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Stanislaw Ulam, miembro del famoso grupo de matemáticos polacos de la preguerra, emigrado a los Estados Unidos donde colaboró con el proyecto Manhattan que construyó la primera bomba de hidrógeno, nunca escribió específicamente sobre juegos o acertijos. Sin embargo, en su autobiografía "Adventures of a mathematician" (Aventuras de un matemático), aboga por uno enfoque lúdico para resolver problemas teóricos. De este libro se extraen las siguientes reflexiones.

Alguna vez se me ocurrió el siguiente problema filosófico que no sé cómo resolver. Considérese un juego, tal como un solitario o una partida entre dos personas. Permítase que cada jugador haga trampa una o dos veces durante el desarrollo de la partida. Por ejemplo, en el solitario Canfield, si apartándose de las reglas se cambian las posiciones de una o dos cartas, una (y solamente una) vez, el juego no se destruye. Sigue siendo un juego completo, preciso, con estructura matemática definida; pero, eso sí, diferente del original. Se transformará simplemente en otro un poco más rico, más general. Pero si uno toma un sistema matemático, un sistema de axiomas, y le adiciona una o dos sentencias falsas, el resultado carece de sentido: una vez que se incluye una falsedad, se puede deducir cualquier cosa que se desee. ¿En dónde se encuentra la diferencia? Quizás en el hecho de que en un juego se permite sólo un tipo de movimientos, mientras que la introducción de una premisa incorrecta en las matemáticas, permite deducir inmediatamente que uno es igual a cero. Debería entonces existir una manera de generalizar el juego de las matemáticas, de manera tal que si se cometen unos pocos errores, el resultado no sea un sinsentido, sino simplemente un sistema más amplio. Hawkings (2) y yo hemos especulado sobre un problema relacionado: una variación del Juego de las veinte preguntas. Alguien piensa en un número entre uno y un millón (un millón es algo menor que 22). Otra persona intenta descubrirlo haciendo hasta veinte preguntas, a las que la primera responderá solamente con sí o con no. Es obvio que puede deducirse el número si se comienza preguntando: ¿se encuentra el número en la primera mitad del millón?, y se continúa, en las preguntas sucesivas, reduciendo por mitades los posibles candidatos. Finalmente, el número se obtiene en menos de 1092 (1.000.000) intentos. Ahora, supóngase que se permite mentir una o dos veces. Entonces, ¿cuántas preguntas se necesitan para asegurarse obtener la respuesta correcta? Es claro que se requieren más que n para adivinar uno entre 2 objetos, ya que no se sabe en qué punto se ha mentido. Este problema no se encuentra resuelto en general. En mi libro sobre problemas sin solución declaro que muchos problemas matemáticos pueden ser paysizados (una palabra griega que significa jugar). Esto es, pueden ser formulados en el lenguaje de la teoría de los juegos. Por ejemplo, un esquema general para practicar un juego puede ser fijado así: supóngase que N es un número entero dado, y que dos jugadores deben construir dos permutaciones de N letras (n₁, n₂. .. n_N), las que son formadas por turnos por cada uno, como sigue. En la primera permutación, el primer jugador elige n_i, el segundo elige n₂, el primero n₃, etcétera, hasta completar la primera permutación. Se repite luego el procedimiento con la segunda, y si las dos permutaciones generan el grupo completo de todas las permutaciones, el primer jugador gana. En caso contrario, gana el segundo. ¿Cuál tiene estrategia ganadora?. Éste es apenas un peque-
ño ejemplo de cómo, en cualquier dominio de las matemáticas (en este caso en teoría de grupos finitos), se pueden inventar esquemas de juegos que conducen a problemas y teoremas puramente matemáticos.
También se pueden plantear preguntas de un tipo diferente. Si esto se realiza al azar, ¿cuáles son las probabilidades? Éste es un problema que combina teoría de la medida, probabilidad y combinatoria. Y se podría proceder por este camino en muchas partes de las matemáticas.

NOTAS

(1) El Canfield, el más famoso de los solitarios de cartas americano, se resuelve, como tantos otros, «sacando» por orden las cartas de cada palo. Su nombre recuerda al dueño de un salón de juegos de Saratoga de la última década del siglo pasado. Canfield obtenía sus
ganancias precisamente con el juego de su nombre. Vendía un mazo de cartas por 50 dólares, y el comprador tenía derecho a intentar resolver el solitario. Por cada carta que lograba «sacar», Canfield le pagaba 5 dólares. Esto da una idea de la dificultad para resolverlo.

(2) David Hawkings, filósofo de la Universidad de Berkeley, fue llevado por J. R. Oppenheimer, director del proyecto, al laboratorio de Los Álamos, donde se desarrolló la primera bomba atómica, para que sirviese de enlace con los militares. Ulam lo recuerda como el
matemático aficionado con más talento que haya conocido.

(3) Colection of mathematical problems, Interscience, New York, 1960. 

(4) Se llaman permutaciones de una colección de N objetos a las diferentes formas de ordenarlos. Por ejemplo, las permutaciones de tres objetos, A, B, y C son: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB
y CBA. El número de permutaciones de N objetos es igual a N!, (es decir, factorial de N= 1 x 2 x 3 ... x N). El símbolo (n_i, n₂, ...n_N) denota la permutación que lleva ni sobre n₂, n₂ sobre n₃, ... n_N-1 sobre n_N y n_N nuevamente sobre n1. Es decir, formando un ciclo cerrado. Si por ejemplo, la colección de objetos son las cuatro letras P, Q, R, S, (o sea, N = 4), y se elige n_i = Q, n₂ = S, n₃ = P y n₄ = R, se tiene:

que significa que aplicar la permutación (n₁, n₂, n₃, n₄) elegida (a la izquierda de la expresión) sobre las letras PQRS ordenadas así (a la derecha, arriba), resulta el ordenamiento RSQP (a la derecha,
abajo). Sobre este nuevo ordenamiento RSQP puede volver a aplicarse la misma permutación (Q, S, P, R).

se vuelve a obtener el orden primitivo PQRS. La aplicación sucesiva de la permutación de cuatro elementos es entonces un ciclo de orden cuatro: sólo se obtienen cuatro ordenamientos diferentes. Sin embargo, el número total de permutaciones es 4! = 24, y es evidente que cada permutación es un ordenamiento diferente a los otros. Es por eso que en el juego de Ulam debe elegirse una segunda permutación. Supóngase que es n₁ = Q, n₂ = P, n₃ = R Y n₄ = S. Se trata ahora de aplicar ésta a cada uno de los cuatro ordenamientos anteriores:

Se obtienen 16 ordenamientos diferentes (en todos los casos se han indicado los ciclos completos que surgen de aplicar sucesivamente la misma permutación). Los ocho restantes se logran volviendo a aplicar la permutación (Q,S,P,R) sobre algunos de estos dieciséis:

Se ha indicado solamente la parte derecha de las expresiones, y los nuevos ordenamientos aparecen en la línea inferior. Como curiosidad, el cuarto, SPQR, se lee en los monumentos de la Roma clásica y en los decretos de su Senado y significa, en latín, Senatus Populusque Romanus: el Senado y el pueblo de Roma. Si el ejemplo anterior hubiese sido una partida, la hubiese ganado el primer jugador: la aplicación de las dos permutaciones escogidas genera el grupo completo. ¿Qué estrategia debe seguir el primer jugador para obtener dos permutaciones favorables? ¿Qué debe hacer el segundo para evitarlo? Como el propio Ulam deja entrever, la respuesta no es simple, y es probable que el problema no esté resuelto. Aquí se darán algunas indicaciones; el lector podrá seguir investigando por su cuenta. Considérese nuevamente el caso N = 3. Supóngase que como primera permutación se eligió n₁ = Q, n₂ = P y n₃ = R. La aplicación sucesiva sobre PQR da:

¿Qué nueva permutación debe elegirse para generar el ciclo completo? El lector que lo intente basándose en el ejemplo anterior fracasará; no podrá, por ejemplo, obtener un nuevo orden.

Es necesaria, entonces, una aclaración. Si se desea obtener PRQ a partir de, por ejemplo, PQR, debe hacerse mediante una permutación que transforine la P en Q, la Q en P, y la R en sí misma. Esto no puede lograrse haciendo cada una de las ni iguales a una letra. Sí se puede, en cambio, si a una de las ni se le otorga el valor nulo. Supóngase entonces, la permutación n₁=P, n₂=Q y n₃ =nulo. En forma simbólica, (P,Q). De acuerdo con lo expresado arriba, esto significa que la permutación lleva a P sobre Q, y a Q sobre P. R no se modifica, por lo que puede decirse que se lleva sobre sí misma. Hay ahora dos letras, y por lo tanto la permutación dará origen a un ciclo de dos ordenamientos. Aplicándola a cada uno de los tres anteriores se tiene:

completándose los 3! = 6 ordenamientos. El lector que tenga la paciencia suficiente puede verificar que cualquier combinación de dos permutaciones, una con tres letras y la otra con dos, origina el grupo completo. El segundo jugador puede intentar evitarlo, eligiendo siempre n₂=nulo. 

Fig. 2. A partir de la posición original del triángulo (arriba a la 
izquierda), las operacionesque le hacen coincidir con sí mismo
 son: rotaciones múltiples de 1201 (fila de arriba), y reflexiones
 (rebatimientos) sobre los ejes de simetría (fila de abajo). En 
todos los casos las operaciones se hacen sobre la posición
 original. En la fila de abajo se han indicado los ejesde reflexión.

Sin embargo, esta estrategia tampoco le servirá, ya que dos permutaciones cualesquiera con dos letras, generan el grupo completo, siempre, claro está, que sean diferentes (es fácil ver que, por ejemplo, (P,Q) Y (Q,P) son iguales]. Ilustrando lo anterior con las dos permutaciones (P,R) y (R,Q):

Las dos líneas de la derecha de la primera expresión, y las últimas líneas de la derecha de las otras cuatro forman el grupo completo de seis ordenamientos. Para un conjunto de tres elementos, el primer jugador tiene siempre estrategia ganadora. Si se intentan generalizar los conceptos anteriores, surge inmediatamente una pregunta: si el primer jugador siempre opta por una n_i= nulo, ¿es igualmente posible generar dos permutaciones ganadoras? Queda a los lectores investigarlo. ¿Por qué llama Ulam grupo a estas colecciones de transformaciones?
La definición indica que un conjunto forma una estructura matemática llamada grupo si:
a. El producto de dos transformaciones (en nuestro caso, permutaciones) del conjunto, pertenece también al conjunto. En nuestro caso, el producto es la aplicación sucesiva de dos permutaciones, que como se pudo observar, pertenece al conjunto.
b. La transformación identidad pertenece al conjunto. En nuestro caso,una transformación en que todos los niexcepto uno sean nulos, transforma a un ordenamientos en sí mismo.

c. Si una transformación pertenece al conjunto, también pertenece su inversa. Esto implica buscar dos permutaciones que aplicadas sucesivamente a un cierto ordenamiento, vuelvan a reproducirlo. Esta condición se cumple si, una vez elegidas las ni de la primera, se las ordena inversamente para la segunda:

Los grupos de transformaciones tienen muchas veces interpretaciones geométricas. Por ejemplo, el grupo de permutaciones de tres elementos se corresponde con las operaciones de simetría que transforman a un triángulo en sí mismo. Considérese el triángulo de la figura 1. Si se lo hace girar sobre el centro un múltiplo entero de 120 grados, los vértices volverán a coincidir. Lo mismo sucederá si se lo rebate sobre los ejes que unen vértices con el punto medio de los lados opuestos. En la figura 2 se han identificado los vértices y se han efectuado las operaciones descritas. Si se leen ahora, en el sentido de las agujas del reloj y comenzando por el vértice superior, las letras correspondientes, se
obtienen los seis ordenamientos. Estos constituyen un grupo, y el lector no tendrá dificultad alguna en encontrar las transformaciones inversa, identidad y producto. Entonces, el grupo completo de permutaciones de tres elementos coincide con el grupo de simetrías de un triángulo. No sucede lo mismo con las permutaciones de cuatro elementos: el grupo completo consta de 24 ordenamientos, el de simetrías del cuadrado, de sólo 8. Sin embargo, y a los efectos del juego, ambos grupos de simetría tienen una característica común. Si en la partida se eligen dos cualesquiera de las permutaciones pertenecientes al grupo de simetrías, es imposible generar el grupo completo. En la figura 3 se ilustran las transformaciones del cuadro por simetría. Los ordenamientos correspondientes, considerados como permutaciones son: (P,Q,R,S), (S,P,Q,R), (R,S,P,Q), (Q,R,S,P), - (P,S,R,Q), (Q,P,S,R), (R Q,P,S) y (S,R,Q,P). Si por ejemplo, se aplica la segunda al orden PQRS, continuando el ciclo completo, se obtiene

Si ahora a cada uno de estos nuevos ordenamientos se aplica otra de las transformaciones pertenecientes al grupo de simetrías del cuadrado, por ejemplo la última, los resultados se repiten:

continuando igual con el resto. Cuando se juega con cuatro elementos, el segundo jugador puede intentar formar dos permutaciones del grupo de simetrías del cuadrado (que es un subgrupo del grupo completo de permutaciones). Hay una forma simple de obtener este subgrupo sin tener que recurrir a las figuras. Tómese la primera permutación (P,Q,R,S) y constrúyanse las demás desplazando cíclicamente la última letra hasta el primer lugar. Se obtienen así
(S,P,Q,R), (R,S,P,Q) y (Q,R,S,P), las que corresponden a las rotaciones. Tómense ahora las inversas de éstas, leyéndolas de atrás a adelante. De (P,Q,R,S) se logra (S,R,Q,P), y de las otras (R,Q,P,S), (Q,P,S,R) y (P,S,R,Q). ¿Funciona la misma estrategia para grupos de más elementos? Para un conjunto de J elementos, ¿dos permutaciones del subgrupo de simetrías del J-gono otorgan siempre el triunfo al segundo jugador? La respuesta es sí, y surge, por un lado, de la propia definición de permutación (su símbolo forma un ciclo cerrado, donde, por lo tanto, importa el orden de las letras, y no la que se elija como comienzo del ciclo), cuyas propiedades hacen que la aplicación de cualquiera de los miembros del grupo de rotaciones produzca resultados similares; y por el otro, de la definición de transformación inversa, que se corresponde con los miembros del grupo de reflexiónes (que se obtienen rebatiendo sobre los ejes de simetría). Queda a cargo de los lectores determinar si el segundo jugador puede forzar la aplicación de esta estrategia.