|
Permutasi
Contoh 3.1
Dalam suatu kelas ada 6
calon pengurus kelas yang akan dijadikan ketua, wakil, dan sekretasis kelas
dengan tidak ada jabatan rangkap.
Posisi ketua dapat
dipilih dengan 6 cara, posisi wakil dapat dipilih dengan 5 cara, dan posisi
sekretaris dapat dipilih dengan 4 cara. Jadi banyaknya cara pemilihan
pengurus kelas adalah 6 x 5 x 4 = 120 cara
|
|
Definisi:
Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah
unsure yang berbeda tanpa adanya pengulangan
|
|
Permutasi r unsur yang diambil
dari n unsur dinotasikan P(n,r) atau nPr
nPr = n . (n-1) . (n –
2) . ................(n – (r – 1))
Contoh 3.2
Dari angka 1,2,3,4,5,6 akan dibentuk bilangan
terdiri dari 3 angka berbeda. Tentukan banyaknya bilangan yang dapat
dibentuk.
Jawab:
Dalam contoh ini adalah
permutasi 3 unsur yang diambil dari 6 unsur
Contoh 3.2
Dari kartu angka 2 , 3
, 4 , 5 , 6 akan dibuat bilangan
yang kurang dari 500 dan terdiri dari 3 angka berbeda. Tentukan banyaknya
bilangan yang dapat dibentuk.
Jawab:
- Karena bilangan
kurang dari 500, maka angka ratusan dapat dipilih dari angka 2 , 3 , 4
. jadi ada 3 cara untuk memilih.
- Sedangkan angka
puluhan dan satuan dapat dipilih dari 4 angka yang tersisa. Jadi harus
dipilih 2 angka dari 4 angka, yaitu
Dengan demikian banyaknya bilangan adalah
3 .  = 
Latihan 3
1. Hitunglah nilai dari 
2. Tentukan nilai n dari 
3. Tentukan nilai n dari 
4. Dalam sebuah rumah terdapat 6 kursi,
dan ada 4 orang yang akan duduk pada kursi tersebut. Ada berapa cara 4 orang bisa duduk pada 6
kursi yang disusun berderet.
5. Ada berapa macam tumpukan yang dapat
dibentuk dari 6 buku berbeda?
6. Dari 8 orang calon pelajar teladan di
suatu daerah akan dipilih pelajar teladan I, II, dan III. Hitung berapa
cara susunan pelajar yang mungkin akan terpilih sebagai pelajar teladan I,
II, dan III
7. Enam pemuda dan tiga pemudi akan duduk
pada 9 kursi yang disusun berderet. Ada berapa cara mereka bisa duduk jika
yang menempati bagian pinggir adalah pemudi
8. Akan dipilih dua karyawan dari 9
karyawan perusahaan untuk menduduki jabatan direktur utama dan wakil
direktur. Ada berapa cara memilih dua karyawan dari 9 karyawan tersebut?
9. Ada 3 orang India, 4 orang Belanda,
dan 2 orang perancis yang akan duduk pada 9 kursi yang disusun berderet.
Ada berapa cara mereka bisa duduk, jika mereka yang sebangsa harus
berdampingan.
10. Seorang guru bahasa ingin menempatkan
buku dalam bahasa yang sama berdampingan pada rak bukunya. Jika ia
mempunyai 6 buku dalam bahasa indonesia, 5 buku dalam bahasa inggris, dan 4
buku dalam bahasa jerman, dengan berapa cara ia dapat menyusun buku-buku
tersebut?
a. Permutasi dengan Beberapa Unsur Sama
Contoh 3.a.1
Misalkan ada 2 bendera
berwarna putih, 3 bendera berwarna merah dan 4 bendera berwarna hijau.
Berapa banyak cara untuk menyusun bendera-bendera secara berjajar?
Untuk menjawab permasalahan
tersebut perhatikan analisa berikut ini.
Andaikan semua bendera berbeda warna, maka ada 9
! cara untuk menyusunya. Pada kenyataannya 2 bendera berwarna putih tak
dapat dibedakan, 3 bendera berwarna merah juga tidak dapat dibedakan,
demikian juga uuntuk 4 bendera berwarna hijau.
Dengan demikian
banyaknya cara untuk menyusun bendera-bendera tersebut adalah 
Contoh 3.a.2
Berapa banyak cara
untuk menyusun huruf-huruf pada kata ”MISSISSIPI”
Jawab:
Ada 4 huruf I , 4 huruf
S , dan secara keseluruhan ada 10 huruf.
Banyaknya cara menyusun
huruf-huruf tersebut adalah:
Kesimpulan:
Banyaknya permutasi n unsur yang
mempunyai k1 unsur jenis pertama, k2 unsur jenis
kedua, k3 unsur jenis ketiga, ....., km unsur jenis ke m yang sama adalah 
Latihan 4
1. Berapa banyak susunan huruf dari kata
”MATEMATIKA”
2. Berapa banyak susunan huruf pada kata
”COOPERATOR”
3. Berapa banyak susunan huruf pada kata
” CURRICULUM” jika:
a. dimulai huruf M
b. dimulai huruf R
c. dimulai huruf C
4. Ada 3 buku kimia jilid 1, 4 buku
matematika jilid 2, dan 3 buku biologi jilid 1. Dengan berapa cara b
uku-buku tersebut dapat disusun dalam suatu rak buku?
5. Berapa banyak kata sandi yang terdiri
dari 6 lambang dapat dibentuk, jika setiap kata harus terdiri dari 4 titik
dan 2 garis
6. Terdapat 5 bola merah, 4 bola putih, 3
bola biru, dan 2 bola hijau. Dengan berapa cara bola-bola itu dapat disusun
secara berdampingan.
b. Permutasi Siklis
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah
putaran tertentu disebut permutasi siklis atau permutasi melingkar.
Agar Anda lebih memahami permutasi siklis,
pelajari uraian berikut ini.
Misalkan di dalam
ruangan terdapat empat orang yang masing-masing diberi nama A, B, C, dan D.
Keempat orang tersebut sedang mengadakan rapat dengan duduk mengelilingi
meja bundar. Dengan berapa cara mereka bisa duduk secara melingkar?
Perhatikan posisi duduk
berikut ini.
   
Perhatikan keempat
posisi duduk di atas.
Jika diperhatikan urutan
keempat posisi tersebut sama, hal yang demikian dianggap satu macam posisi
saja. Untuk mendapatkan posisi yang berbeda, maka satu orang misalnya A
dibuat posisi tetap, sedangkan yang lain dipertukarkan (lihat gambar di
bawah ini)
   
 
Jadi ada 6 cara empat orang bisa duduk secara
melingkar.
Kesimpulan:
Secara umum banyaknya permutasi cyclis dari n
obyek adalah (n – 1)!
Contoh 3,b.1
Dengan berapa cara 9 kue yang berbeda dapat
disusun melingkar di atas meja?
Jawab:
Banyaknya cara (9-1)! = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 =
40320
Contoh
3,b.2
Dengan berapa cara 4 pria dan 4 wanita duduk
mengelilingi meja bundar jika mereka harus duduk selang seling
Jawab:
Karena ada 8 orang yang akan duduk, maka satu
orang dianggap tetap, misalnya 1 orang wanita, sehingga yang dipermutasikan
adalah 3 wanita dan 4 pria.
Jadi banyaknya cara
mereka bisa duduk secara melingkar adalah 3!.4! = 6.24 = 144
Latihan 5
1. Berapa cara 7 orang akan duduk pada
kursi yang disusun melingkar?
2. Sebuah keluarga yang terdiri dari
Ayah, Ibu, dan 3 orang anaknya akan makan dimeja makan yang bentuknya
bundar. Ada berapa cara mereka bisa duduk mengelilingi meja bundar, jika:
a. mereka bisa duduk secara bebas
b. Ayah dan Ibu selalu berdampingan
3. Pengurus sebuah organisasi terdiri
dari 8 orang, yang terdiri dari seorang ketua, wakil ketua, dan bendahara,
serta 5 orang anggota. Ada berapa cara mereka bisa duduk dalam sebuah rapat
dengan duduk mengelilingi meja bundar, jika 3 orang pengurus harus selalu
berdampingan.
|
