Ecuaciones de Primer Grado
Una expresion algebraica o numerica separada por el signo = se le conoce como igualdad.
Lo que se encuentra en la parte izquierda se le conoce como primer miembro, lo que esta en la parte derecha es el segundo miembro y el simbolo que los separa es el simbolo de la igualdad.
Una expresion de este tipo en la cual solo aparecen literales como exponente maximo uno, se les conoce como ecuaciones lineales, ya que al dar diferentes valores y sustituirlos en la ecuación,
y tabularlos se obtiene como grafica una linea recta.
Ejemplos de ecuaciones de primer grado son:
2 a + 9 = 33 Esto es una ecuacion de primer grado con una variable a.
3 x + 6y = 50 Esta una ecuacion de primer grado con dos variables x, y.
x + y + z = 90 Esta una ecuacion de primer grado con tres variables x, y, z.
Solucion de una ecuacion de Primer grado
Existen diferentes formas de poder resolver una ecuacion de primer grado.Aplicando sus propiedades por ejemplo.
De cursos anteriores sabes que existen las siguientes propiedades:
Propiedad Conmutativa, Propiedad Distributiva, Propiedad de Cerradura, Propiedad Transitiva,El inverso aditivo
Propiedad del Elemento Neutro y muchas propiedades mas.
Pero para mi y creo lo sera tambien para ti, la manera mas facil de poder resolver este tipo de ecuaciones es memorizando la siguiente tabla.
Operación de los signos
Multiplicacion |
= |
Division |
Division |
= |
Multiplicacion |
Suma |
= |
Resta |
Resta |
= |
Suma |
Recuerda que cuando una literal no tiene signo, entenderemos que tiene signo positivo y como numero el uno (1).
El proposito de resolver una ecuacion de primer grado, consiste en colocar todos los numeros de un lado de la igualdad y todas las literales del otro lado.
Asi que reduce todos los terminos que sean semejantes y recuerda que cuando un numero (o literal ) esta de un lado de la igualdad
al pasar del otro lado de la igualdad, pasa realizando la operacion opuesta.
Analiza la tabla anterior.
Solo una operacion se puede realizar a la vez y la operacion de mayor prioridad es la ( multiplicacion / division ) y despues la ( suma / resta ).
Asi que asegurate de reducir al maximo los terminos semejantes para que esto lo puedas aplicar.
Para que todo esto quede mas claro para ti, realizaremos unos ejemplos:
Resolver las siguientes ecuaciones:
a.-) 3x + 10 = 25
Solucion:
3x = 25 -10 Se reducen terminos semejantes. Literales de un lado y numeros del otro lado.
3x = 15 Realizamos las operaciones indicadas
El 3 que aparece al lado de la x, esta multiplicando al pasar del otro lado de la
igualdad lo hace realizando la operacion opuesta que es la division.
x= 15/3
x= 5
Comprobacion
Sustituyendo en la ecuacion original 3x + 10 = 25
El valor de x= 5. Obtenemos
3(5) + 10 = 25
15 + 10 = 25
25 = 25 Lo que indica que la igualdad se cumple y el valor que encontramos es el correcto.
b.-) 45 - x = 35
Solucion:
45 - 35 = x Se reducen terminos semejantes. Literales de un lado y numeros del otro lado.
La x la pasamos del lado opuesta ya que necesitamos que al final aparezca
con signo positivo.
En la ecuacion original x es negativo, por esa razon la cambiamos de lugar.
10 = x Realizamos la operacion indicada y terminamos el proceso ya que la x quedo sola.
Comprobacion
Sustituyendo en la ecuacion original 45 - x = 35
El valor obtenido que es x= 10.
45 - (10) = 35
45 - 10 = 35
35 = 35 Lo que indica que la igualdad se cumple y el valor que encontramos es el correcto.
c.-) 18 + 6x = - 12
Solucion:
6x = - 12 - 18 Se reducen terminos semejantes. Literales de un lado y numeros del otro lado.
6x = - 30 Realizamos las operaciones indicadas - 12 - 18 = - 30.
El 6 que aparece al lado de la x, esta multiplicando al pasar del otro lado de la
igualdad lo hace realizando la operacion opuesta que es la division.
x= - 30 / 6
x= - 5
Comprobacion
Sustituyendo en la ecuacion original 18 + 6x = - 12. El valor de x= - 5.
Obtenemos entonces:
18 + 6 (-5) = -12 Recuerda un parentesis significa multiplicacion. 6 ( - 5) = - 30.
18 - 30 = - 12
- 12 = -12 Lo que indica que la igualdad se cumple y el valor que encontramos es el correcto.
d.-) 4 ( 2 x + 5 ) = 3 ( 3 x + 6 )
Solucion:
8 x + 20 = 9 x + 18
Un parentesis indica multiplicacion, por lo tanto todos los
elementos del interior del parentesis se multiplican
por el numero que aparezca a la izquierda o derecha.
Observa que a la derecha dejamos el 9x, por que de todas las literales que existen
en nuestra igualdad, es la de mayor valor ,ademas de ser positiva.
Asi cuando se cambie de lugar el 8x al realizar la diferencia obtendremos
un numero positivo.( 9 x - 8 x = x )
20 - 18 = 9 x - 8 x Se reducen terminos semejantes. Literales de un lado y numeros del otro lado.
2 = x Realizamos las operaciones indicadas 20 - 18 = 2.
Comprobacion
Sustituyendo en la ecuacion original 4 ( 2 x + 5 ) = 3 ( 3 x + 6 ). El valor de x= 2.
Obtenemos entonces:
4 ( 2 ( 2 ) + 5 ) = 3 ( 3 ( 2 ) + 6) Recuerda un parentesis significa multiplicacion.
4 ( 4 + 5 ) = 3 ( 6 + 6 )
4 ( 9 ) = 3 ( 12)
3 6 = 3 6 La igualdad se cumple por lo tanto el valor que encontramos es el correcto.
e.-) 3x - 20 = 10 - 2x
Solucion:
3x + 2 x = 10 + 20 Se reducen terminos semejantes. Literales de un lado y numeros del otro lado.
Observa que en la ecuacion original aparece -20 en la parte izquierda.
y si se mueve del otro lado de la igualdad lo hara como +20.
Lo mismo sucede con -2x que al cambiarlo de lugar sera + 2x.
5x = 30 Se reducen terminos semejantes.
5 aparece en la igualdad multiplicando a la x, si se quita de ese sitio pasara
del otro lado realizando la operacion opuesta con el signo que tenga.
x= 30 / 5
x= 6
Comprobacion
Sustituyendo en la ecuacion original 3x - 20 = 10 - 2x.
El valor que acabamos de obtener x= 6. Tenemos entonces:
3( 6 ) - 20 = 10 - 2( 6 ) Recuerda un parentesis significa multiplicacion. - 2 ( 6 ) = - 12.
18 - 20 = 10 - 12 Observamos que la igualdad persiste lo que indica
- 2 = -2 que el valor que encontramos es el correcto.
Recordatorio Importante:
En los ejemplos anteriores te mencione que si un numero o literal esta del lado derecho de la igualdad
y lo cambias al lado izquierdo o viceversa cambia de signo.
Tal vez eso te parezca algo muy complejo, pero no lo es.
Con un ejemplo se aclararan tus dudas.
Observa la siguiente igualdad
Ejemplo
Sea la igualdad
8 + 2 + 4 + 6 = 20 Estas de acuerdo con esto?
Que pasa si yo quiero que mi igualdad sea 18 , 16 , 14 o 12 ? ? ? ?
Estas igualdades seran ciertas?
8 + 4 + 6 = 20 - 2
8 + 2 + 6 = 20 - 4
8 + 2 + 4 = 20 - 6
2 + 4 + 6 = 20 - 8
Si verdad!!!!
Como puedes observar para que la igualdad se cumpla, el numero al pasar de un lado a otro cambia de signo.
Dicho de otra manera si a una igualdad le sumas o restas la misma cantidad lo debes de hacer en ambos lados
de la igualdad para que esta persista. Propiedad de CERRADURA.
Ahora observa lo siguiente.
( 2 )( 8 ) = 16
Sera lo mismo?
2 = 16 / 8
8 = 16 / 2
(-3 )( 4 )= -12
-3 = -12 /4 Signos diferentes negativo
4 = -12 / -4 Signos iguales positivo
Que observas?
Que dos numeros estan multiplicando y tengo una igualdad.
Si yo quiero que se conserve la igualdad el numero que esta multiplicando al cambiarlo de lugar lo hace
dividiendo llevandose incluso su signo.
Estaras de acuerdo conmigo que no es complejo.
Recuerda esto es muy importante y te servira para toda tu vida estudiantil.
Si haz entendido todo lo anterior entonces manos a la obra, empecemos a resolver algunos ejercicios.
Ejercicio 1.
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
a.-) 6 - x + 4 = 20 f.-) x + 8 -2 = 12
b.-) 8 + x - 2 = 18 g.-) x -3 +2 = 13
c.-) 10 - x + 4 = 8 h.-) -x + 8 -2 = -2
d.-) 17 - x - 3 = 10 i.-) x - 4 -2 = 11
e.-) -9 - x - 1 = 15 j.-) x -18 +2 = 1
Ejercicio 2.
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
a.-) 8 - 2x + 2 = 30 f.-) - 4x + 6 - 2 = - 12
b.-) 9 + 3x - 3 = 18 g.-) 5x - 3 - 7 = 25
c.-) 10 - 5x - 8 = 17 h.-) - 7x - 4 - 2 = 8
d.-) 17 - 4x + 3 = 40 i.-) 8x - 3 - 8 = 5
e.-) -5 - 3x + 9 = 16 j.-) 3x -14 + 4 = - 1
Ejercicio 3.
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
a.-) 2 - 8x + 10 = 40 f.-) - 3x + 6 - 8 = - 42
b.-) 7 + 4x - 3 = 48 g.-) 4x - 7 - 8 = 65
c.-) 12 - 4x - 8 = 17 h.-) - 3x - 37 - 55 = 68
d.-) 15 - 3x + 7 = 80 i.-) 9x - 2 - 6x = 38
e.-) -9 - 5x + 7 = 56 j.-) 2x -24 + 4 = - 10
Ejercicio 4.
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
a.-) 8 ( 2x - 4 ) = 32 f.-) - 4 ( x + 6 ) = 6 ( x + 1 )
b.-) 9 ( 3x - 7 ) = 18 g.-) - 9 ( x - 7 ) = 2 ( x - 18 )
c.-) 7 ( - 5x + 30 ) = 35 h.-) 2 ( 4 x - 5 ) = 7 ( x - 1 )
d.-) 3 ( 4x + 8 ) = 60 i.-) 3 ( 3 x - 2 ) = 6 ( x + 1 )
e.-) -5( 3x - 9 ) = 15 j.-) 3 ( 2 x - 5 ) = 5 ( 4 x - 17 )
Ejercicio 5.
Listo para el siguiente ejercicio?
Toma papel y lapiz para resolver las siguientes ecuaciones de primer grado.
Ejercicio 6.
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
Para resolver los ejercicios de esta parte veamos algunos ejemplos:
Te ayudare a resolver algunas ecuaciones lineales, para facilitar tu comprension.
Analiza detenidamente los siguientes ejemplos.
Y comprende los pasos que se estan aplicando.
Ejemplo 1 Ecuacion Lineal
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Ecuacion Original
Agrupamos terminos semejantes.
Realizamos el producto cruzado para resolver la fraccion.
Se reducen terminos Semejantes.
Despejamos
Obtenemos el resultado. :)
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No fue tan dificil, o si?
Realicemos otro ejemplo.
Ejemplo 2 Ecuacion lineal
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Ecuacion Original
Realizamos el producto cruzado.
Realizamos las multiplicaciones indicadas.
Agrupamos terminos semejantes.
Se reducen terminos Semejantes.
Despejamos
Obtenemos el resultado. :)
|
Como has podido observar No es dificil el resolver este tipo de ecuaciones.
Espero haber ayudado un poco, para que tu panorama de las Matematicas no sea tan duro.
Para poder resolver la ultima parte de estos ejercicios es muy importanteque domines
los conceptos de lenguaje algebraico.
Si tienes duda al respecto puedes consultar la unidad 4 de este manual.
IMPORTANTE
Una de las aplicaciones mas importantes en el Algebra es la resolucion de problemas.
La notacion Algebraica , clara y concisa , facilita enormemente la resolucion de tipo de problemas.
Un PROBLEMA es una cuestion en la que se tienen que encontrar una o mas cantidades desconocidas , relacionadas con otras que se conocen.
A la informacion que se conoce se le llama datos y la informacion que no se conoce la conoceremos como incognitas.
Ejercicio 7.
Resuelve los siguientes problemas.
Veamos algunos ejemplos.
1.-Como se pagaria una deuda de $700 con 52 monedas de 20 y 10 pesos?
2.-Un padre tiene 40 años y su hija 15.
Dentro de cuanto tiempo la edad del Padre sera el doble que la del hijo?
3.- Un auto sale de Leon para tijuana con una velocidad de 45 km/h.
Una hora despues sale otro auto en el mismo punto y en la misma direccion pero a 50 km/h.
En que tiempo y a que distancia el segundo auto alcanzara al primero?
4.-Si en un salon de clase la tercera parte de los alumnos esta leyendo, la cuarta parte escribiendo
y otros veinte resolviendo problemas.
Cuantos alumnos tiene ese salon?
5.-Un comerciante compro 42 m de franela en $336.
En cuanto debe de dar el metro para ganar 1/9 del precio de venta.?
6.-La diferencia de dos numeros es 565, su cociente 5 y su residuo 85
Cuales son esos numeros?
7.-Dos albañiles necesitan 12 horas para terminar un trabajo.
El primero realizaria el trabajo solo en 20 horas.
En que tiempo lo hara el segundo?
8.-Una llave llenaria una alberca vacia en 10 horas.
Otra llave diferente lo haria en 15 hrs.
Si la alberca esta vacia y se abren las 2 llaves al mismo tiempo.
En que tiempo llenarian la alberca?
9.-La edad que tiene actualmente un Padre de familia es el quintuple de la del hijo,
pero dentro de 6 años ,su edad sera solo el triple de la del hijo.
que edad tiene el padre y el hijo actualmente?
10.-La suma de tres numeros consecutivos es 35 .
Que numeros son?
