A explicação para o primeiro jogo é bem simples.
Veja o seguinte: Suponha que o número que você pensou é x (original, não é?)
Então, ao multiplicar por 2 e somar 5, a expressão algébrica equivalente é: 2x + 5
Quando você multiplicar por 50, somar 1749 ou 1748 e subtrair o ano em que você nasceu, obteremos (vamos chamar o ano de nascimento de A, para ilustrar)

{[(2x + 5) . 50] + 1749} - A

distribuindo-se o 50 nos parênteses, obtém-se:

100x + 250 + 1749 - A

que é equivalente à:

100x + 1999 - A

obviamente, 1999 (ou 1998) menos o ano em que você nasceu é a sua idade. E o número de dias que você pensou vezes 100 vai dar o primeiro dígito do resultado final após somar a sua idade.

E mais: note que o jogo continua valendo para os próximos anos. É só você somar 1750 ou 1749 para o ano que vem, 1751 ou 1750 para o ano 2001 e assim por diante.

Segundo jogo:

Esse jogo é realmente interessante. Mas saber de alguns detalhes facilita.

Por exemplo, a soma dos algarismo de qualquer múltiplo de nove é nove... Ex: 178 x 9 = 1602; e 1+6+0+2 = 9

O segundo ponto é o seguinte, é óbvio que 9 menos 5 é sempre 4... e essa conta vai ser constante, seja qual for o número que você pensar. Associada ao número 4 sempre estará a letra D. E é agora que entra o conhecimento. Pensar num país com D, rapidamente, se você conhecer o mínimo de geografia o fará lembrar da Dinamarca, certo? Não existem muitos países que comecem com D... por exemplo, agora um outro nome que me vem a cabeça é o Djibouti (que aliás, nem é país). Então fica difícil pensar em algum país que não seja a Dinamarca.

A quinta letra desse país com D é o M... O animal que começa com M que primeiro nos vem a cabeça é o macaco... mas poderia ser o morcego, a mula, mamute, morsa... mas o mais óbvio é o macaco. As explicações psicológicas para isso eu não sei (se você souber, me mande um e-mail).

Só pra me estender mais um pouco, vou citar mais um jogo mágico que vocês já devem ter visto por aí: aquele em que a carta de baralho que você escolher some misteriosamente. Se você não conhece vá até http://www.bignet.com.br/magica/index.html e divirta-se um pouco... e depois, se você não sacar qual é a do joguinho volte aqui e leia o último parágrafo. (se você não conhece o jogo, não leia o parágrafo abaixo)

É simples. Repare que todas as cartas somem. Elas são discretamente trocadas por cartas de outras cores e outros naipes, mantendo uma numeração parecida com a que estava no primeiro passo.