solo ci indicano quali proprietà non possono essere adottate per descrivere i quanti, ma allo stesso tempo ci indicano la strada giusta da percorrere. Ho cercato di illustrare dettagliatamente questo aspetto della meccanica quantistica in un mio altro articolo [Davide Pioggia, La meccanica quantistica], in cui mostro come a partire da quei principi di combinazione si sia indotti ad introdurre una particolare “proprietà” delle “traiettorie classiche”: la “fase”.

Va detto che a volte la strada da percorrere può apparire del tutto incompatibile con le nostre aspettative, e così viene spontaneo assumere atteggiamenti tesi a conservare intatto il senso comune o la nostra intuizione. Ad esempio la convinzione che non si possa definire in modo univoco la “posizione” di un quanto è ampiamente condivisa dalla ampia maggioranza dei fisici, tuttavia quando si tratta di rispondere definitivamente «No» alla domanda: «Ma per un quanto è definita una posizione spaziale (e temporale)?» si assiste ad ogni sorta di stratagemma.

In particolare si usa dire che la posizione di un quanto è definita solo quando viene emesso o assorbito da un corpo macroscopico. Tuttavia i fisici più attenti alle questioni concettuali si rendono conto che questo “salvataggio” comporta un sacco di problemi, poiché in tal caso per dare un senso fisico a tutte le grandezze che si usano bisogna sempre essere in presenza di un sistema macroscopico in grado di interagire con i nostri quanti. E così, ad esempio, chi vuole applicare la meccanica quantistica ai cosiddetti “primi istanti di vita dell’universo” si trova ad impiegare un formalismo privo di significato fisico. C’è chi ha cercato di risolvere anche questo problema, ma a mio parere le difficoltà concettuali non sono state del tutto eliminate proprio perché si è preteso di adottare un approccio troppo “classico”, sia dal punto di vista fisico che filosofico. Discuto tutto ciò più approfonditamente in un articolo dedicato ad una fra le più note delle “moderne interpretazioni” della meccanica quantistica, quella che viene detta “a storie quantiche” [Davide Pioggia, Annotazioni sulla interpretazione moderna della meccanica quantistica].

Prima di chiudere è opportuno tentare anche di generalizzare il formalismo utilizzato nei vari casi visti fin qui, e di fornire una formulazione un poco più astratta.

Supponiamo di avere definito un esperimento in cui compaiono un insieme A di oggetti simili fra loro, ovvero definibili nello stesso modo: può trattarsi di punti materiali, di eventi o anche di… “fori” (= traiettorie classiche), come avviene nel caso della meccanica quantistica.

Indichiamo con [1], [2], … [n] gli elementi dell’insieme A, e supponiamo di poter ripetere l’esperimento variando il numero e/o la disposizione di quegli oggetti.

A priori possiamo dire solo che l’esito di un qualunque esperimento dipende dalla interazione complessiva di tutti gli oggetti [k] fra di loro, e non possiamo essere certi che quella interazione di “tutti con tutti” sia scomponibile in tante interazioni più semplici. Ci troviamo insomma in una situazione in cui non vi è alcuna evidenza che si possa applicare una “riduzione” del sistema.

Introduciamo quindi la definizione operativa di una grandezza fisica G nel caso particolare in cui l’esperimento venga effettuato con due soli oggetti [p] e [q]. Diremo allora che quella grandezza fisica definisce un “accoppiamento” fra il p-mo e il q-mo oggetto. La grandezza in questione può essere ad esempio il rapporto fra la variazione delle velocità o la distanza di due punti, o l’intervallo temporale fra due eventi, o l’“interferenza” di due “traiettorie” eccetera. Indicheremo con G[pq] il valore della grandezza di accoppiamento ottenuto effettuando l’esperimento con [p] e [q].

Dal momento che i due oggetti [p] e [q] sono uguali, il sistema mostrerà una qualche simmetria σ rispetto allo scambio di [p] con [q] (l’identità, o il cambio di segno o poche altre possibilità), sicché avremo:

G[pq] = σ G[qp]

Inoltre a seconda del tipo di definizione operativa e delle evidenze sperimentali la grandezza di accoppiamento potrà essere una costante o una funzione scalare di qualche parametro.

Per verificare cosa accade quando il sistema è più complesso, scegliamo tre di questi oggetti [p], [q] e [m] e facciamoli interagire a due a due, ottenendo tre valori per G: G[pq], G[qm] e G[pm].

Supponiamo ora di trovare, empiricamente, che esiste una certa relazione fra queste tre grandezze di accoppiamento, espressa da una funzione (o un funzionale) F:

F( G[pq] , G[qm] , G[pm] ) = 0

Chiameremo questa una “legge di combinazione” delle grandezze di accoppiamento, ed eleveremo tale “legge” (= regola sperimentale) a “principio”.

Il fatto che esista tale principio ci consente di associare ad ognuno degli oggetti [k] una grandezza g[k]. Per definire tale grandezza ci basterà scegliere uno degli oggetti come “zero” e poi porre g[k] uguale alla grandezza di accoppiamento di [k] con [0], così:

g[k] ≡ G[k0]

Quando sia nota g[k] per ogni [k] possiamo ottenere la grandezza di accoppiamento per l’interazione di ogni possibile coppia di oggetti. Basterà infatti esplicitare tale espressione nella seguente equazione:

F( g[p] , σ g[m] , G[pm] ) = 0

Possiamo definire g una grandezza di “accoppiamento ridotto”, poiché da una parte essa è ottenuta in virtù delle proprietà di interazione degli oggetti [k] l’uno con l’altro, e tuttavia essa, proprio in virtù di quelle proprietà di interazione, è associata ad un solo oggetto.

In un certo senso g[k] esprime la “quota di accoppiamento pertinente a k”. Un po’ come se si trovasse un modo di stabilire la “quota di matrimonio” che tocca ad entrambi gli sposi.

Quindi g[k] è sì una proprietà di [k], ma pur essendo tale esso è definito e definibile solo quando un certo tipo di accoppiamento si lasci descrivere come una sovrapposizione di contributi apportati dai vari oggetti che partecipano all’interazione. La proprietà g “in sé” non ha senso, ed il fatto che sia definibile ci dice solo che il sistema è “riducibile”.

Possiamo anche immaginare un caso più complesso, quello in cui la legge di combinazione può essere determinata solo usando almeno quattro oggetti [p], [q], [m] ed [n], nel qual caso si avrà:

F(G[pq],G[pm],G[pn],G[qm],G[qn],G[mn]) = 0

Questo significa che bisogna fissare almeno due oggetti di riferimento [x], [y], dopodiché si definisce un vettore g = (gx,gy), “doppio” rispetto alle dimensioni di G:

gx[k] ≡ G[kx]

gy[k] ≡ G[ky]

Quando sia nota la proprietà g[k] per ogni oggetto [k] si può ricavare la grandezza di accoppiamento per ogni possibile coppia di oggetti:

F( G[pq] , g[p] , g[q] , G[xy] ) = 0

Da questa espressione si vede anche che scegliendo [x] e [y] bisogna avere l’accortezza di evitare di sceglierli “degeneri”, bisogna cioè sceglierli in modo tale che il valore di G[xy] = gy[x] = σ gx[y] sia nel dominio in cui la F è invertibile.

Possiamo poi anche immaginare un caso “triplo” e così via.

Una volta definita la g, possiamo anche definire “spazio delle g” l’insieme Γ in cui varia g, e dire che Γ è “semplice” “doppio”, “triplo”, eccetera rispetto a G.

Ecco alcuni casi notevoli:

[k]	G (accoppiam.)	F (legge di combinaz.)	g	Γ
evento	intervallo	omogeneità	istante	tempo
punto materiale	distanza	omogeneità e isotropia	posizione (spaziale)	spazio (“triplo”, tridimens.)
punto materiale	rapporto velocità	(storicamente ignorata)	massa
traiettoria classica	interferenza quantistica	legge di Ritz generalizzata	fase

Come si è detto ripetutamente, F è una legge sperimentale (se vogliamo, una “proprietà dell’universo”), e tutto ciò che sta nelle colonne a destra della colonna centrale “F” è definibile solo in virtù della esistenza di tale “proprietà dell’universo”.

Dicevamo più su che tale proprietà dell’universo determina un “taglio riduzionistico” applicabile alla complessità dei fenomeni. Ed è solo seguendo la direzione indicata dalla natura che si può dire che cosa è un “oggetto isolato”, dopodiché a questo punto dovrebbe essere chiaro che un oggetto isolato non è altro che una “quota di universo”, e si porta dietro una eco della complessità del tutto.

Un po’ come avviene per le “particelle isolate” dei modelli quantistici avanzati, che non sono mai “nude”, ma sempre “rivestite” da un involucro che è determinato da tutte le interazioni alle quali la particella partecipa. E il fatto che queste teorie, seppure “rinormalizzabili”, siano probabilmente divergenti, potrebbe farci sospettare che forse la “realtà” non è la “particella nuda”, e che quest’ultima sia solo un artificio concettuale (a cui l’universo in parte si presta, proprio in virtù delle “leggi di combinazione”) per poter pensare il tutto come un insieme di oggetti elementari.