-
127.
APENDICE 3.
SINERGETICA DE LOS DEDOS INDICE EN VAIVEN
Se explica aqu� el modelo HKB (Haken, Kelso y Bunz). En los fen�menos peri�dicos se llama fase a la parte fraccional de un
per�odo total 2 pi, a trav�s de la cual se ha movido la variable temporal de
una magnitud peri�dica (por ejemplo, la de la posici�n del dedo en vaiv�n
de una mano con la mu�eca fija, haciendo el s�mbolo que se interpreta como
"n�"). El punto de referencia para la fase puede ser arbitrario, a partir
de un tiempo cero arbitrario. Se suele tomar como cero el momento cuando el
sentido del movimiento cambia de signo (el dedo en vaiv�n deja de ir hacia
la izquierda para empezar en el sentido contrario). El origen se elige de
manera que la parte fraccional del per�odo sea inferior a 2 pi (por ejemplo,
cero).
--------------------------------------------------------------------------
Amplitud
�--fi--�
�-----2TT-----�
tiempo
Fig 29 - Dos ondas sinusoidales desplazadas con una fase fi, medida cuando
la amplitud es nula. Para los dos dedos �ndices de un mismo experimentador,
ellos est�n en fase (fi = 0) si los dos est�n a la izquierda (y luego a la
derecha) en el mismo instante. Aqu� est�n fuera de fase, desplazados fi = pi.
--------------------------------------------------------------------------
El experimentador tiene sus dos brazos extendidos hasta las mu�ecas hacia
adelante y las manos y sus �ndices apuntando al techo. Como son dos dedos
�ndices, cada uno con su propia fase (�1 para el izquierdo y �2 para el
derecho), conviene normalizar la experiencia definiendo la fase relativa
fi = FI1-FI2.
Ellos se pueden mover casi en paralelo (con fi muy cercano a cero), a la
manera de dos limpiaparabrisas de autom�vil (movimientos paralelos o en fase). Si el
ritmo es cada vez m�s r�pido, ocurre una involuntaria transici�n de fase
desde el paralelismo del movimiento en vaiv�n (fi � 0) hacia un
antiparalelismo o antifase.(fi �pi). Hay varios otros posibles ensayos de dedos de
manos opuestas, entrelazados o n�, con movimientos en vaiv�n o giratorios,
que revelan una an�loga transici�n de fase del desequilibrio (ya que lo es
por el consumo de ATP o aporte de energ�a muscular asociados con la
din�mica). Se trata de una din�mica compleja porque la mente dirige el
movimiento muscular mandado por un sistema, basado en genes
comportamentales, que ha evolucionado hacia la soluci�n instintiva t�pica
del ser humano, que alterna el movimiento de sus miembros, contrariamente
al canguro que salta con los dos pies ubicados a la par. Esta transici�n de
fase del desequilibrio recuerda al pasaje del paso al trote y del trote al
galope, andares o aires t�picos del caballo.
Observando con atenci�n, hay un per�odo de movimientos lentos de los dos dedos en paralelo o en fase (<<2,25 Hz),
sin transici�n alguna, en movimientos alejados de la transici�n. Al acercarse, en ensayos
reiterados, al per�odo cr�tico de frecuencia cercana a 2,25 Hz, se produce todas
las veces el salto de una situaci�n a la otra. Est� asociada a frecuencias
cr�ticas (medidas en Hz) con datos bastante fluctuantes. Estas
fluctuaciones resultan muy importantes para la teor�a, que verifica la
introducci�n de un orden por fluctuaciones. O sea el establecimiento de
movimientos antiparalelos o en antifase operando con 2,25 Hz o m�s, movimientos que una
vez ingresados no son ya abandonados, pese al progresivo frenado del ritmo.
128.
Deliberadamente es otra cosa, pero ello requiere disminuir la frecuencia de
movimiento a valores mucho menores que 2,25 Hz, el punto cr�tico a la ida. Como la ida y la vuelta se presentan a diferentes valores, es un fen�meno con hist�resis. La zona de la transici�n
ocurre para � � �, la zona de movimientos paralelos o en fase es, por definici�n, � �
0 y la de los movimientos antiparalelos o en antifase es de � � 2�. La zona de
movimientos paralelos es natural si hay lentitud de movimientos. La zona de
movimientos antiparalelos es natural tanto si hay lentitud como si hay
aceleraci�n de ritmos. Corresponde a una simetr�a bimodal. La zona de transici�n es antinatural y no se la
puede mantener establemente en la frecuencia cr�tica de 2,25 Hz: como ya se
ha indicado, siempre va del movimiento paralelo al antiparalelo y esto no
se puede revertir en forma espont�nea, siendo irreversible por encima de la
frecuencia cr�tica. Esta rotura de la simetr�a bimodal para pasar solamente a una posibilidad antiparalela se denomina bifurcaci�n. Ella se explica en el texto.
La sinerg�tica encuentra as� que el par�metro de orden de esta
autoorganizaci�n es la fase relativa �. Al ir cambiando el par�metro de orden se pasa de una versi�n bimodal sim�trica a una versi�n unimodal. El incremento temporal del
par�metro de orden est� relacionado con el decremento temporal del
potencial V y con las fluctuaciones F (principio esclavizador de Haken)
ofi/ot = -oV(fi)/ot + F(t)
V es el potencial (por analog�a energ�a potencial) que debe minimizarse
para asegurar estabilidad. Las fluctuaciones F se suponen gaussianas
centradas en cero. Un fuerte valor negativo de F ayuda a la transici�n
desde el movimiento paralelo, inestable para altos valores de V, hacia el
movimiento antiparalelo, estable para altos valores de V. El resto de la
ecuaci�n diferencial a derivadas parciales indica que si uno incrementa el
potencial V en el tiempo con F nulo, se pasa de dedos �ndices en un
movimiento paralelo a otro antiparalelo, o sea desde un valor alto (fi�pi)
para el par�metro de orden a un valor bajo (fi�0), en el tiempo. Solamente
se puede pasar de antiparalelo a paralelo si se hace tender a cero la
variaci�n del potencial en el tiempo y se origina una fluctuaci�n
fuertemente positiva.
Una vez esclavizado el par�metro de orden fi en valores cercanos a cero, se
despeja que V(fi) = V(-fi), condici�n de simetr�a que indica que nada cambia
si se redefine al dedo izquierdo como derecho y viceversa. Adem�s el valor
de n no altera las cosas si n = 0,2,4... ya que
V(fi) = V(fi+nTT)
Tomando todos estos datos en consideraci�n, se puede modelizar de la
siguiente forma la estabilidad de los dedos �ndices en seguir con el
movimiento peri�dico previo:
V(fi) = - (mu1.cos fi + mu2.cos 2fi)
En la Fig 30 se indican los perfiles de potencial en funci�n de � para
todas las variaciones entre 1,000 y 0,000 de (mu2/mu1) que pasa a tener el
papel de par�metro de control. Con el valor 1,000 ambos son iguales y con
el valor 0,000, �1 es infinitamente mayor. N�tese que el modelo explica por
qu� no hay una transici�n cuesta arriba una vez que el movimiento conjunto
se estabiliz� en el punto de m�nimo potencial.
El potencial V(fi), var�a con el par�metro de orden y si es bajo para cierto
valor de fi se interpreta como caracter�stica de una situaci�n estable. Esto
se aprecia en la Fig 30. All� se grafican muchos perfiles con dos valles
sim�tricos laterales y uno grande central. Hay dos casos posibles de
movimiento paralelo (en el momento t = 0, los dos dedos ya sea a la
izquierda o bien a la derecha), lo cual se corresponde con los dos valles.
129.
---------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------
Fig 30 - Potencial V en ordenadas y fase relativa fi en abcisas asociado con
valores del par�metro de control (mu2/mu1) que van desde 1 (extremo superior
izquierdo) hasta 0 (extremo inferior derecho). La pelotita incorporada en
cada uno de los casos indica la ubicaci�n del sistema din�mico de los
dedos, comenzando con una din�mica netamente paralela con (mu2/mu1) � 1,
situaci�n en que podr�a, con una fuerte fluctuaci�n, pasarse a la otra
posibilidad y terminando con una din�mica netamente antiparalela con
(mu2/mu1) � 0, situaci�n donde no hay posibilidad de volver a la din�mica
paralela. La transici�n de fase se produce en (mu2/mu1) � 0,250. El perfil
del par�metro de orden cambia con el par�metro de control.
--------------------------------------------------------------------------
130.
peque�os. Si fuera perfecto, fi valdr�a -pi � +pi segun sea la convenci�n
inicial. El movimiento antiparalelo est�� asociado con el menor potencial
del valle grande. Si fuera perfecto, la fase relativa fi valdr�a cero. Las
fluctuaciones F modifican la perfecci�n del movimiento, cualquiera que sea
su tipo.
- ESTUDIO DE LA DINAMICA DEL CASO PARALELO.<
Contrariamente a las primeras gr�ficas de la Fig 30, la pelotita estar�
aqu� en el fondo del valle central para todos los valores de (mu2/mu1). Las
fluctuaciones experimentales tienden muy levemente a subir con el
aceleramiento de la din�mica hacia (mu2/mu1) � 0. No cambia ni la media ni
casi la varianza con el tiempo del ensayo con dedos en aceleraci�n gradual.
- ESTUDIO DE LA DINAMICA DEL CASO INICIALMENTE PARALELO
Subiendo la frecuencia desde 1,25 a 2,50 Hz se observa que al repetir los
ensayos, la varianza de los puntos experimentales de las diversas corridas
aumenta a medida que la frecuencia se acerca a 2,50 Hz, momento en que es
m�xima. En ese entorno se produce la transici�n de fase, lo cual en el
lenguaje de la sinerg�tica se describe as�: los grados de libertad del
movimiento de los dedos quedan esclavizados para adoptar una estructura de
dicho movimiento diferente de la inicial. La varianza cae bruscamente con
datos entre 2,25 y 2,50 Hz. A los 2,50 Hz el movimiento antiparalelo,
esclavizado, es estable. En valores de 1,25 Hz o menos, los grados de
libertad para el movimiento de los dedos son mayores, ya que pueden hacerlo
antiparalelamente adem�s de paralelamente. Los valores de fi previos a la
transici�n tienen como valor medio 160 grados. Los valores de � posteriores a la
transici�n tienen como valor medio 10 grados. Entre los 160 y los 10 grados
ocurren esas fluctuaciones ya anotadas.
- AUTOORGANIZACION
los grados de libertad que exhiben los dedos �ndices comprometidos con el
movimiento paralelo pasan por un per�odo de fuertes tensiones para acabar
esclavizados para permitir la aparici�n de otros grados de libertad menores
asociados con la din�mica prevalente cuando se aumenta el apartamiento del
equilibrio. Esto es t�pico de todas las autoorganizaciones y se va a
volver a ver con la autoorganizaci�n de la maduraci�n del pensamiento.
Se puede indicar que la sinerg�tica (ciencia de las autoorganizaciones
resultantes de transiciones de fase del desequilibrio), resulta m�s
matizada que la termodin�mica cl�sica del equilibrio. La visi�n
macrosc�pica de la sinerg�tica utiliza la autoorganizaci�n espont�nea del
movimiento antiparalelo de los dedos como un ejemplo paradigm�tico que
ilumina un tipo muy general e importante de fen�menos.
Friedrich R, Haken H - A short course on synergetics, in Proto, A (ed.)-
Nonlinear phenomena in complex systems, North Holland, 1989.
Actualizado 15 de Octubre, 1998
(Pagina en preparacion)
