306 - 283  a.C.
 
 
 
 
 
 

      Em tempos muito remotos, um jovem, resolvendo ser espirituoso, perguntou a seu mestre qual o lucro que poderia lhe advir do estudo da geometria. Idéia infeliz: o mestre era o grande matemático grego Euclides, para quem geometria era coisa muito séria. E a sua resposta à ousadia foi arrasadora: chamando um escravo, passou-lhe algumas moedas e mandou que as entregasse ao aluno que a partir daquele momento deixou de ser aluno de Euclides. Esse rapaz — é preciso dizê-lo — não foi o único a sofrer nas mãos de Euclides por causa da geometria. Além dele, muita gente passou maus bocados com o grande grego, inclusive o próprio faraó do Egito. Os problemas de Ptolomeu 1 surgiram no dia em que pediu a Euclides que adotasse um método mais fácil para ensinar-lhe geometria e recebeu a lacônica resposta: "não existem estradas reais para se chegar à geometria"

Alexandria, capital da geometria

      Muito antes de Euclides a geometria já era assunto corrente no Egito. Agrimensores Lisavam-na para medir terrenos, construtores recorriam a ela para projetar suas pirâmides e com ela se infernizava a juventude, no momento de aprender a manejar a constante pi — dor de cabeça séria também para os estudantes daquela época. Tão famosa era a geometria egípcia, que matemáticos gregos de nome, como Tales de Mileto e Pitágoras, se abalavam de sua terra para ir ao Egito ver o que havia de novo em matéria de ângulos e linhas.

          Foi com Euclides, entretanto, que a geometria do Egito se tornou realmente formidável, fazendo de Alexandria o grande centro mundial do compasso e do esquadro, por volta do século III a.C.
          Tudo começou com os "Elementos", um livro em 13 volumes, no qual Euclides reuniu tudo o que se sabia sobre matemática em seu tempo — aritmética, geometria plana, teoria das proporções e geometria sólida:

Elementos

Tratado sobre geometria, Proporções e a Teoria dos números.
É um manuscrito, o que é mostrado aqui é o Livro 1, Proposição 47

do Teorema de Pitágoras.

      Sistematizando a grande massa de conhecimentos que os egípcios haviam adquirido desordenadamente através do tempo, o matemático grego deu ordem lógica e esmiuçou a fundo as propriedades das figuras geométricas, das áreas e volumes, e estabeleceu o conceito de lugar geométrico. Depois, para completar, enunciou o famoso "Postulado das Paralelas", que afirma: "Se uma reta, interceptando duas outras, forma ângulos internos do mesmo lado, menores do que dois retos, estas outras, prolongando-se ao infinito, encontrar-se-ão no lado onde os ângulos sejam menores do que dois retos."

         Para Euclides, a geometria era uma ciência dedutiva que operava a partir de certas hipóteses básicas — "os axiomas". estes eram considerados óbvios e, portanto, de explicação desnecessária. O "Postulado das Paralelas", por exemplo, era um axioma — não havia porque discuti-lo. Acontece, porém, que no século XIX os matemáticos resolveram começar a discutir os axiomas. E tantas fizeram que acabaram verificando um fato surpreendente: bastava pôr de parte o "Postulado das Paralelas" — a viga mestra do sistema euclidiano — para tornar possível o desenvolvimento de novos sistemas geométricos. O matemático Lobatchevsky foi o primeiro a declarar sua independência, criando a sua própria teoria. Um outro mestre da geometria, Riemann, seguiu o exemplo e criou um sistema diferente.
         Estas novas concepções, que se tornaram conhecidas pelo nome de "teorias não-euclidianas", permitiram às ciências exatas do século XX uma série de avanços, entre os quais a elaboração da Teoria da Relatividade de Einstein, o que veio provar que essas teorias, ao contrário do que muitos afirmavam, tinham realmente aplicações práticas.

          A Teoria da Relatividade, estabelecendo que o Universo é finito, eliminou a velha noção euclidiana do mundo sem fim. E o progresso contínuo da matemática moderna pouco a pouco foi modificando os conceitos do mestre de Alexandria.
          Vivemos em novos tempos, é bom que haja idéias novas. Mas não se pode deixar de sentir respeito pelo talento admirável do velho Euclides, que, enquanto criava o seu prodigioso sistema matemático, ainda achava tempo para estudar óptica e escrever extensamente a respeito; para estudar acústica e desenvolver brilhantemente o tema, principalmente na parte que se refere a consonâncias e dissonâncias. Os escritos que deixou sobre esse assunto podem ser considerados como um dos primeiros tratados conhecidos sobre Harmonia Musical. Além disso, convém não esquecer que, para o homem chegar à conclusão de que o Universo tem fim, teve que se utilizar durante dois milênios da matemática criada por Euclides — homem que acreditava no infinito.

Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
Acrescentando-se quantidades iguais entre si obtêm-se somas iguais.
Subtraindo-se quantidades iguais de outras iguais entre si, os restos serão iguais.
As coisas que coincidem uma com outra, são iguais entre si.
O todo é maior do que a parte.

Pode-se traçar uma linha reta de qualquer ponto para qualquer outro ponto.
Sobre uma linha reta pode-se traçar continuamente uma reta finita.
Pode-se traçar um círculo com qualquer ponto como centro, e com o raio igual a qualquer reta finita traçada a partir do centro.
Todos os ângulos retos são iguais entre si.
Dados uma linha reta e qualquer ponto não situado nela, pode-se traçar por esse ponto uma paralela e somente uma à reta dada.

          Quando cessou o tinir das armas, emergiu em Alexandria uma nova capital da cultura grega. Foi aí que, por volta de 300 a.C., o mais famoso de todos os mestres da Geometria, Euclides, começou a colecionar os teoremas de seus antecessores, arrumando-os num todo:
Euclides não foi um inovador, mas excelente organizador dos resultados matemáticos obtidos por Tales, Eudóxio e outros luminares da idade de ouro da Geometria grega homens que atualmente quase que são apenas nomes para nós, tais como Demócrito, Hipócrates de Quios e Arquitas. Euclides revelou extrema habilidade ao escrever suas demonstrações em termos diretos e claros. Assim simplificadas, estão todas contidas na sua obra-prima. Os Elementos, um dos poucos livros, como a Bíblia, que parecem fundir num conjunto unificado os melhores esforços de várias gerações de mentes criadoras. Trabalho de tão rica lucidez que muitos estudiosos o consideram a coleção mais coerente de pensamentos racionalmente ligados, até hoje elaborada pelo homem. Na Antigüidade, circulou largamente em manuscritos. Desde a invenção da imprensa, publicou-se um milheiro de edições. Até há um século era o texto escolar padrão da Geometria no mundo inteiro. Hoje em dia, há várias formas reescritas, ainda é assim.

          Os Elernentos têm 13 livros ou capítulos que descrevem e provam boa parte de tudo o que a raça humana sabe até hoje sobre linhas, pontos. círculos e as figuras sólidas elementares. Tudo isso foi deduzido por Euclides, pela mais aguda lógica, a partir de dez premissas simples — cinco postulados e cinco axiomas (descritos acima). Sobre tais premissas, Euclides construiu não apenas a Geometria normalmente ensinada nas escolas hoje em dia, mas também muita coisa das outras matemáticas. Seus capítulos sobre comprimentos de linhas e áreas fornecem métodos geométricos para a solução de muitos problemas que atualmente pertencem à Álgebra. O tratamento que deu ao conceito de infinito de Zenão e da técnica para a soma de áreas sob arcos circulares, envolve idéias hoje estudadas no Cálculo. A discussão sobre números primos — números somente divisíveis por si mesmos ou por 1— é atualmente um clássico da "teoria dos números".

           Depois de Euclides os matemáticos teriam de subir acima da região normalmente considerada como Geometria grega, à atmosfera rarefeita do que recebe a denominação de Matemáticas Superiores. Inspirados pelos Elementos; os dois matemáticos mais famosos do século seguinte iriam alcançar tantos resultados novos e gerar tantas fórmulas úteis quanto todos os gregos pré-euclidianos reunidos. Um deles foi Apolônio, cujas descobertas sobre as chamadas seções cônicas contribuíram notavelmente para a Astronomia, para a ciência militar da Balística e, finalmente, para o moderno estudo de trajetórias de foguetes. O outro chamou-seArquimedes, a cujo brilhantismo na Matemática se aliou extraordinário gênio mecânico, que o tornaram o pai da Engenharia prática.

Ribeiro, Jr. , Wa - Grécia Antiga - São Carlos:
http://warj.med.br , Outubro de 1999.

Conhecer, Abril Cultural LTDA
Editor, Victor Civita.

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Biblioteca Científica e da Natureza LIFE,
Livraria José Olympio Editora S.A. Rio de janeiro.

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