O método de Exaustão de Eudoxo é rigoroso mas estéril. Em outras palavras, uma vez conhecida uma fórmula, o método de Exaustão pode se Constituir num elegante instrumento para prová-la, mas o método por si só, não se presta para a descoberta inicial do resultado. Quanto a esse aspecto, o método de exaustão assemelha-se muito ao principio de indução finita. Como então Arquimedes descobriria fórmulas que tão elegantemente demonstrava pelo método de exaustão?

Somente com a descoberta do livro O Método em 1906 foi-se possível responder a esta pergunta.

Sejam ABCD um círculo com diâmetros perpendiculares AC e BD ; AFG um triângulo ( retângulo em A ) isósceles, com base FG e altura AC ; e EFGH um retângulo. Girando esta figura em torno do eixo obtemos: uma esfera, gerada pelo circulo ABCD ; um cone, gerado pelo triângulo AFG ; e um cilindro, gerado pelo retângulo EFGH .

Seja MN uma reta do plano como na figura acima, perpendicular a AC , cortando este segmento no ponto Q.

Como QP = AQ e o triângulo OAQ é retângulo, temos:

Por outro lado, o triângulo OAC é retângulo em O e OQ é perpendicular a AC , logo, por semelhança de triângulos entre os triângulos AOC e AOQ temos que,

donde obtemos, notando que QM = AC e tomando = AC,

Portanto,

Esta relação é agora interpretada como traduzindo o equilíbrio dos pesos numa alavanca com apoio em A . De fato, pela lei da alavanca ( dada pelo próprio Arquimedes em seu livro " Sobre o equilíbrio de figuras Planas " ), e relação acima nos diz que os círculos de raios QP e QO , quando transferidos para , equilibram o círculo de raio QM localizado em Q . (Nesse raciocínio estamos imaginando os pesos dos círculos proporcionais às suas áreas.) Até aqui o raciocínio matemático é perfeitamente rigoroso, mas agora vem a parte heurística do argumento; consideramos o cilindro como união infinita dos círculos de raio QM , Q variando de A até C ; e analogamente para a esfera e o cone. Remontamos a esfera e o cone no extremo da alavanca ( como na figura abaixo ) e concluímos que esses sólidos devem equilibrar o cilindro com centróide no extremo T da alavanca, onde AC . ( Agora o peso dos sólidos são tomados como proporcionais a seus volumes. ) Então, sendo , e os volumes da esfera, do cone e do cilindro respectivamente, teremos:

= ,

Arquimedes já sabia que . Substituindo este resultado na equação anterior e simplificando, vem:

, mas como CG = 2 TD , segue-se que o volume do cone é 8 vezes o volume do cone obtido por rotação do triângulo ABD , como ilustra a figura acima, isto é:

, onde R é o raio da esfera. Daqui e de , resulta finalmente a formula do volume da esfera.

.

Essa, informa-nos O Método , foi a maneira como Arquimedes descobriu a fórmula do volume da esfera. Sua consciência matemática, porém, não se satisfazia com esse procedimento, daí porque ele recorria ao método da Exaustão para fornecer uma demonstração mais rigorosa em casos como a que acabamos de focalizar. Pelo método de equilíbrio pode-se ver a fertilidade da idéia que consiste em considerar toda grandeza como sendo formada de um número muito grande de porções atômicas, embora essa idéia não tenha uma fundamentação precisa. É desnecessário dizer que, com o moderno método dos limites, pode-se fazer com que o método de equilíbrio de Arquimedes se torne perfeitamente rigoroso, confundindo-se, em essência, com a moderna integração.