LEY de ENFRIAMIENTO de
NEWTON
INTRODUCCIÓN
La transferencia de calor está relacionada con los cuerpos
calientes y fríos llamados; fuente y receptor, llevándose a cabo en procesos
como condensación, vaporización, cristalización, reacciones químicas, etc.
en donde la transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos y cada uno
de ellos cuenta con sus peculiaridades. La transferencia de calor es
importante en los procesos, porque es un tipo de energía que se encuentra en
transito, debido a una diferencia de temperaturas (gradiente),
y por tanto existe la posibilidad de presentarse el enfriamiento, sin
embargo esta energía en lugar de perderse sin ningún uso es susceptible de
transformarse en energía mecánica por ejemplo; para producir trabajo,
generar vapor, calentar una corriente fría, etc.
En virtud de lo anterior es importante
hacer
una
introducción al
conocimiento de
los procesos de transferencia de calor a través de la determinación
experimental de la ecuación empírica que relaciona la temperatura de
enfriamiento de una cantidad de sustancia con respecto al medio.
Experimentalmente
se puede demostrar y bajo ciertas condiciones obtener una buena aproximación
a la temperatura de una sustancia usando la Ley de
Enfriamiento de Newton. Esta puede enunciarse de la siguiente
manera: La temperatura de un cuerpo cambia a una
velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el
medio externo y el cuerpo. Suponiendo que la constante de
proporcionalidad es la misma ya sea que la temperatura aumente o disminuya,
entonces la ecuación diferencial de la ley de enfriamiento es:
(1) |
|
Donde:
T = Temperatura de un cuerpo
t = tiempo
Tm = Temperatura del medio
ambiente
Procediendo a la solución de la
ecuación (1) y separando variables
(2) |
|
integrando
cada miembro de la ecuación
(3) |
|
Obtenemos
(4) |
|
y por tanto la ecuación inversa es;
(5) |
|
(6) |
|
Si:
(7) |
|
(8) |
|
(9) |
|
Ejemplo: Un termómetro marca
la
temperatura de un sistema igual a 80°C., se mide también la temperatura del
medio la cual es de 20°C. El sistema se empieza a enfriar y tres minutos
después se encuentra que el termómetro marca 75°C. se desea predecir la
lectura del termómetro para varios tiempos posteriores, por lo tanto se
requiere determinar la ecuación del enfriamiento en función de
los valores dados.
Representemos por "T" (°C.) la temperatura marcada por el
termómetro, al tiempo "t" (min.). Los datos indican que cuando t = 0.0; T =
80.0, y cuando t = 3.0 min., T = 75°C.
De acuerdo con la ecuación (9) de la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad
de variación de la temperatura con el tiempo, dT/dt, es proporcional a la
diferencia de temperaturas (T - 20.0). Ya que la temperatura que marca el
termómetro está decreciendo, entonces (-k) resulta la constante de
proporcionalidad. Así "T" debe ser determinada de la ecuación diferencial,
por lo tanto necesitamos conocer las lecturas del termómetro en dos tiempos
diferentes, debido a que hay dos constantes que deben ser determinadas, "k"
de la ecuación (1) y la constante de "integración" que se encuentra en la
solución de la misma.
Así que bajo las condiciones dadas:
(10) |
cuando t = 0.0 ; T = 80.0 |
y
transcurrido un cierto tiempo de enfriamiento
(11) |
cuando t = 3.0 ; T = 75.0 |
de la ecuación (9) se sigue inmediatamente que debido a que
la temperatura ambiente es igual a 20 °C. entonces:
T =
20 +
Ce-kt
Entonces; la condición (10) nos indica que 80 = 20 + C y por
lo tanto la constante de integración es: C = 60, de tal forma que tenemos
que la ecuación anterior resulta:
El valor de "k" será determinado ahora usando la condición
(11). Haciendo t = 3.0 y T = 75 por lo que con la ecuación (12) obtenemos
realizando el despeje correspondiente resulta que:
e-kt
= 0.917, ahora aplicando "ln" a la ecuación y despejando la constante de
proporcionalidad cuando el tiempo es igual a 3.0 min. resulta: k = - 1/3 ln 0.917 por lo tanto:
Ya que ln 0.917 = - 0.0866, la ecuación (12) puede
reemplazarse por:
(15) |
T = 20.0 +
60
e-0.02882602
t
|
la cual resulta la ecuación de la ley de enfriamiento de
Newton aplicada a nuestro sistema, es decir que el valor de "k" depende de
las características específicas del sistema en particular, ecuación con la
que podemos determinar a un tiempo dado la temperatura correspondiente y por
consiguiente conociendo la temperatura hallar el tiempo de enfriamiento
transcurrido. Por lo que conocer el valor de
la constante "k" para diferentes materiales en función de una
tabla de valores tiempo vs. temperatura nos da la posibilidad
de "caracterizar" a cada uno de ellos.
OBJETIVO
Proporcionar una introducción a los procesos de transferencia de calor a
través de la determinación experimental de la ecuación empírica que
relaciona la temperatura de enfriamiento de una cantidad de sustancia con
respecto al medio.
JUSTIFICACIÓN
Este proyecto experimental tiene como finalidad que el alumno
aplique los conocimientos adquiridos en Matemáticas, en lo referente a
gráficas lineales, potenciales, etc. A series de valores reales obtenidos
experimentalmente por ellos mismos. De igual forma se pretende que el alumno
sea capaz de linearizar las curvas obtenidas y determinar la
real empleado para tal fin.
PROYECTO EXPERIMENTAL
Determinación
de la Ecuación empírica de la ley de
enfriamiento de Newton, o del cambio de la temperatura de una
cantidad de sustancia con respecto al tiempo.
MATERIALES REACTIVOS
Cronómetro |
Agua o cualquier otro líquido |
Diversos
recipientes |
|
Soporte
universal |
|
Pinzas
|
|
Hilo |
|
Termómetros |
|
METODOLOGÍA
Para la determinación de la
ecuación empírica de la
Actividades a desarrollar por el
alumno: Agregar agua caliente o cualquier otro
líquido a los diversos recipientes (procurar que sean de materiales
diferentes por ejemplo: aluminio, plástico, vidrio, etc.), sujetarlos a las
pinzas, construir las tablas de datos con las lecturas de la temperatura a
diferentes tiempos, determinando previamente la temperatura ambiente.
Graficar y linealizar las curvas obtenidas
determinando la ecuación empírica que represente el fenómeno del
enfriamiento en los diversos recipientes haciendo las respectivas
comparaciones.
Bibliografía básica:
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1.
R. Resnick y D. Holliday, Física
Parte I, Problema 2,3 Pág. 486. CECSA, México. (*)
2.
Francis W. Sears, Mark W.
Zemansky, Hugh D. Young, Física, Aguilar, Madrid, 1981, pp. 1134.
3. Dennis G. Zill,
Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Traducción por Álvaro Cofre
Matta, 1a. Edición, Grupo Editorial Iberoamérica, México, pp 499. |
Web Bibliografía básica:
Web Bibliografía
:
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-
Experiment 6
...are two-fold: To derive Fourier's law of thermal
conduction. To...
...w of water Derivation of Fourier's law A functional
relationship...
http://www.eng.fsu.edu/~alvi/EML4304L/webpage/experiment3.html
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