ARQUIMEDES
287 - 212  a.C.

          De repente, num dia de verão, um senhor de longas barbas e aparência respeitável dá um grito surpreendido e pula para fora da piscina onde se achava serenamente imerso. Assustados, seus companheiros de banho acorrem para ver o que houve e ajudá-lo, se possível. Mas o barbudo não lhes dá tempo: ainda em pelo e sem nenhuma explicação, precipita-se rumo à saída, exclamando em altos brados: "Eureka! Eureka!"
          Em grego, a palavra eureka significa achei e, como o grego era a língua oficial da cidade siciliana de Siracusa, os aturdidos circunstantes puderam deduzir que o exaltado cidadão havia descoberto alguma coisa. Mas qual seria, nenhum deles podia imaginar. E muito menos os transeuntes que passavam, àquela hora na frente do estabelecimento. Estupefatos, viram apenas quando o famoso Arquimedes se despenhou escadaria abaixo, despido e encharcado. Murmurava palavras incompreensíveis e, sem se preocupar com o espetáculo que oferecia, seguiu correndo pela rua afora, para grande pasmo dos que presenciavam a cena.
Embora a nudez pública fosse aceita naturalmente nos recintos de banho da cidade, as manifestações de exibicionismo na rua eram punidas severamente pela lei local. No entanto, ao estudar o caso do peculiar banhista, os juizes foram complacentes e preferiram encerrá-lo sem maiores comentários. Afinal, o fato de Arquimedes ser dado a originalidades não o impedia de ser homem de muito respeito e sabedoria excepcional. Se ele dizia ter achado alguma coisa, devia ter achado mesmo. E coisa importante, com certeza, pois só mesmo algo muito excepcional faria criatura tão recatada proceder com tamanha irreverência. Por isso, de comum acordo, ficou decidido que era melhor verificar o que descobrira o sábio, do que condená-lo pela inusitada demonstração.
 
 

Resultado do banho: um Princípio

          Os juizes tinham razão: a descoberta era realmente importante. E acontecera assim: tendo observado que o nível d’água da piscina subia cada vez que entrava nela, Arquimedes passara a cogitar sobre o assunto. E, naquele dia, ao reparar que seu corpo ficava mais leve quando submerso, o sábio finalmente encontrara a solução para o enigma, bem como a forma de enunciá-lo, que era a seguinte: "Qualquer corpo mais denso que um fluido, ao ser mergulhado neste, perderá peso correspondente ao volume de fluido deslocado.
Seu enunciado, que a partir de então se tornou conhecido com o nome de "Princípio de Arquimedes", veio permitir um entendimento bem melhor do comportamento dos líquidos e constitui ainda hoje uma das leis básicas da ciência que os estuda, a Hidrostática. Mas o Princípio foi apenas uma entre muitas outras realizações do extraordinário sábio de Siracusa. Que, além de físico e matemático, foi também astrônomo, geômetra e inventor
dos mais competentes. Indiferente à mentalidade de sua época que considerava indigno de um verdadeiro sábio utilizar na prática o seu conhecimento teórico, Arquimedes dedicou-se com afinco à criação de maquinismos e engenhos. Várias vezes foi a partir dos seus ‘brinquedos" mecânicos e hidráulicos que pôde encontrar novas formulações e realizar novas conquistas teóricas.

 
 

Depois de Siracusa, Alexandria

          Não se sabe ao certo quando nasceu Arquimedes, mas, ao que parece, foi por volta do ano 287 a.C., na colônia grega de Siracusa. Seu pai era um conhecido astrônomo chamado Fídias, que costumava reunir em casa a elite local de filósofos e homens de ciência, para trocarem idéias e discutirem seus trabalhos. Dessa forma, desde cedo o menino tomou contato com o mundo das idéias e por ele se entusiasmou, lançando-se ao estudo com uma seriedade de gente grande. E assim foi até que um dia Siracusa se tornou pequena para ele. Queria ir além no domínio da geometria e das matemáticas, e já não havia na cidade quem tivesse o que lhe ensinar.
          O centro intelectual do mundo, nessa época, transferira-se de Atenas para a cidade de Alexandria, que, embora no Egito, era culturalmente grega, de modo que o jovem Arquimedes não teve dúvida: mudou-se para lá. E a mudança valeu a pena: em Alexandria, Arquimedes de Siracusa tomou contato com o que havia de mais avançado na ciência do seu tempo, convivendo com grandes matemáticos e astrônomos, entre os quais o famoso Eratóstenes de Cirene, o homem que fez o primeiro cálculo da circunferência da Terra. Alguns anos mais tarde, tendo aprendido o quanto achava necessário, Arquimedes resolveu voltar a Siracusa. Tinha em mente uma série de projetos e a pátria lhe parecia lugar mais indicado para levá-los a efeito.

 
 

O caso do barco do rei

          Durante muito tempo Siracusa fôra colônia grega. Mas emancipara-se e agora, independente, vivia em muito boas relações com Roma, cujo poder substituíra o da Grécia.
Governava a cidade o rei Hieron II, que tinha certo grau de parentesco com Arquimedes. Certo dia, o rei mandou chamar o sábio. Andava às voltas com um problema que não sabia como resolver. Mandara construir uma monumental trirreme para presentear o faraó Ptolomeu do Egito e, depois de pronto o barco, seus armadores haviam verificado que era impossível movê-lo do lugar, tal o seu peso. Embora descrente, o monarca queria saber se haveria algum sistema que permitisse o lançamento da embarcação ao mar.

Para surpresa sua, Arquimedes se propôs a realizar a tarefa com uma frase que fez história: "Dai-me uma alavanca e um ponto de apoio, e eu moverei o mundo." A presunção da resposta não agradou muito a Hieron II. Mas seu desagrado logo cedeu lugar a uma profunda admiração pela inteligência de Arquimedes. Porque o inventor criou um sistema de roldanas de grande capacidade, ligou-o por meio de cabos à embarcação-dilema e com ele executou a proeza considerada impossível: arrastou a trirreme e colocou-a na água.
Herói de guerra morre em paz.

          Com a morte de Hieron II, subiu ao trono de Siracusa um novo rei que teve a infeliz idéia de aliar-se aos cartagineses — então em guerra com Roma. Em represália, uma frota romana foi imediatamente enviada para sitiar a cidade onde morava Arquimedes.

Pessoalmente, o sábio teria preferido continuar quieto, empenhado em seus estudos. Mas a gente de sua terra, conhecendo sua capacidade como inventor, não sossegou enquanto não o viu investido das funções de estrategista-chefe da cidade.

Resultado: no dia em que a esquadra romana tentou atracar no porto de Siracusa, viu erguer-se sobre as muralhas da cidade um espantoso tentáculo mecânico, munido de pinças gigantescas. E, enquanto as naves mais próximas eram esfaceladas por aquela surpreendente arma, as mais distantes sofriam pesados danos, sob o impacto de imensas rochas que lhes atiravam as catapultas projetadas por Arquimedes. Essa primeira tentativa de invasão foi rechaçada, mas os romanos não esmoreceram e durante três anos assediaram a cidade. Graças à eficiência dos engenhos bélicos imaginados por Arquimedes, Siracusa resistiu galhardamente a princípio, mas, depois, o poderio romano acabou levando a melhor. Finalmente, no ano 212 a.C., as tropas de Marcellus Claudius entraram na cidade.

          Impressionado com a inteligência do homem que planejara tal sistema defensivo, o general romano ordenou a seus soldados que poupassem a vida e os bens do famoso Arquimedes. Quanto a este, distraído como sempre, ignorou por completo a desordem causada pelos invasores. Tropel de cavalos, tinido de armas e alarido de soldados passavam-lhe inteiramente despercebidos. Tão absorvido se achava no desenho de um diagrama geométrico, que nem sequer notou quando um soldado romano entrou cm sua casa. E, quando deu por sua presença, continuou tranqüilo. pedindo apenas ao intruso que não lhe estragasse o desenho.
A serenidade do velho sábio enfureceu tanto o soldado. que o fez esquecer as ordens do seu comandante. Com um golpe de espada. matou Arquimedes de Siracusa, dando fim a uma carreira científica das mais brilhantes de toda a história da humanidade.

 
 

Geometria até no túmulo

          A tradição celebrizou Arquimedes como um dos grandes gênios mecânicos da Antigüidade. Mas a herança deixada pelo exótico sábio de Siracusa abrange muitos outros campos além da criação de engenhos e maquinismos. Em Física, além de estudar as propriedades dos líquidos e da luz, dedicou-se ainda à investigação da natureza das forças e do seu aproveitamento, tendo escrito um alentado trabalho a respeito — "O Tratado das Alavancas". Em Matemática, descobriu uma série de princípios que permitiram o cálculo diferencial, isto é, o estudo da velocidade, da aceleração - e das forças que lhes são proporcionais.
Suas pesquisas em Geometria, reunidas nu ma obra intitulada "O Método", demonstram que Arquimedes tinha um surpreendente conheci mento a respeito de superfícies e volumes. Geometria, por sinal, parece ter sido o assunto que mais o atraía. Tanto que, quando amigos seus lhe perguntaram o que deveriam mandar gravar em seu túmulo, o sábio determinou que fosse uma esfera inscrita num cilindro. Segundo ele próprio, nada simbolizaria melhor o seu trabalho.

 

          O rival e amigo de Apolônio foi Arquimedes, um pouco mais brilhante e muito mais inventivo – ao ponto de ser relacionado, juntamente com Newton e Gauss, como um dos três maiores matemáticos de todos os tempos. Tudo o que Arquimedes fez parece hoje tão moderno intelectualmente como quando foi criado. No entanto, manteve-se dentro dos limites estreitos da disciplina platônica, sem a abreviatura algébrica para catalisar sua lógica e até mesmo sem um sistema de notação conveniente para escrever números grandes e lidar com a aritmética mais complicada.
          Os gregos não tinham uma forma simples para escrever números grandes. Arquimedes enfrentou essa desvantagem num tratado científico, Calculador de Areia, estabelecendo um sistema baseado na miríade grega, ou 10.000. Os números até uma miríade de miríades, ou 100 milhões, eram por ele denominados "números da primeira ordem". Números até uma miríade de miríades, multiplicados por si mesmos uma miríade de miríade de vezes
— 100.000.000100.000.000 — eram "números do primeiro período". Prosseguia, multiplicando esse enorme número por si mesmo uma miríade de miríade de vezes, o que levava a uma quantidade tão vasta que, na notação de base 10, seria representada pelo 1 seguido de 80 trilhões de zeros. esse impressionante desfile de zeros, dizia Arquimedes, é um número bastante adequado.

 
 

O caso do gado incontável

          Os grandes números inspiravam tão pouco respeito à poderosa mente de Arquimedes que, segundo se conta, intrigava ele os matemáticos com um dos mais desconcertantes enigmas já propostos. "Se és diligente e sábio, estrangeiro, calcula a quantidade de gado do Sol que pastava nos campos da Trinácia [Sicília]". O "gado do Sol" era, para Arquimedes, o pertencente a Hipérion, o deus Sol. Em tom sério, prosseguia descrevendo o gado e as várias cores dos bois e vacas. Devido a palavras ligeiramente ambíguas, o problema proposto tinha duas soluções possíveis. Ou havia 5.916.837.175.686 cabeças, ou então o gado somente podia ser contado por um número de 206.545 algarismos que ninguém — nem mesmo o audacioso Arquimedes
— teria longevidade suficiente para enumerar. E possivelmente nisso é que residia o humor do enigma.

 

          O feito do qual mais se orgulhava Arquimedes era o cálculo do volume da esfera, igual a dois terços do volume do menor cilindro possível que envolvia a esfera. (A seu pedido, o diagrama com a esfera e o cilindro foi entalhado em sua sepultura quando morreu, em 212 a.C. Um século e meio depois, o orador romano Cícero, visitando esse túmulo esquecido, limpou do diagrama a sujeira e as ervas que o encobriam.) Para demonstrar que o cilindro tem metade do volume de sua "esfera inscrita", Arquimedes aplicou a mesma técnica da divisão em fatias finíssimas, usada pelos gregos para a área do círculo. Depois, provou pelo método de reductio ad absurdum que seriam contraditórios os resultados, se o volume da esfera fosse igual a mais ou menos de dois terços do cilindro circunscrito. Empregou a mesma técnica para demonstrar qual a área compreendida pelas curvas parabólicas e certas curvas espirais. Usou-a ainda para computar o volume gerado por uma seção cônica girando em seu eixo.

 

          Por causa de seu espírito prático, Arquimedes era físico e engenheiro, além de matemático. Quem não conhece bem sua história, imagina-o como um professor distraído, a correr despido pelas ruas da cidade siciliana de Siracusa, aos gritos de "Eureka! Eureka!", que significam "Achei! Achei!". O que ele descobriu foi uma lei física de engenharia hidráulica. Quem quer que já tenha tomado banho de banheira sabe que um sólido mergulhado no liquido desloca seu próprio volume do liquido. Mas Arquimedes descobriu que um sólido flutuando no liquido desloca seu peso do liquido e que, de um modo geral, o sólido mergulhado no liquido perde exatamente o peso do líquido que ele desloca.
          O arquiteto romano Vitrúvio explicou posteriormente como Arquimedes se envolveu nesse problema. O Rei Hierão, de Siracusa, entregou ouro a um joalheiro da côrte para que lhe fizesse uma coroa, mas suspeitou que o joalheiro houvesse usado parte de prata em vez de ouro. Contratou seu amigo Arquimedes para resolver o problema e este se encontrava pensando na solução, certo dia, enquanto tomava banho; ao ver que seu próprio peso de água se derramava da banheira, imaginou a lei da hidráulica acima mencionada. Possivelmente demonstrou a fraude. pesando quantidades de ouro e prata iguais ao peso da coroa, primeiramente no ar e depois na água. Fosse qual fosse o processo para alcançar a conclusão, Hierão ficou muito satisfeito — e o joalheiro da côrte muito desgostoso — ou pior ainda.
O trabalho de detetive realizado por Arquimedes na coroa foi uma pequena parte de sua contribuição para a engenharia prática. Sua frase famosa, "Dai-me um ponto de apoio e levantarei o mundo", não é bazófia, e sim sinal de júbilo ao descobrir as leis matemáticas das alavancas. Descobriu também as leis das polias e métodos de localizar o centro de gravidade de um objeto, princípios usados até hoje ao erigir-se um arranha-céu ou uma ponte. A habilidade que tinha em aplicar suas próprias descobertas pode ser julgada pelo fato — relatado por Plutarco e outros — de ter mantido ao largo de Siracusa, durante três anos, uma esquadra invasora romana, com devastadoras catapultas e terríveis arpões de sua invenção. O general romano Marcelo, após sua primeira expulsão, referiu-se a Arquimedes como "esse Briaréu geométrico [monstro mitológico de uma centena de braços], que usa nossos navios como conchas para tirar a água do mar".

 
 

Conseqüências de uma bacanal

          Infelizmente para Siracusa, Marcelo acabou superando as armas modernas de Arquimedes, ao apoderar-se de uma torre da cidade, mal defendida à noite, durante uma das bacanais religiosas periódicas. Ao clarear do dia, a cidade foi surpreendida com pilhagem e morte. Desobedecendo ordens de Marcelo, um soldado romano que encontrou Arquimedes ocupadíssimo em traçar figuras geométricas na areia de uma praça, cortou-lhe a cabeça. Arquimedes tinha 75 anos e isso provavelmente não fez muita diferença para ele. Se fosse poupado, contudo, talvez pudesse deflagrar a centelha do gênio criador em um ou dois romanos. Ao invés disso, sua morte assinalou o início de um hiato intelectual que assolaria o mundo por séculos e que levaria prematuramente à sepultura a prodigiosa e jovem Geometria grega.
          Os romanos apoderaram-se dos engenhos de guerra e das invenções de Arquimedes. mas não tocaram em seu cabedal matemático. Durante a derrocada mental, espiritual e física de Roma nos séculos que se seguiram, alguns gregos bem dotados fizeram o possível para preservar a tradição criadora de Arquimedes. Conta-se entre eles a bela e sábia matemática Hipácia, que lecionou na Universidade de Alexandria por volta do ano 400, atraindo multidões de estudantes. Infelizmente foi a última dos intelectuais pagãos gregos e morreu linchada por um grupo de cristãos exaltados. Edward Gibbon assim descreveu seu fim, no livro A Decadência e Queda do Império Romano: "Foi arrancada de seu carro, despida, arrastada para a igreja", onde "teve a carne esfolada dos ossos com ostras afiadas, sendo seus membros ainda palpitantes atirados às chamas".

          A agonizante matemática grega exalava o último suspiro. Passar-se-iam 1.000 anos antes que seu espírito luzisse novamente.

ARQUIMEDES

"Todo corpo, mergulhado parcialmente num fluido em repouso, recebe um empuxo (E) de baixo para cima de intensidade igual ao peso (P) do fluido deslocado."

          

Arquimedes (287-212 a.C.) é considerado o mais brilhante cientista da antiga Grécia. Viveu no séc. II a.C., em Siracusa e tinha uma inteligência notável, que o levou a descobrir algumas das mais importantes leis e princípios da Física e da Matemática. Foi o primeiro a calcular com rigor o valor de pi (p). Foi também ele quem determinou o modo de calcular a área do círculo e a área e o volume de sólidos não poliedros, como a esfera e o cilindro. Achou isso tão importante que pediu que lhe gravassem uma esfera e um cilindro no seu túmulo, quando morresse.

 

          Um dos episódios mais conhecidos da sua vida está relacionado com uma importante descoberta e mostra bem o seu carácter de "génio distraído": o rei de Siracusa, Híeron, suspeitou que a sua coroa estava falsificada, conteria também prata em vez de ser toda em ouro puro, e pediu a Arquimedes que investigasse.
    Pensando no assunto, foi tomar banho e, ao entrar na sua tina cheia até aos bordos, a água transbordou. Descobriu logo como resolver o problema da coroa: se mergulhasse uma coroa de ouro puro, o volume de água que transbordaria seria menor que no caso de uma coroa de ouro e prata, pois sendo este metal menos pesado, para ter o mesmo peso a coroa teria maior volume, logo deslocaria mais água.
    Arquimedes ficou tão entusiasmado com a sua descoberta, que saiu do banho a correr pela cidade, nu, gritando "Heureca, heureca!" (Achei! Achei!).

E tu, és capaz?

          Repara como Arquimedes pensou para calcular a área do círculo: imaginou o círculo composto por muitos retângulos, com a mesma altura. Somando a área de todos os retângulos, obtemos a área aproximada do círculo. Faz as medidas necessárias e calcula, à maneira de Arquimedes, a área deste círculo.

Se diminuirmos a altura dos retângulos, aproximamo-nos ou afastamo-nos da área real do círculo?