DERIVADA
EL PROBLEMA DE LA TANGENTE
El
problema de la
, ha sido de
gran interés
para los matemáticos desde la época de los griegos. El
estudio de una recta tangente a una curva
en un punto especifico de la misma, fue resuelto de varias maneras en un gran
numero de ejemplos. Sin embargo, no fue sino hasta la época de
(1642 - 1727) y
(1646 - 1716) cuando se estableció
un método general sistemático para obtener la solución. Actualmente
muchos de los problemas importantes del análisis matemático pueden
estudiarse en una estrecha relación con el mismo.
Aunque el problema de la tangente pueda parecer
de poca importancia a
los
, el hecho es que las
técnicas desarrolladas para
resolver el problema, son la columna vertebral de gran parte de la
ciencia y la tecnología actuales. Por ejemplo, la dirección del
movimiento de un objeto a lo largo de una curva en cada instante se
define en términos de la dirección de la recta tangente a la trayectoria
del movimiento. Un ejemplo diferente, pero de alguna manera similar, es
el
de una titilación en una reacción ácido - base,
cuando se conoce que la razón de desaparición en cada instante del
ácido, es proporcional a la cantidad de la base adicionada. La clave de este
problema así como la del problema del movimiento, está en un análisis
de lo que queremos designar con la palabra
. Este concepto está íntimamente ligado con la
pendiente de la recta tangente a una curva, y que la formulación
matemática abstracta de un problema sobre razones
hace indistinguible de la formulación del
problema de tangente.
Si empezamos por abordar el problema de la tangente en
términos geométricos, la figura inferior, ilustra un procedimiento
intuitivamente satisfactorio de trazar una tangente a una curva
continua "C" en un punto "P".
 Luego, si se hace girar esta línea tangente alrededor del
mismo punto, esta línea cruzará la curva en algún otro punto al que
llamaremos "q" y en este caso la "" cambia su nombre a "" de la curva.
A medida que el punto "q"
se aproxima al punto "P", la secante gira
alrededor del punto "P" y parece llegar a
una posición límite, la cual es la de la recta "PT"
que en "P" coincide en dirección con la
curva. En este sentido, si consideramos a la recta "PT"
como el límite de la secante "PQ". Esta
idea aparentemente fútil motiva la siguiente definición
: Sea "PQ"
una secante que pasa por los puntos "P" y "q"
de una curva continua "C". El límite (si
existe) de la secante cuando "q" se
aproxima a "P" a lo largo de la curva "C"
se llama tangente a la curva en "P".
Supóngase que la ecuación de la curva de la figura
siguiente, está dada
en la forma; y = f (x), donde "f"
 es una función continua
siendo "x , y" las coordenadas usuales. Se pide trazar la tangente en un punto
P (xo
, yo )
de la curva. Se desea aplicar la definición
anterior y por lo tanto se considera otro punto q
(x , y )
de la curva. Los puntos "P" y "q"
determinan una secante cuya pendiente es;
Suponiendo que la curva tienen una tangente "PT",
hallamos que cuando "q" se aproxima a "P"
a lo largo de la curva, el ángulo de inclinación
"τ" se
aproxima al ángulo de inclinación "α" de la
tangente, esto es;
lím
Θ = α
q →P
Como la pendiente de la
secante se aproxima a la pendiente de la
tangente, entonces resulta que el;
lím
tan Θ = tan α
q → P
Como para cada punto
( x, y) de la curva, tenemos que;
y = f (x), las coordenadas de "P"
pueden escribirse como (xo
, f (xo)),
y las de "q" (x , f
(x)). En consecuencia;
q
→P
Û
x
→
xo
DEFINICIÓN:
La pendiente m (xo)
de la tangente a la curva con ecuación
y = f (x) en el punto
(xo
, yo ),
es;
siempre que el límite exista.
Puesto que muchos problemas implican este mismo tipo de
límite, es útil evitar toda relación con este problema particular, por
lo que; a estos límites se les ha dado un nombre exento de cualquier
alusión.
DEFINICIÓN: Si el
existe,
se llama "Derivada" de
f
en
xo,
y se designa por f ' (xo
).
Siendo más frecuente y más simple escribir;
x = xo
+ h , de modo que; x
→xo
cuando; h →0. Por lo anterior,
la Derivada se escribe de manera muy común en la forma:
OBJETIVO
El objetivo principal que se pretende lograr en la
presentación del tratamiento del concepto de la derivada es con el fin
de introducir al alumno en el manejo del punto de equivalencia en una
reacción ácido - base en una titilación potenciométrica y su
determinación a través del concepto de la primera derivada.
JUSTIFICACIÓN
Este tratamiento teórico tiene como finalidad reforzar en el
alumno los conocimientos adquiridos en la asignatura de
matemáticas, para aplicarlos en los proyectos experimentales del
curso de laboratorio de Ciencia Básica, con el fin de integrar los conceptos
matemático y químico, en la formación del futuro ingeniero químico.
REFERENCIAS
 "Referencias
el contenido de esta sección está sujeto a cambios"
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Bibliografía básica:
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-
Jack R. Britton, R. B. Kriegh, L. W.
Rutland, Matemáticas Universitarias, Tomo I, CECSA, México,
1968, pp. 747.
-
Lehmann,
Geometría Analítica, Editorial Limusa, México, 1990, pp. 493.
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Bibliografía
:
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-
Crank
J. “The mathematics of diffusion”, second edition, Oxford
Science Publications, New York, pp 5., 2000
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Web Bibliografía básica:
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