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| Historia
de la Matemática
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La geometría euclidea se
encarga de las propiedades y mediciones de elementos como puntos, líneas,
planos, volúmenes, etc. También describe conjuntos formados por estos
elementos; las combinaciones forman figuras y formas determinadas. Pero,
si miramos a nuestro alrededor, en la naturaleza; las montañas, las
nubes, las hojas, los copos de nieve...veremos que no pueden ser
descriptos de una manera fácil en esta geometría euclidea. La
geometría fractal nos describe y nos da un modelo matemático para estas
formas de la naturaleza. Cerca de 1890 Henri Poincaré concibió los fractales. Sus ideas fueron extendidas más tarde por otros dos matemáticos franceses: Gastón Julia y Pierre Fatou, en 1918. En 1974, tras permanecer congelado en los años 20, el estudio fue renovado por IBM e impulsado por la computadora digital. El padre de la geometría fractal es el Dr. Mandelbrot, de la Universidad de Yale; en honor a él se le dio su nombre a uno de los conjuntos que investigó. Este campo de la matemática es considerado desde los años '70 como parte de la vanguardia de los matemáticos. Las diferencias fundamentales entre la geometría euclídea y la fractal se pueden resumir en que la primera hace más de 2000 años que existe, es descripta por fórmulas, trata una dimensión enetera y objetos hechos por el hombre. La segunda, hace sólo diez años que se estableció, trata formas naturales y una dimensión fractal, además de que es descripta por algoritmos recursivos, o sea...iteraciones. El fractal es, matemáticamente, una figura geométrica compleja y detallada en estructura a cualquier nivel de magnificación. Los fractales son semejantes a sí mismos, poseen la propiedad de que cada porción puede ser visualizada como una réplica a escala reducida del todo. Algunas estructuras son: el triángulo de Sierpinski, la curva de Koch, el conjunto de Mandelbro, los conjuntos Julia, etc. Los fractales no tienn dimensión uno, dos o tres, sino una dimensión fraccionaria, que no es entera. Los fractales verdaderos son una idealización, ninguna curva en el mundo real es un fractal verdadero; los objetos reales son producidos por procesos que actúan sólo sobre un rango a escalas finitas; y los fractales, infinitas. Sabemos que los puntos tienn dimensión 0, las líneas 1, las superficies 2, y los volúmenes 3. Todas estas dimensiones son llamadas topológicas. Una superficie puede ser tan rugosa que casi llene la superficie en que se encuentra. Podemos pensar en la rugosidad como un incremento en la dimensión; una curva rugosa puede tener una dimensión entre 1 y 2; y una superficie rugosa entre 2 y 3. Para calcular la dimensión de un fractal se usan de un fractal se usan los conceptos de límite, logaritmo, escalas y medidas. Para fractales muy complejos se usan computadoras y para los más simples, fórmulas, la más común es la de Hausdorff-Besicovitch. Un ejemplo simple es el del triángulo de duplicación: tomemos un segmento de longitud 1, si lo duplicamos tendremos 2 segmentos iguales al anterior. Entonces, si duplicamos los lados de un cuadrado de lado 1, vamos a tener 4 cuadrados iguales al original. Ahora tomemos un cubo de largo, alto y ancho 1, y dupliquemos sus medidas; resultado: 8 cubos iguales al original. * Resumamos:
Si F es el número de copias, y
D la dimensión de la figura original, entonces F=2D . Aplico
logaritmo en ambos lados y queda Con esta fórmula se puede encontrar la dimensión fractal del T.de Sierpinski.
Duplicamos los lados y obtenemos otro triángulo de Sierpinski que contiene tres triángulos de la misma escala, entonces F=3. O sea que D = log3/log2 = 1.58496.
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