한글을 수학기호로 하여 수식을 만드는 방법.

1. 이 시안의 목적.

.목적1. 한글로도 수학기호를 표기한다.

.목적2. 현행 수학기호와 한글을 혼용해서 수식이 성립하도록 한다.

.목적3. 한국어 어순대로 수학기호를 표기하고 수식을 조합해서 한국어로 수학을 생각할 수 있도록 한다.

.목적4. 문자 종류나 크기, 서체, 글꼴 종류를 단일화해서 수식을 표기한다. .

2. 수식과 자연언어를 구분하기.

수식 및 수학기호는 수학자들이 고안해 온 인공언어의 하나다.

이에 대해 보통 언어 활동에 있어서는 자연언어를 쓴다.

수식 및 수학기호를 자연언어와 비교하면 철자법이나 어순이나 의미가 다룬 경우가 많다.

따라서 자연언어 문장 속에 혼동없이 나타내기 위하여 수식 및 수학기호 등 인공언어 앞뒤에 여백을 남기거나 줄을 바꾼다.

또 수식은 띄어 쓰지 않는다.

단 묶음표로 끼운 부분에 있어서 기호열을 구분하기 위해 구점 대신에 공백을 두는 경우가 있다. .

3. 기능에서 본 수식의 구조, 표기법과 수식의 읽기.

수식은 피연산자, 또는 피연산자와 연산자로 구성한다.

연산자란 피연산자를 연산하는 기호다.

수식은 표기할 순서에 따라 중위표기법, 전위표기법 및 후위표기법으로 분류된다.

연산자를 나타내는 기호를 여 , 피연산자를 나타내는 기호를 각각 펴 , 혀 으로 한다.

중위표기법은 연산자를 피연산자 사이에 둔다. 즉

펴,여,혀

또는 구점을 생략해서

펴여혀

로 하는 표기법이다. 피연산자가 하나인 경우는

펴,여, 또는 펴여

여,혀, 또는 여혀

로 된다.

전위표기법은 연산자를 피연산자 맨 앞에 둔다. 즉

여,펴,혀

로 하는 표기법이다.

후위표기법은 연산자를 맨 뒤에 둔다. 즉

펴,혀,여

로 하는 표기법이다.

중위표기법은 연산자가 피연산자와 피연산자의 사이에 있어서 구점을 생략할 수 있고 마치 피연산자를 천칭에 다는 형태가 된다. 이 때문에 수식 표기에 있어서 중위표기법이 보급했다고 생각한다.

수식의 표기법은 특정한 자연언어의 어순에 따르지 않다.

따라서 수학기호끼리는 영향을 주거나 받거나 하지만 읽기는 문법적으로 동격으로 되도록 한다.

수식에서는 일부분 논리기호 이외 수학기호를 명칭으로 읽기로 한다.

읽기가 동사나 형용사로 될 수학기호는 명사형으로 해서 읽고 공백이 있으면 "공백"이라고 하나하나 읽기에 의해 정확하게 의미가 전해진다.

그런데 한글로 수식을 만드는 경우 후위표기법도 생각해 본다.

후위표기법은 한국어 어순과 비숫하다.

한국어는 주어, 목적어, 동사구라는 어순이고 동사구는 연산자에 대응하는 경우가 많다.

그래서 한국어로 수식을 생각할 수 있는 가능성이 있다고 생각한다.

중위표기법, 전위표기법과 후위표기법을 혼용하는 경우 수식 속에 표기법이 바꿔지면 그 표기법으로 표기된 부분 앞뒤를 묶음표로 끼운다. .

4. 현행 수학에 있어서 사용하는 기호를 형태로 본 분류.

고대(古代)의 문명권에서는 수학이나 산술(算術)에 관한 많은 이론이 고안됐는데 대부분은 자연언어로 쓰인 것였다. 한 개념을 일정한 기호로 쓰기로 됐기는 유럽의 수학이다.

자연언어가 아니고 일정한 기호로 나타내면 다음과 같은 이점(利點)이 있다.

.이점1. 벌써 알아 있는 것과 아직 모르는 것의 분별이 쉽게 된다.

.이점2. 그 문제가 해결하는지 그러지 않는지 구별하기가 쉽게 된다.

.이점3. 수학적인 현상을 형식화할 수 있고 규칙을 구조에 따라 분석(分析)과 총합(總合)을 할 수 있다.

기호화에 따른 이점을 살리기 위하여 다음과 같은 조건이 필요로 한다.

.조건1. 될 수 있도록 한 개념을 기호 하나로 대응한다.

.조건2. 같은 개념은 같은 구성법으로 기호화한다.

이 때문에 수학에서 필요한 기호는 약 1000가지라고 말해진다.

그러나 혹시 글꼴과 서체가 같은 알파벳으로만 수학기호로 해서 모든 수식을 만들기는 불가능하다.

그래서 글꼴이나 서체가 다른 앞파벳을 도입하거나 수학에 특유한 기호, 구점이나 묶음표를 여러가지 마련했다.

수학에서 사용하는 기호를 형태로 분류하면 이하와 같이 된다.

인드-알라비아 숫자 ( 0 , 1 , ... , 9 ),

일반 서체 영문자( A , ... , Z , a , ... , z ),

이탈릭체 영문자( A , ... , Z , a , ... , z ),

굵은 이탈릭체 영문자( A , ... , Z , a , ... , z ),

이탈릭체 그리스 문자( Α , ... , Ω , α , ... , ω ),

히브리 문자( ℵ 등),

독일 문자,

러시아 문자 등,

수학에 특유한 기호(+ , = , < , ∩ , ∈ , ⊂ , ∧ , ¬ 등),

장식 기호(문자 위 또는 아래, 오른쪽 아래, 주위에 붙이는 기호. 바 ¯ , 아포스트로피 ' , 물결표(틸더) ̃ , 화살표 ^→ 등),

화살표( → , ⇔ 등),

구점(마침표(온점), 쉼표, 쌍반점, 그침표(쌍점) 등),

묶음표(괄호)(소괄효 ( ) , 중괄효 { } , 대괄호 [ ] 등).

또 이 기호들을 작게 표시해서 첨자로 하는 경우도 있다. .

5. 값에서 본 수식의 구성 요소.

수식은 논리식으로 구성하고 논리식은 항으로 구성한다.

논리식은 값이 논리값(참, 거짓 등)으로 되는 기호열이다.

항은 값이 수치나 집합으로 되는 기호열이다. .

6. 현행 수학에 있어서 사용하는 기호를 기능으로 본 분류.

현행 수학에 있어서 사용하는 기호를 분류하면 개체기호, 조작기호, 술어기호, 논리기호, 변수, 구점, 묶음표 그리고 화살표로 된다.

개체기호:. 전해진 값으로 되는 수나 집합을 나타내는 기호의 총칭.

예. 아라비아 숫자, 원주율의 기호 , 허수의 기호 , 자연로그의 밑의 기호 , 공집합 기호 등.

개체기호에서는 단독으로 피연산자로 되는 기호와 그렇지 않는 기호가 있다. 또 단독으로 항으로 되는 기호와 그렇지 않는 기호가 있다. .

조작기호:. 수나 집합 몇 개로 수나 집합 하나를 만들어내는 것을 나타내는 기호의 총칭.

예. 연산기호 + , - , × , ÷ ; 삼각 함수의 연산자 sin , cos , tan ; 로그함수의 연산자 log ; 합집합 ∪ , 교집합 ∩ .

조작기호는 연산자다.

조작기호와 항을 조합해서 새로운 항을 만들 수 있다. .

술어기호:. 수나 집합의 사이의 (넓은 의미에서) 조건을 나타내는 기호.

예. 부등호 ≤ , "진부분집합이다"라는 관계를 나타내는 기호 ⊂ , "어떤 집합의 원소다"라는 것을 나타내는 기호 ∈ .

술어기호는 연산자다.

술어기호와 항을 조합해서 논리식을 만들 수 있다. .

논리기호:. 논리 연산을 하기 위한 기호.

예. 등호 = , 논리곱 ∧ , 논리합 ∨ , 부정기호 ￢ 등 논리연산자, ∀ , ∃ .

등호의 법칙의 하나에

온 a 에 대하여 a= a

가 있다.

그 법칙을 이용하면 예컨대

1+2<5

라는 논리식은

1+2=3=3<5

바꿔 쓸 수 있다.

이것은

1+2=3∧3<5

와 같은 것을 나타내고 있다.

즉 등호 = 은 논리곱을 나타내는 논리기호 으로 바꿀 수 있다.

또 논리식의 단계에서 그 진리값이 경우에도 쓰인다.

그 경우 예컨대

p 는 참이다

를 불 대수(Boolian algebra)식으로

p=1

이라고 쓸 수 있다.

따라서 등호 은 논리기호로서 간주할 수 있다.

논리기호는 연산자다.

논리기호와 논리식, 변수를 조합해서 새로운 논리식을 만들 수 있다.

또 등호와 항을 조합해서 논리식을 만들 수 있다. .

변수:. 값을 바꿀 수 있고 항이나 논리식을 대입하기에 의해 논리식이나 항의 형태를 바꿀 수 있는 기능을 가지는 기호.

변수에는 수치(數値)를 값으로 가질 수 있고 또 조작 기능이나 술어 기능, 논리값을 값으로 가질 수 있다.

변수는 피연산자로 될 수 있고 연산자로 될 수 있다.

또 변수는 항이 될 수 있고 논리식으로 될 수 있다. .

구점:. 기호열을 구분하기 위한 기호.

예. 마침표(온점), 쉼표, 쌍반점, 그침표(쌍점) 등. .

묶음표(괄호):. 끼운 부분을 먼저 처리하고 기호 하나로 간주하는 기호.

시작 괄호와 종료 괄호로 구성한다.

예. 소괄효 ( ) , 중괄효 { } , 대괄호 [ ] 등이 있고 각각 시작 소괄호, 종료 소괄호, 시작 중괄호, 종료 중괄호, 시작 대괄호, 종료 대괄호로 구성한다. .

화살표:. 변화나 논리를 방향으로서 표시하는 기호.

화살표는 연산자이고 조작기호가 되고 논리기호도 된다. .

개체기호, 조작기호, 술어기호 및 논리기호를 총칭하여 수학고유기호라 일컫는다.

.

7. 연산자가 복수 있는 항과 논리식에서 처리할 우성 순위.

항과 논리식에서 처리할 우성 순위는 이하와 같다. 이것은 한글로 표기할 경우도 같다.

.1. 위치 기수법으로 표기한 수.

.2. 첨자가 있는 기호 내 계산.

.3. 연산 기능을 가진 변수인 함수(등).

.4. 연산이 정해신 함수(등).

.5. 곱하기와 나누기.

.6. 더하기나 빼기.

.7. 술어기호나 동호를 포함한 논리식.

.8. 부정기호를 포함한 논리식.

.9. 전칭기호나 특칭기호를 포함한 논리식.

.10. 논리곱기호나 논리합기호를 포함한 논리식.

.11. 인과를 나타내는 논리기호를 포함한 논리식.

처리의 우선 순위를 바꿀 경우 처리할 항이나 논히긱을 묶음표로 끼운다. .

8. 한글을 수학기호로서 도입하기.

한글은 글자 마디를 자모로 구성한다.

자모는 자소로 구성한다.

여기서 자소를 다음과 같이 정의한다.

초성자소란 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ, ㅇ, ㅈ, ㅊ, ㅋ, ㅌ 및 ㅎ 이다.

중성자소란 ㅏ, ㅑ, ㅓ, ㅕ, ㅗ, ㅛ, ㅜ, ㅠ, ㅡ 및 ㅣ 다.

종성자소란 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ, ㅇ, ㅈ, ㅊ, ㅋ, ㅌ 및 ㅎ 이다.

초성자모란 초성자소 및 ㄲ, ㄸ, ㅃ, ㅆ, ㅉ 이다.

중성자모란 중성자소 및 ㅐ, ㅒ, ㅔ, ㅖ, ㅘ, ㅙ, ㅚ, ㅝ, ㅞ, ㅟ, ㅢ 이다.

종성자모란 종성자소 및 ㄲ, ㄳ, ㄵ, ㄶ, ㄺ, ㄻ, ㄼ, ㄽ, ㄾ, ㄿ, ㅀ, ㅄ, ㅆ 이다.

일반적으로는 자모로 한글 문자의 철자를 다음과 같이 정의한다.

글자 마디란 초성자모에 중성자모를 조합한 글짜, 또는 초성자모와 중성자모에 종성자모를 조합한 글짜다.

수학기호로서 도입할 한글은 자음자소, 모음자모 및 글자 마디로 한다.

변수는 초성자소

또는 초성자소에 중성자모를 조합한 글자 마디로 나타내기로 한다.

수학고유기호는 초선자모 또는 글자 마디로 나타내기로 한다.

수학고유기호는 명칭에서 자소를 원칙적으로 시작에서 몇 개 골라내서 조합한다.

철자가 같은 변수와 수학고유기호가 존재하고 같은 수식 안에 사용되는 경우 수학고유기호 직후에 마침표를 끼운다.

여기는 한글을 기호열로서 다루는 경우도 있고 다음과 같이 정의한다.

글자 마디는 기호열이다. 또 기호열에 글자 마디를 연결한 것도 기호열이다. .

9. 한글을 변수로 하는 방법.

변수는 초성자소 또는 초성자소에 중성자모를 조합한 글자 마디로 나타내고 철자로서 읽는다. 초성자소가 변수인 경우 초성자소를 명칭을 읽는다.

중성자모로 변수가 가지는 값의 종류를 나타내기로 한다.

한글로 나타낸 변수도 항이 되고 논리식으로도 된다.

변수의 값은 피연산자로 되고 연산자로도 된다.

.

또 값 종류에 상관없이 간단히 변수를 표기할 경우 자음자소

ㄱ , ㄴ , ㄷ , ㄹ , ㅁ , ㅂ , ㅅ , ㅇ , ㅈ , ㅊ , ㅋ , ㅌ , ㅍ , ㅎ

으로 나타낸다. .

10. 한글을 개체기호로 하는 방법.

10.1. 한글을 숫자로 한는 방법.

개체기호의 하나인 숫자는 한글로도 벌써 존재했다.

한글을 만든 시대에 중성자소를 음양 오행(陰陽五行) 사상의 입장으로 숫자로 했다.

한글의 중성자소는 모음의 발음을 나타내는 기능은 물론 한글을 만들었을 때 숫자로서의 기능도 정했다. '훈민정음 해례편'에 따르면

"ㅗ初生於天. 天一生水之位也.

ㅏ次之. 天三生木之位也.

ㅜ初生於地. 地二生火之位也.

ㅓ次之. 地四生金之位也.

ㅛ再生於天. 天七成火之數也.

ㅑ次之. 天九成金之數也.

ㅠ再生於地. 天六成水之數也.

ㅕ次之. 地八生木之數也. "

... (중략) ...

"ㆍ天五生土之位也.

ㅡ地十生土之數也. "

ㅣ獨無位數者. "

라고 쓰여 있다.

그 당시 쓰여진 "位"나 "數"라는 의미는 지금과는 다르지만 기본적인 중성자소가 숫자로 대응한 것은 명백한다.

즉 을 ㅗ 로, 를 ㅜ 로, 을 ㅏ 로, 를 ㅓ 로, 를 ㆍ (아래아)로, 을 ㅠ 로, 을 ㅛ 로, 을 ㅕ 로, 를 ㅑ 로, 을 ㅡ 로 나타냈다.

그러나 이 대응 가운데 지금 쓰이지 않는 자소가 있거나 0을 대응하는 중성자소가 없다. 이 때문에 쓰기 쉬운 대응 방법을 새로 만드는 것이 유효하다고 생각한다.

그래서

을 ㅔ 로,

을 ㅗ 혹은 ㅚ 로,

를 ㅜ 혹은 ㅟ 로,

을 ㅏ 로,

를 ㅓ 로,

를 ㅐ 로,

을 ㅠ 로,

을 ㅛ 로,

을 ㅕ 로,

를 ㅑ 로

나타내기로 한다.

컴퓨터과학 관련에 있어서는 16진법으로 나타내는 경우가 있고 더 10에서 15까지 수를 한 자리로 표기해야 한다.

A (10진법으로 10 에 상당함)을 ㅡ 혹은 ㅢ 혹은 ㅖ 로,

B (10진법으로 11 에 상당함)을 ㅘ 로,

C (10진법으로 12 에 상당함)을 ㅝ 로,

D (10진법으로 13 에 상당함)을 ㅙ 로,

E (10진법으로 14 에 상당함)을 ㅞ 로,

F (10진법으로 15 에 상당함)을 ㅒ 로

나타내기로 한다.

여기서 1 과 2 와 (10진법으로 10 에 상당함)을 나타내는 자모가 2가지 이상 있는 이유는 현행 컴퓨터로의 한글 입력 시스템의 경우 2자리의 수를 한글로 나타내려고 할 때 그 수에 대응하는 자모가 겹자모로 되지 않도록 하기 위한다.

예컨대 혹시 2 를 ㅜ 로만 나타내면 20 는 컴퓨터에서 두벌식 입력법으로 ㅜ 키와 ㅔ 키를 치면 ㅞ 로 돼 버리고 마치 1자리 숫자와 같이 보이고 컴퓨터에서는 1자리의 수로서 다뤄진다. 2 를 ㅟ 로도 나타내기로 하면 20 은 ㅟㅔ 로 나타내서 2자리로 할 수 있다. .

10.2. 한글로 표기한 개체기호와 읽기.

한글로 나타낸 개체기호의 읽기는 개체기호의 명칭(생략 가능하면 새략한 명칭),

또 자음자소로 나타낸 개체기호 경우는 자음자소 명칭으로 한다.

.

여기서 삼각형, 도, 라디안 및 스체라디안을 나타내는 게채기호 이외는 단독으로는 항이 된다.

. . .

11. 한글로 표기한 조작기호와 항, 읽기.

항과 조작기호를 짜맞춰서 항이 된다.

중위표기법 경우 항 사이에 조작기호를 두면 항이 된다.

후위표기법 경우 항 뒤에 조작기호를 두면 항이 된다.

조작기호의 명칭이 "~한다"로 되는 경우 "~하기"로 바꿔서 읽는다.

예건태 x+1+i 를 한글로 나타낼 경우

중위표기법으로는 타ㄷㅗㄷㅎ 으로 하고

후위표기법으로는 타,ㅗ,ㄷ,ㅎ,ㄷ 로 한다.

이 항의 읽기는

중위표기법 경우 "타 더하기 일 더하기 히읗" 이라고 읽는다. .

12. 위치 기수법으로 표기한 수의 한글 표기.

위치 기수법은 항이 자연수, 정수, 유리수 및 실수 경우 조작기호를 생략해서 표기하는 기수법이다.

예컨데 십진수 358 는 3×10×10+5×10+8 라는 항을 조작기호 × 와 + 를 생략해서 표기한 자연수다.

위치 기수법은 중위표기법으로도 후위표기법으로도 같다.

자연수의 읽기는 이하와 같이 정한다.

10진수의 자연수의 경우 현행대로 읽는다. 즉 숫자를 읽은 후에 (십의 자리 이상은) 자리의 이름을 붙이고 큰 자리에서 차례로 읽는다. 단 가장 큰 자리의 숫자가 ㅗ (즉 1 ) 의 경우 그 자리의 숫자 ㅗ 는 읽지 않는다.

그 이외는 자연수의 경우 숫자를 큰 자리에서 차례로 읽는다.

소수(小數)는 1 보다 작은 실수(實數)다. 자연수 자리와 소수의 자리를 합치고 표현한 수를 대소수(帶小數)라고 말한다.

소수점(小數點)은 현행 수학의 기술과 같이 마침표를 쓴다.

양의 대소수는 숫자 사이에 마침표를 둬서 표기한 수다.

소수는 자연수의 부분을 읽은 후 소수점을 "점"이라고 읽고 소수점 이하의 숫자를 큰 자리에서 차례로 읽는다.

또 순환소수도 기술하는 방법은 이하와 같다.

예컨대

1÷11=0.090909… = 0.(09)

로 되는데 순환소수로서 나타낼 때 되풀이하는 시작 자릿수와 끝 자릿수에 있는 숫자 위에 점을 붙인다.

한글로 순환소수를 나타낼 경우 되풀이하는 시작 자릿수에서 끝 자릿수까지 묶음표로 끼운다.

0.090909… 의 경우 ㅔ.(ㅔㅑ) 로 된다. .

13. 곳셈 표기법.

현행 수학의 곳셈에 있어서 중위표기법으로만 곳셈기호를 생락할 수 있는 경우가 있다.

.1. 앞 항을 위치 기수법으로 표기한 수로, 뒤 항을 변수나 알파벳 개체기호로 표기하는 곱하기.

예. 3×a 를 3a 로 나타낸다. .

.2. 변수와 알파벳 개체기호 끼리 곱하기.

예. x•y 를 xy 로 나타낸다. .

.3. 앞 항을 위치 기수법으로 표기한 수나 알파벳 개체기호나 변수로, 뒤 힝을 묶음표로 끼운 항으로 표기하는 곱하기.

예. a•(b+c) 를 a(b+c) 로 나타낸다. .

.4. 앞 항을 묶음표로 기운 항으로, 뒤 항을 알파벳 개체기호나 변수로 표기하는 곱하기.

예. (a+b)•x 를 (a+b)x 로 나타낸다. .

.5. 묶음표로 끼운 항 끼리 곱하기.

예. (a+b)•(c+d) 를 (a+b)(c+d) 로 나타낸다. .